Schéma lisse - Smooth scheme

En géométrie algébrique , un schéma lisse sur un champ est un schéma qui est bien approché par un espace affine près de n'importe quel point. La fluidité est une manière de préciser la notion de schéma sans points singuliers . Un cas particulier est la notion de variété lisse sur un champ. Les schémas lisses jouent le rôle dans la géométrie algébrique des variétés en topologie.

Définition

Premièrement, soit X un schéma affine de type fini sur un corps k . De manière équivalente, X a une immersion fermée dans l'espace affine A n sur k pour un certain nombre naturel n . Alors X est le sous-schéma fermé défini par certaines équations g 1 = 0, ..., g r = 0, où chaque g i est dans l'anneau polynomial k [ x 1 , ..., x n ]. Le schéma affine X est lisse de dimension m sur k si X a la dimension d' au moins m au voisinage de chaque point, et la matrice de dérivés (∂ g i / ∂ x j ) est de rang au moins n - m partout sur X . (Il s'ensuit que X a une dimension égale à m au voisinage de chaque point.) Le lissage est indépendant du choix d'immersion de X dans l'espace affine.

Par condition sur la matrice des dérivées, on entend que le sous-ensemble fermé de X où tous les mineurs ( n - m ) × ( n - m ) de la matrice des dérivées sont nuls est l'ensemble vide. De manière équivalente, l' idéal dans l'anneau polynomial généré par tout g i et tous ces mineurs est l'anneau polynomial entier.

En termes géométriques, la matrice de dérivées (∂ g i / ∂ x j ) en un point p de X donne une application linéaire F n → F r , où F est le corps résiduel de p . Le noyau de cette carte est appelé l' espace tangent de Zariski de X à la p . La régularité de X signifie que la dimension de l'espace tangent de Zariski est égale à la dimension de X près de chaque point; en un point singulier , l'espace tangent de Zariski serait plus grand.

Plus généralement, un schéma X sur un corps k est lisse sur k si chaque point de X a un voisinage ouvert qui est un schéma affine lisse d'une certaine dimension sur k . En particulier, un schéma lisse sur k est localement de type fini .

Il existe une notion plus générale d'un morphisme lisse des schémas, qui est à peu près un morphisme à fibres lisses. En particulier, un schéma X est lisse sur un corps k si et seulement si le morphisme X → Spec k est lisse.

Propriétés

Un schéma lisse sur un champ est régulier et donc normal . En particulier, un schéma lisse sur un champ est réduit .

Définissez une variété sur un corps k comme étant un schéma intégral séparé de type fini sur k . Alors tout schéma séparé lisse de type fini sur k est une union finie disjointe de variétés lisses sur k .

Pour une variété lisse X sur les nombres complexes, l'espace X ( C ) des points complexes de X est une variété complexe , en utilisant la topologie classique (euclidienne). De même, pour une variété lisse X sur les nombres réels, l'espace X ( R ) des points réels est une variété réelle , éventuellement vide.

Pour tout système X qui est localement de type fini sur un corps k , il existe une cohérence faisceau Ω 1 des écarts sur X . Le schéma X est lisse sur k si et seulement si Ω 1 est un fibré vectoriel de rang égal à la dimension de X près de chaque point. Dans ce cas, Ω 1 est appelé le faisceau de cotangente de X . Le fibré tangent d'un schéma lisse sur k peut être défini comme le bundle dual, TX = (Ω 1 ) * .

Lissage est une propriété géométrique , ce qui signifie que pour toute extension du champ E de k , un système X est lisse sur k si et seulement si le système X E  : = X × Spec k Spec E est lisse sur E . Pour un corps parfait k , un schéma X est lisse sur k si et seulement si X est localement de type fini sur k et X est régulier .

Douceur générique

Un schéma X est dit génériquement lisse de dimension n sur k si X contient un sous-ensemble dense ouvert qui est lisse de dimension n sur k . Chaque variété sur un champ parfait (en particulier un champ algébriquement clos) est génériquement lisse.

Exemples

  • L'espace affine et l'espace projectif sont des schémas lisses sur un champ k .
  • Un exemple d' hypersurface lisse dans l'espace projectif P n sur k est l'hypersurface de Fermat x 0 d + ... + x n d = 0, pour tout entier positif d inversible en k .
  • Un exemple de schéma singulier (non lisse) sur un champ k est le sous-schéma fermé x 2 = 0 dans la droite affine A 1 sur k .
  • Un exemple de variété singulière (non lisse) sur k est la courbe cubique cuspidale x 2 = y 3 dans le plan affine A 2 , qui est lisse en dehors de l'origine ( x , y ) = (0,0).
  • Une variété de dimension 0 X sur un corps k est de la forme X = Spec E , où E est un corps d'extension fini de k . La variété X est lisse sur k si et seulement si E est une extension séparable de k . Ainsi, si E n'est pas séparable sur k , alors X est un schéma régulier mais n'est pas lisse sur k . Par exemple, soit k le corps des fonctions rationnelles F p ( t ) pour un nombre premier p , et soit E = F p ( t 1 / p ); alors Spec E est une variété de dimension 0 sur k qui est un schéma régulier, mais non lisse sur k .
  • Les variétés Schubert ne sont en général pas lisses.

Remarques

Les références

  • D. Notes de Gaitsgory sur la planéité et la douceur à http://www.math.harvard.edu/~gaitsgde/Schemes_2009/BR/SmoothMaps.pdf
  • Hartshorne, Robin (1977), Géométrie algébrique , Textes d'études supérieures en mathématiques , 52 , New York: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-90244-9 , MR   0463157
  • Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2e éd.), Cambridge University Press , ISBN   978-0-521-36764-6 , MR   1011461

Voir également