Décimal répété - Repeating decimal

Un nombre décimal répétitif ou décimal récurrent est une représentation décimale d'un nombre dont les chiffres sont périodiques (répétant ses valeurs à intervalles réguliers) et la partie répétée à l' infini n'est pas zéro . On peut montrer qu'un nombre est rationnel si et seulement si sa représentation décimale se répète ou se termine (c'est-à-dire que tous sauf un nombre fini de chiffres sont nuls). Par exemple, la représentation décimale de1/3devient périodique juste après la virgule décimale , en répétant le seul chiffre "3" pour toujours, c'est-à-dire 0,333.... Un exemple plus compliqué est3227/555, dont la décimale devient périodique au deuxième chiffre suivant la virgule décimale et répète ensuite la séquence "144" indéfiniment, c'est-à-dire 5,8144144144.... À l'heure actuelle, il n'existe pas une seule notation ou phrasé universellement accepté pour répéter les décimales.

La séquence de chiffres répétée à l'infini est appelée repetend ou reptend . Si la répétition est un zéro, cette représentation décimale est appelée décimale terminale plutôt que décimale répétitive, car les zéros peuvent être omis et la décimale se termine avant ces zéros. Chaque représentation décimale terminale peut être écrite sous la forme d'une fraction décimale , une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10 (par exemple 1,585 =1585/1000); il peut aussi s'écrire sous la forme d' un rapport de la formek/2 ⁿ 5 ^m(par exemple 1,585 =317/2 ³ 5 ²). Cependant, chaque nombre avec une représentation décimale terminale a aussi trivialement une seconde représentation alternative en tant que décimale répétée dont la répétition est le chiffre 9 . Ceci est obtenu en diminuant de un le chiffre non nul final (le plus à droite) et en ajoutant une répétition de 9. 1.000... = 0.999... et 1.585000... = 1.584999... en sont deux exemples. (Ce type de nombre décimal répétitif peut être obtenu par division longue si l'on utilise une forme modifiée de l' algorithme de division habituel .)

Tout nombre qui ne peut pas être exprimé sous la forme d'un rapport de deux nombres entiers est dit irrationnel . Leur représentation décimale ne se termine ni ne se répète indéfiniment mais s'étend à jamais sans répétition régulière. Des exemples de tels nombres irrationnels sont la racine carrée de 2 et π .

Fond

Notation

Il existe plusieurs conventions de notation pour représenter les nombres décimaux répétés. Aucun d'entre eux n'est accepté universellement.

• Aux États-Unis , au Canada , en Inde , en France , en Allemagne , en Suisse , en Tchéquie et en Slovaquie, la convention est de tracer une ligne horizontale (un vinculum ) au-dessus du repetend. (Voir les exemples dans le tableau ci-dessous, colonne Vinculum.)
• Au Royaume-Uni , en Nouvelle-Zélande , en Australie , en Inde, en Corée du Sud et en Chine continentale , la convention est de placer des points au-dessus des chiffres les plus à l'extérieur du repetend. (Voir les exemples dans le tableau ci-dessous, colonne Points.)
• Dans certaines parties de l' Europe , du Vietnam et de la Russie , la convention consiste à mettre le repetend entre parenthèses . (Voir les exemples dans le tableau ci-dessous, colonne Parenthèses.) Cela peut prêter à confusion avec la notation de l'incertitude type .
• En Espagne et dans certains pays d'Amérique latine, la notation arc sur le repetend est également utilisée comme alternative à la notation vinculum et points. (Voir les exemples dans le tableau ci-dessous, colonne Arc.)
• De manière informelle, les décimales répétées sont souvent représentées par des points de suspension (trois points, 0,333...), surtout lorsque les conventions de notation précédentes sont enseignées pour la première fois à l'école. Cette notation introduit une incertitude quant à savoir quels chiffres doivent être répétés et même si la répétition se produit du tout, puisque de telles ellipses sont également utilisées pour les nombres irrationnels ; π , par exemple, peut être représenté par 3.14159....

Exemples

Fraction	Vinculum	Points	Parenthèses	Arc	Ellipse
1/9	0. 1	${\displaystyle 0.{\dot {1}}}$	0.(1)	${\displaystyle 0.{\overset {\frown }{1}}}$	0,111...
1/3 = 3/9	0. 3	${\displaystyle 0.{\dot {3}}}$	0.(3)	${\displaystyle 0.{\overset {\frown }{3}}}$	0,333...
2/3 = 6/9	0. 6	${\displaystyle 0.{\dot {6}}}$	0.(6)	${\displaystyle 0.{\overset {\frown }{6}}}$	0,666...
9/11 = 81/99	0. 81	${\displaystyle 0.{\dot {8}}{\dot {1}}}$	0.(81)	${\displaystyle 0.{\overset {\frown }{81}}}$	0,8181...
7/12 = 525/900	0,58 3	${\displaystyle 0.58{\dot {3}}}$	0,58(3)	${\displaystyle 0.58{\overset {\frown }{3}}}$	0,58 333 ...
1/7 = 142857/999999	0. 142857	${\displaystyle 0.{\dot {1}}4285{\dot {7}}}$	0.(142857)		0,142857 142857 ...
1/81 = 12345679/999999999	0. 012345679	${\displaystyle 0.{\dot {0}}1234567{\dot {9}}}$	0.(012345679)		0,012345679 012345679 ...
22/7 = 3142854/999999	3. 142857	${\displaystyle 3.{\dot {1}}4285{\dot {7}}}$	3.(142857)		3.142857 142857 ...

En anglais, il existe différentes manières de lire à haute voix les nombres décimaux répétés. Par exemple, 1.2 34 peut être lu "un virgule deux répétant trois quatre", "un virgule deux répété trois quatre", "un virgule deux se répétant trois quatre", "un virgule deux répétant trois quatre" ou "un virgule deux dans l'infini Trois quatre".

Expansion décimale et séquence de récurrence

Afin de convertir un nombre rationnel représenté sous forme de fraction en forme décimale, on peut utiliser la division longue . Par exemple, considérons le nombre rationnel5/74:

        0.0675
   74 ) 5.00000
        4.44
          560
          518
           420
           370
            500

etc. Remarquez qu'à chaque pas nous avons un reste ; les restes successifs affichés ci-dessus sont 56, 42, 50. Lorsque nous arrivons à 50 comme reste, et réduisons le "0", nous nous retrouvons à diviser 500 par 74, ce qui est le même problème avec lequel nous avons commencé. Par conséquent, la décimale se répète : 0,0675 675 675 .....

Chaque nombre rationnel est soit un nombre décimal se terminant soit répétitif

Pour un diviseur donné, seuls un nombre fini de restes différents peuvent apparaître. Dans l'exemple ci-dessus, les 74 restes possibles sont 0, 1, 2, ..., 73. Si à n'importe quel point de la division le reste est 0, l'expansion se termine à ce point. Ensuite, la longueur de la répétition, également appelée « période », est définie à 0.

Si 0 n'apparaît jamais comme reste, alors le processus de division se poursuit indéfiniment, et finalement, un reste doit se produire qui s'est déjà produit auparavant. L'étape suivante de la division produira le même nouveau chiffre dans le quotient et le même nouveau reste, comme la fois précédente, le reste était le même. Par conséquent, la division suivante répétera les mêmes résultats. La séquence répétitive de chiffres est appelée "répétition" qui a une certaine longueur supérieure à 0, également appelée "période".

Chaque nombre décimal qui se répète ou se termine est un nombre rationnel

Chaque nombre décimal répétitif satisfait une équation linéaire avec des coefficients entiers, et sa solution unique est un nombre rationnel. Pour illustrer ce dernier point, le nombre α = 5.8144144144... ci-dessus satisfait l'équation 10000 α − 10 α = 58144.144144... − 58.144144... = 58086 , dont la solution est α =58086/9990 = 3227/555. Le processus de recherche de ces coefficients entiers est décrit ci - dessous .

Tableau des valeurs

La fraction est donc la fraction unitaire 1/met ℓ ₁₀ est la longueur de la (décimale) repetend.

Les longueurs des répétitions de 1/m, n = 1, 2, 3, ..., sont :

0, 0, 1, 0, 0, 1, 6, 0, 1, 0, 2, 1, 6, 6, 1, 0, 16, 1, 18, 0, 6, 2, 22, 1, 0, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 0, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 0, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 0, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 0, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, ... (séquence A051626 dans l' OEIS ).

Les répétitions de 1/m, n = 1, 2, 3, ..., sont :

0, 0, 3, 0, 0, 6, 142857, 0, 1, 0, 09, 3, 076923, 714285, 6, 0, 0588235294117647, 5, 052631578947368421, 0, 047619, 45, 0434782608695652173913, 6, 0, 384615, 037, 571428, 0344827586206896551724137931, 3, ... (séquence A036275 dans l' OEIS ).

Les longueurs de répétition de 1/p, p = 2, 3, 5, ... ( n ième nombre premier), sont :

0, 1, 0, 6, 2, 6, 16, 18, 22, 28, 15, 3, 5, 21, 46, 13, 58, 60, 33, 35, 8, 13, 41, 44, 96, 4, 34, 53, 108, 112, 42, 130, 8, 46, 148, 75, 78, 81, 166, 43, 178, 180, 95, 192, 98, 99, 30, 222, 113, 228, 232, 7, 30, 50, 256, 262, 268, 5, 69, 28, ... (séquence A002371 dans l' OEIS ).

Les plus petits nombres premiers p pour lesquels1/pa une longueur répétée n , n = 1, 2, 3, ..., sont :

3, 11, 37, 101, 41, 7, 239, 73, 333667, 9091, 21649, 9901, 53, 909091, 31, 17, 2071723, 19, 1111111111111111111, 3541, 43, 23, 11111111111111111111111, 99990001, 21401, 859, 757, 29, 3191, 211, ... (séquence A007138 dans l' OEIS ).

Les plus petits nombres premiers p pour lesquelsk/pa n cycles différents ( 1 ≤ k ≤ p −1 ), n = 1, 2, 3, ..., sont :

7, 3, 103, 53, 11, 79, 211, 41, 73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061, 1889, 137, 2467, 16189, 641, 3109, 4973, 11087, 1321, 101, 7151, 7669, 757, 38629, 1231, ... (séquence A054471 dans l' OEIS ).

A titre de comparaison, les longueurs des répétitions des fractions binaires 1/m, n = 1, 2, 3, ..., sont :

1, 2, 1, 4, 2, 3, 1, 6, 4, 10, 2, 12, 3, 4, 1, 8, 6, 18, 4, 6, 10, 11, 2, 20, 12, 18, 3, 28, 4, 5, 1, 10, 8, 12, 6, 36, 18, 12, 4, 20, 6, 14, 10, 12, 11, ... (séquence A007733 dans l' OEIS ) .

Fractions avec des dénominateurs premiers

Une fraction irréductible avec un premier dénominateur autre que 2 ou 5 ( par exemple coprime à 10) produit toujours un nombre décimal périodique. La longueur de la répétition (période du segment décimal répété) de1/pest égal à l' ordre de 10 modulo p . Si 10 est une racine primitive modulo p , la longueur de répétition est égale à p  − 1 ; sinon, la longueur de répétition est un facteur de p  − 1. Ce résultat peut être déduit du petit théorème de Fermat , qui stipule que 10 ^{p −1} ≡ 1 (mod p ) .

La répétition en base 10 de l'inverse de tout nombre premier supérieur à 5 est divisible par 9.

Si la longueur de répétition de 1/ppour premier p est égal à p  − 1 alors la répétition, exprimée sous forme d'entier, est appelée un nombre cyclique .

Numéros cycliques

Des exemples de fractions appartenant à ce groupe sont :

• 1/7= 0. 142857 , 6 chiffres répétés
• 1/17= 0,0588235294117647 , 16 chiffres répétés
• 1/19= 0,052631578947368421 , 18 chiffres répétés
• 1/23= 0. 0434782608695652173913 , 22 chiffres répétés
• 1/29= 0. 0344827586206896551724137931 , 28 chiffres répétés
• 1/47= 0. 0212765957446808510638297872340425531914893617 , 46 chiffres répétés
• 1/59= 0. 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 , 58 chiffres répétés
• 1/61= 0. 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 , 60 chiffres répétés
• 1/97= 0. 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 , 96 chiffres répétés

La liste peut continuer pour inclure les fractions 1/109, 1/113, 1/131, 1/149, 1/167, 1/179, 1/181, 1/193, etc. (séquence A001913 dans l' OEIS ).

Tout multiple propre d'un nombre cyclique (c'est-à-dire un multiple ayant le même nombre de chiffres) est une rotation :

• 1/7 = 1 × 0,142857... = 0,142857...
• 2/7 = 2 × 0,142857... = 0,285714...
• 3/7 = 3 × 0,142857... = 0,428571...
• 4/7 = 4 × 0,142857... = 0,571428...
• 5/7 = 5 × 0,142857... = 0,714285...
• 6/7 = 6 × 0,142857... = 0,857142...

La raison du comportement cyclique ressort d'un exercice arithmétique de longue division de 1/7: les restes séquentiels sont la séquence cyclique {1, 3, 2, 6, 4, 5} . Voir aussi l'article 142,857 pour plus de propriétés de ce nombre cyclique.

Une fraction qui est cyclique a donc une décimale récurrente de longueur paire qui se divise en deux séquences sous forme de complément à neuf . Par exemple1/7 commence '142' et est suivi de '857' tandis que 6/7(par rotation) commence par '857' suivi de son complément à neuf '142'.

Un nombre premier propre est un nombre premier p qui se termine par le chiffre 1 en base 10 et dont l'inverse en base 10 a une répétition de longueur p  − 1. Dans de tels nombres premiers, chaque chiffre 0, 1,..., 9 apparaît dans la répétition séquencer le même nombre de fois que les autres chiffres (à savoir,p  − 1/dixfois). Elles sont:

61, 131, 181, 461, 491, 541, 571, 701, 811, 821, 941, 971, 1021, 1051, 1091, 1171, 1181, 1291, 1301, 1349, 1381, 1531, 1571, 1621, 1741, 1811, 1829, 1861,... (séquence A073761 dans l' OEIS ).

Un nombre premier est un nombre premier approprié si et seulement s'il s'agit d'un nombre premier de reptend complet et congru à 1 mod 10.

Si un nombre premier p est à la fois un nombre premier complet et un nombre premier sûr , alors1/pproduira un flux de p  − 1 chiffres pseudo-aléatoires . Ces nombres premiers sont

7, 23, 47, 59, 167, 179, 263, 383, 503, 863, 887, 983, 1019, 1367, 1487, 1619, 1823,... (séquence A000353 dans l' OEIS ).

Autres réciproques de nombres premiers

Certaines réciproques de nombres premiers qui ne génèrent pas de nombres cycliques sont :

• 1/3= 0. 3 , qui a une période (longueur de répétition) de 1.
• 1/11= 0. 09 , qui a une période de 2.
• 1/13= 0, 076923 , qui a une période de 6.
• 1/31= 0. 032258064516129 , qui a une période de 15.
• 1/37= 0. 027 , qui a une période de 3.
• 1/41= 0. 02439 , qui a une période de 5.
• 1/43= 0, 023255813953488372093 , qui a une période de 21.
• 1/53= 0. 0188679245283 , qui a une période de 13.
• 1/67= 0. 014925373134328358208955223880597 , qui a une période de 33.

(séquence A006559 dans l' OEIS )

La raison en est que 3 est un diviseur de 9, 11 est un diviseur de 99, 41 est un diviseur de 99999, etc. Pour trouver la période de 1/p, nous pouvons vérifier si le nombre premier p divise un nombre 999...999 dans lequel le nombre de chiffres divise p  − 1. Puisque la période n'est jamais supérieure à p  − 1, nous pouvons l'obtenir en calculant10 ^{p −1} − 1/p. Par exemple, pour 11, on obtient

${\style d'affichage {\frac {10^{11-1}-1}{11}}=909090909}$

puis par inspection trouver le repetend 09 et la période de 2.

Ces réciproques de nombres premiers peuvent être associées à plusieurs séquences de nombres décimaux répétés. Par exemple, les multiples de1/13peut être divisé en deux ensembles, avec des répétitions différentes. Le premier ensemble est :

• 1/13 = 0,076923...
• dix/13 = 0,769230...
• 9/13 = 0,692307...
• 12/13 = 0.923076...
• 3/13 = 0,230769...
• 4/13 = 0,307692...,

où la répétition de chaque fraction est un réarrangement cyclique de 076923. Le deuxième ensemble est :

• 2/13 = 0,153846...
• 7/13 = 0,538461...
• 5/13 = 0,384615...
• 11/13 = 0,846153...
• 6/13 = 0.461538...
• 8/13 = 0,615384...,

où la répétition de chaque fraction est un réarrangement cyclique de 153846.

En général, l'ensemble des multiples propres d'inverses d'un nombre premier p se compose de n sous-ensembles, chacun ayant une longueur répétée  k , où nk  =  p  − 1.

Règle de tolérance

Pour un entier arbitraire n , la longueur L ( n ) de la répétition décimale de1/mdivise φ ( n ), où φ est la fonction totale . La longueur est égale à φ ( n ) si et seulement si 10 est une racine primitive modulo n n .

En particulier, il s'ensuit que L ( p ) = p − 1 si et seulement si p est un nombre premier et 10 est une racine primitive modulo p . Ensuite, les développements décimaux dem/ppour n = 1, 2, ..., p  − 1, tous ont une période p  − 1 et ne diffèrent que par une permutation cyclique. De tels nombres p sont appelés nombres premiers à répétition complète .

Réciproques d'entiers composés entre premiers avec 10

Si p est un nombre premier autre que 2 ou 5, la représentation décimale de la fraction1/p ² répète :

1/49= 0. 020408163265306122448979591836734693877551 .

La période (longueur de repetend) L (49) doit être un facteur λ (49) = 42, où λ ( n ) est connue sous le nom fonction de Carmichael . Cela découle du théorème de Carmichael qui stipule que si n est un entier positif alors λ ( n ) est le plus petit entier m tel que

${\displaystyle a^{m}\equiv 1{\pmod {n}}}$

pour tout entier un qui est coprime à n .

La période de 1/p ²est généralement pT _p , où T _p est la période de1/p. Il y a trois nombres premiers connus pour lesquels ce n'est pas vrai, et pour ceux la période de1/p ² est la même que la période de 1/pcar p ² divise 10 ^{p −1} −1. Ces trois nombres premiers sont 3, 487 et 56598313 (séquence A045616 dans l' OEIS ).

De même, la période de 1/p ^kest généralement p ^{k –1} T _p

Si p et q sont des nombres premiers autres que 2 ou 5, la représentation décimale de la fraction1/pqrépète. Un exemple est1/119:

119 = 7 × 17

λ (7 x 17) = PPCM ( λ (7), λ (17)) = PPCM (6, 16) = 48,

où LCM désigne le plus petit commun multiple .

La période T de1/pqest un facteur de λ ( pq ) et il se trouve qu'il est de 48 dans ce cas :

1/119= 0, 008403361344537815126050420168067226890756302521 .

La période T de1/pqest LCM( T _p ,  T _q ), où T _p est la période de1/pet T _q est la période de1/q.

Si p , q , r , etc. sont des nombres premiers autres que 2 ou 5, et k , ℓ , m , etc. sont des nombres entiers positifs, alors

${\displaystyle {\frac {1}{p^{k}q^{\ell }r^{m}\cdots }}}$

est une décimale répétée avec une période de

${\displaystyle \operatorname {LCM} (T_{p^{k}},T_{q^{\ell }},T_{r^{m}},\ldots )}$

où T _{p ^k} , T _{q ^ℓ} , T _{r ^m} ,... sont respectivement la période des décimales répétées1/p ^k, 1/q ^ℓ, 1/r ^m,... comme défini ci-dessus.

Réciproques d'entiers non premiers à 10

Un entier qui n'est pas premier à 10 mais qui a un facteur premier autre que 2 ou 5 a une réciproque qui est éventuellement périodique, mais avec une séquence de chiffres non répétitive qui précède la partie répétitive. La réciproque peut s'exprimer ainsi :

${\displaystyle {\frac {1}{2^{a}5^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

où a et b ne sont pas tous deux nuls.

Cette fraction peut également être exprimée sous la forme :

${\displaystyle {\frac {5^{ab}}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

si a > b , ou comme

${\displaystyle {\frac {2}{ba}}{10^{b}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

si b > a , ou comme

${\displaystyle {\frac {1}{10^{a}p^{k}q^{\ell }\cdots }}\,,}$

si a = b .

La décimale a :

• Un transitoire initial de max( a ,  b ) chiffres après la virgule. Certains ou tous les chiffres du transitoire peuvent être des zéros.
• Une répétition ultérieure qui est la même que celle de la fraction 1/p ^k q ^ℓ ⋯.

Par exemple 1/28= 0,03 571428 :

• a = 2, b = 0, et les autres facteurs p ^k q ^ℓ ⋯ = 7
• il y a 2 chiffres initiaux non répétitifs, 03 ; et
• il y a 6 chiffres répétés, 571428, le même montant que 1/7 a.

Conversion de nombres décimaux répétés en fractions

Étant donné une décimale répétée, il est possible de calculer la fraction qui l'a produite. Par exemple:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x&=0.333333\ldots \\10x&=3.333333\ldots \quad &{\text{(multipliant chaque côté de la ligne ci-dessus par 10)}}\\9x&=3&{ \text{(en soustrayant la 1ère ligne de la 2ème)}}\\x&={\frac {3}{9}}={\frac {1}{3}}&{\text{(en réduisant aux termes les plus bas) }}\\\end{alignedat}}}$

Un autre exemple:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x&=\ \ \ \ 0.836363636\ldots \\10x&=\ \ \ \ 8.36363636\ldots \quad &{\text{(multiplier par une puissance de 10 pour déplacer la décimale vers début de la répétition)}}\\1000x&=836.36363636\ldots &{\text{(multiplication par une puissance de 100 pour déplacer la décimale à la fin de la première décimale répétée)}}\\990x&=828&{\text{(soustraction pour effacer décimales)}}\\x&={\frac {828}{990}}={\frac {18\times 46}{18\times 55}}={\frac {46}{55}}.\end{ aligné}}}$

Un raccourci

La procédure ci-dessous peut être appliquée en particulier si le repetend a n chiffres, qui sont tous 0 sauf le dernier qui est 1. Par exemple pour n  = 7 :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.000000100000010000001\ldots \\10^{7}x&=1.000000100000010000001\ldots \\\left(10^{7}-1\right)x=9999999x&=1\\x&= {\frac {1}{10^{7}-1}}={\frac {1}{9999999}}\end{aligned}}}$

Donc, cette décimale récurrente particulière correspond à la fraction 1/10 ⁿ  − 1, où le dénominateur est le nombre écrit sous la forme de n chiffres 9. Sachant cela, un nombre décimal général répété peut être exprimé sous forme de fraction sans avoir à résoudre une équation. Par exemple, on pourrait raisonner :

${\displaystyle {\begin{aligned}7.48181818\ldots &=7.3+0.18181818\ldots \\[8pt]&={\frac {73}{10}}+{\frac {18}{99}}={\ frac {73}{10}}+{\frac {9\times 2}{9\times 11}}={\frac {73}{10}}+{\frac {2}{11}}\\[ 12pt]&={\frac {11\times 73+10\times 2}{10\times 11}}={\frac {823}{110}}\end{aligned}}}$

Il est possible d'obtenir une formule générale exprimant une décimale répétée avec une période à n chiffres (longueur de répétition), commençant juste après la virgule décimale, sous forme de fraction :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\10^{n}x&=a_{1}a_{2} \cdots a_{n}.{\overline {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}\\\left(10^{n}-1\right)x=99\cdots 99x&=a_ {1}a_{2}\cdots a_{n}\\x&={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{10^{n}-1}}={\frac {a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}{99\cdots 99}}\end{aligned}}}$

Plus explicitement, on obtient les cas suivants :

Si la décimale répétitive est comprise entre 0 et 1 et que le bloc répétitif a une longueur de n chiffres, apparaissant d'abord juste après la virgule décimale, alors la fraction (pas nécessairement réduite) sera le nombre entier représenté par le bloc à n chiffres divisé par le un représenté par n chiffres 9. Par exemple,

• 0.444444... = 4/9 puisque le bloc répétitif est 4 (un bloc à 1 chiffre),
• 0,565656... = 56/99 puisque le bloc répétitif est 56 (un bloc à 2 chiffres),
• 0,012012... = 12/999puisque le bloc répétitif est 012 (un bloc à 3 chiffres) ; cela se réduit encore à4/333.
• 0.999999... = 9/9 = 1, puisque le bloc répétitif est 9 (également un bloc à 1 chiffre)

Si la décimale répétée est comme ci-dessus, sauf qu'il y a k chiffres (supplémentaires) 0 entre la virgule et le bloc de n chiffres répété, alors on peut simplement ajouter k chiffres 0 après les n chiffres 9 du dénominateur (et, comme avant, la fraction peut ensuite être simplifiée). Par exemple,

• 0,000444... = 4/9000 puisque le bloc répétitif est 4 et que ce bloc est précédé de 3 zéros,
• 0,005656... = 56/9900 puisque le bloc répétitif est 56 et qu'il est précédé de 2 zéros,
• 0,00012012... = 12/99900 = 1/8325 puisque le bloc répétitif est 012 et il est précédé de 2 zéros.

Toute décimale répétitive qui n'est pas de la forme décrite ci-dessus peut être écrite comme la somme d'une décimale terminale et d'une décimale répétitive de l'un des deux types ci-dessus (en fait, le premier type suffit, mais cela pourrait nécessiter que la décimale terminale soit négative). Par exemple,

• 1,23444... = 1,23 + 0,00444... = 123/100 + 4/900 = 1107/900 + 4/900 = 1111/900
  • ou bien 1,23444... = 0,79 + 0,44444... = 79/100 + 4/9 = 711/900 + 400/900 = 1111/900
• 0,3789789... = 0,3 + 0,0789789... = 3/dix + 789/9990 = 2997/9990 + 789/9990 = 3786/9990 = 631/1665
  • ou bien 0,3789789... = −0,6 + 0,9789789... = −6/dix + 978/999 = −5994/9990 + 9780/9990 = 3786/9990 = 631/1665

Une méthode encore plus rapide consiste à ignorer complètement la virgule décimale et à procéder comme ceci

• 1,23444... = 1234 − 123/900 = 1111/900 (le dénominateur a un 9 et deux 0 car un chiffre se répète et il y a deux chiffres non répétitifs après la virgule)
• 0,3789789... = 3789 − 3/9990 = 3786/9990 (le dénominateur a trois 9 et un 0 car trois chiffres se répètent et il y a un chiffre non répétitif après la virgule)

Il s'ensuit que toute décimale répétée avec une période n , et k chiffres après la virgule qui n'appartiennent pas à la partie répétée, peut être écrite comme une fraction (pas nécessairement réduite) dont le dénominateur est (10 ⁿ  − 1)10 ^k .

Inversement la période de la décimale répétitive d'une fraction c/résera (au plus) le plus petit nombre n tel que 10 ⁿ  − 1 soit divisible par d .

Par exemple, la fraction 2/7a d = 7, et le plus petit k qui fait 10 ^k  − 1 divisible par 7 est k = 6, car 999999 = 7 × 142857. La période de la fraction2/7 est donc 6.

Répéter les nombres décimaux en séries infinies

Un nombre décimal répétitif peut également être exprimé comme une série infinie . Autrement dit, une décimale répétée peut être considérée comme la somme d'un nombre infini de nombres rationnels. Pour prendre l'exemple le plus simple,

${\displaystyle 0.{\overline {1}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{100}}+{\frac {1}{1000}}+\cdots =\ somme _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{n}}}}$

La série ci-dessus est une série géométrique avec le premier terme comme1/dix et le facteur commun 1/dix. Parce que la valeur absolue du facteur commun est inférieure à 1, nous pouvons dire que la série géométrique converge et trouver la valeur exacte sous la forme d'une fraction en utilisant la formule suivante où a est le premier terme de la série et r est le facteur commun.

${\displaystyle {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {1}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {1 }{10-1}}={\frac {1}{9}}}$

De la même manière,

${\displaystyle {\begin{aligned}0.{\overline {142857}}&={\frac {142857}{10^{6}}}+{\frac {142857}{10^{12}}}+ {\frac {142857}{10^{18}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {142857}{10^{6n}}}\\[6px] \implique &\quad {\frac {a}{1-r}}={\frac {\frac {142857}{10^{6}}}{1-{\frac {1}{10^{6} }}}}={\frac {142857}{10^{6}-1}}={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}\end{aligned}}}$

Multiplication et permutation cyclique

Le comportement cyclique des nombres décimaux répétés dans la multiplication conduit également à la construction d'entiers qui sont cycliquement permutés lorsqu'ils sont multipliés par certains nombres. Par exemple, 102564 × 4 = 410256 . 102564 est la répétition de4/39 et 410256 la répétition de 16/39.

Autres propriétés des longueurs de répétition

Diverses propriétés des longueurs de répétition (périodes) sont données par Mitchell et Dickson.

• La période de 1/kcar l'entier k est toujours  k  − 1.
• Si p est premier, la période de1/pdivise uniformément en p  − 1.
• Si k est composite, la période de1/kest strictement inférieur à k  − 1.
• La période de c/k, Pour c coprime à k , est égale à la période de1/k.
• Si k  = 2 ^a 5 ^b n où n  > 1 et n n'est pas divisible par 2 ou 5, alors la longueur du transitoire de1/kest max( a ,  b ), et la période est égale à r , où r est le plus petit entier tel que 10 ^r 1 (mod n ) .
• Si p , p′ , p″ ,... sont des nombres premiers distincts, alors la période de1/p p′ p″ ⋯ est égal au plus petit commun multiple des périodes de 1/p, 1/p′, 1/p″,....
• Si k et k′ n'ont pas de facteurs premiers communs autres que 2 ou 5, alors la période de1/kk′ est égal au plus petit commun multiple des périodes de 1/k et 1/k′.
• Pour p premier , si

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p}}\right)={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{2}} }\right)=\cdots ={\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)}$

pour certains m , mais

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m}}}\right)\neq {\text{period}}\left({\frac {1}{p ^{m+1}}}\droit),}$

alors pour c  ≥ 0 on a

${\displaystyle {\text{period}}\left({\frac {1}{p^{m+c}}}\right)=p^{c}\cdot {\text{period}}\left( {\frac {1}{p}}\droit).}$

• Si p est un nombre premier propre se terminant par un 1, c'est-à-dire si la répétition de1/pest un nombre cyclique de longueur p  − 1 et p = 10 h  + 1 pour un certain h , alors chaque chiffre 0, 1, ..., 9 apparaît dans la répétition exactement h = p  − 1/dix fois.

Pour d'autres propriétés de reptends, voir aussi.

Extension à d'autres bases

Diverses caractéristiques des nombres décimaux répétés s'étendent à la représentation des nombres dans toutes les autres bases entières, pas seulement en base 10 :

• Tout nombre réel peut être représenté comme une partie entière suivie d'un point de base (la généralisation d'un point décimal aux systèmes non décimaux) suivi d'un nombre fini ou infini de chiffres .
• Si la base est un entier, une séquence de terminaison représente évidemment un nombre rationnel.
• Un nombre rationnel a une séquence terminale si tous les facteurs premiers du dénominateur de la forme fractionnaire entièrement réduite sont également des facteurs de la base. Ces nombres forment un ensemble dense dans Q et R .
• Si le système de numération positionnelle est standard, c'est-à-dire qu'il a une base

${\displaystyle b\in \mathbb {Z} \smallsetminus \{-1,0,1\}}$

combiné avec un ensemble consécutif de chiffres

${\displaystyle D:=\{d_{1},d_{1}+1,\dots ,d_{r}\}}$

avec r  := | b | , d _r  := d ₁ + r − 1 et 0 D , alors une séquence de terminaison est évidemment équivalente à la même séquence avec une partie répétitive non terminée constituée du chiffre 0. Si la base est positive, alors il existe un ordre homomorphism de l' ordre lexicographique des chaînes infinies du côté droit sur le alphabet D dans un certain intervalle fermé des réels, qui mappe les cordes 0. A ₁ A ₂ ... A _n d _B et 0. A ₁ A ₂ .. . ( A _n + 1) d ₁ avec A _i ∈ D et A _n ≠ d _b au même nombre réel - et il n'y a pas d' autres images en double. Dans le système décimal, par exemple, il y a 0. 9  = 1. 0  = 1 ; dans le système ternaire équilibré il y a 0. 1  = 1. T  = 1/2.

• Un nombre rationnel a une séquence indéfiniment répétée de longueur finie l , si le dénominateur de la fraction réduite contient un facteur premier qui n'est pas un facteur de la base. Si q est le facteur maximal du dénominateur réduit qui est premier à la base, l est le plus petit exposant tel que q divise b ^l − 1 . C'est l' ordre multiplicatif ord _q ( b ) de la classe de résidus b mod q qui est un diviseur de la fonction de Carmichael λ ( q ) qui à son tour est plus petite que q . La séquence répétitive est précédée d'un transitoire de longueur finie si la fraction réduite partage également un facteur premier avec la base. Une séquence répétitive

${\displaystyle \left(0.{\overline {A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell }}}\right)_{b}}$

représente la fraction

${\displaystyle {\frac {(A_{1}A_{2}\ldots A_{\ell })_{b}}{b^{l}-1}}.}$

• Un nombre irrationnel a une représentation de longueur infinie qui n'est, à aucun moment, une séquence indéfiniment répétée de longueur finie.

Par exemple, en duodécimal ,1/2 = 0,6, 1/3 = 0,4, 1/4 = 0,3 et 1/6 = 0,2 tous se terminent ; 1/5= 0,2 497 répétitions avec une longueur de période de 4, contrairement à l'expansion décimale équivalente de 0,2 ;1/7= 0. 186A35 a une période 6 en duodécimal, tout comme en décimal.

Si b est une base entière et k est un entier,

${\displaystyle {\frac {1}{k}}={\frac {1}{b}}+{\frac {(bk)^{1}}{b^{2}}}+{\frac { (bk)^{2}}{b^{3}}}+{\frac {(bk)^{3}}{b^{4}}}+{\frac {(bk)^{4}} {b^{5}}}+\cdots +{\frac {(bk)^{N-1}}{b^{N}}}+\cdots }$

Par exemple 1/7 en duodécimal :

1/7 = (1/dix + 5/10 ² + 21/10 ³ + A5/10 ⁴ + 441/10 ⁵ + 1985/10 ⁶+ ...) _{base 12}

qui est 0. 186A35 (base 12). 10 (base 12) vaut 12 (base 10), 10 ² (base 12) vaut 144 (base 10), 21 (base 12) vaut 25 (base 10), A5 (base 12) vaut 125 (base 10), . ..

Algorithme pour les bases positives

Pour un rationnel 0 <p/q< 1 (et base b ∈ N _>1 ) il existe l'algorithme suivant produisant la répétition avec sa longueur :

function b_adic(b,p,q) // b ≥ 2; 0 < p < q
  static digits = "0123..."; // up to the digit with value b–1
begin
  s = "";   // the string of digits
  pos = 0; // all places are right to the radix point
  while not defined(occurs[p]) do
    occurs[p] = pos;  // the position of the place with remainder p
    bp = b*p;
    z = floor(bp/q); // index z of digit within: 0 ≤ z ≤ b-1
    p = b*p − z*q;    // 0 ≤ p < q
    if p = 0 then L = 0; return (s); end if
    s = s . substring(digits, z, 1); // append the character of the digit
    pos += 1;
  end while
  L = pos - occurs[p]; // the length of the repetend (being < q)
  // mark the digits of the repetend by a vinculum:
  for i from occurs[p] to pos-1 do
    substring(s, i, 1) = overline(substring(s, i, 1));
  end for
  return (s);
end function

La première ligne en surbrillance calcule le chiffre z .

La ligne suivante calcule le nouveau reste p' de la division modulo le dénominateur q . En conséquence de la fonction de plancher, floor nous avons

${\displaystyle {\frac {bp}{q}}-1\;\;<\;\;z=\left\lfloor {\frac {bp}{q}}\right\rfloor \;\;\leq \;\;{\frac {bp}{q}},}$

Donc

${\displaystyle bp-q<zq\quad \implies \quad p':=bp-zq<q}$

et

${\displaystyle zq\leq bp\quad \implies \quad 0\leq bp-zq=:p'\,.}$

Comme tous ces restes p sont des entiers non négatifs inférieurs à q , il ne peut y en avoir qu'un nombre fini avec pour conséquence qu'ils doivent se reproduire dans la whileboucle. Une telle récurrence est détectée par le tableau associatif occurs . Le nouveau chiffre z est formé dans la ligne jaune, où p est la seule non constante. La longueur L de la répétition est égale au nombre de restes (voir aussi la section Chaque nombre rationnel est soit un nombre décimal soit un nombre décimal qui se termine, soit un nombre répété ).

Applications à la cryptographie

Les décimales répétées (également appelées séquences décimales) ont trouvé des applications de codage cryptographique et de correction d'erreurs. Dans ces applications, des nombres décimaux répétés jusqu'à la base 2 sont généralement utilisés, ce qui donne lieu à des séquences binaires. La séquence binaire de longueur maximale pour1/p(quand 2 est une racine primitive de p ) est donnée par :

${\displaystyle a(i)=2^{i}{\bmod {p}}{\bmod {2}}}$

Ces séquences de période p  − 1 ont une fonction d'autocorrélation qui a un pic négatif de −1 pour le décalage dep  − 1/2. Le caractère aléatoire de ces séquences a été examiné par des tests purs et durs .

Voir également

• Représentation décimale
• Premier reptend complet
• Le théorème de Midy
• Numéro parasite
• Zéro de fin
• Prime unique
• 0,999... , un nombre décimal répété égal à un
• Principe du pigeonnier

Références et remarques

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Répétition décimale" . MathWorld .