Schéma (mathématiques) - Scheme (mathematics)

En mathématiques , un schème est une structure mathématique qui élargit la notion de variété algébrique de plusieurs manières, comme par exemple la prise en compte des multiplicités (les équations x = 0 et x ² = 0 définissent la même variété algébrique et des schèmes différents) et autorisant des « variétés " défini sur n'importe quel anneau commutatif (par exemple, les courbes de Fermat sont définies sur les entiers ).

Les schémas ont été introduits par Alexander Grothendieck en 1960 dans son traité « Éléments de géométrie algébrique » ; l'un de ses objectifs était de développer le formalisme nécessaire pour résoudre des problèmes profonds de géométrie algébrique , tels que les conjectures de Weil (dont la dernière a été prouvée par Pierre Deligne ). Fortement basée sur l' algèbre commutative , la théorie des schémas permet une utilisation systématique des méthodes de topologie et d' algèbre homologique . La théorie des schémas unifie également la géométrie algébrique avec une grande partie de la théorie des nombres , ce qui a finalement conduit à la preuve de Wiles du dernier théorème de Fermat .

Formellement, un schéma est un espace topologique avec des anneaux commutatifs pour tous ses ensembles ouverts, qui résulte du collage de spectres (espaces d' idéaux premiers ) d'anneaux commutatifs le long de leurs sous-ensembles ouverts. En d'autres termes, c'est un espace annelé qui est localement un spectre d'un anneau commutatif.

Le point de vue relatif est qu'une grande partie de la géométrie algébrique devrait être développée pour un morphisme X → Y de schémas (appelé schéma X sur Y ), plutôt que pour un schéma individuel. Par exemple, dans l'étude des surfaces algébriques , il peut être utile de considérer des familles de surfaces algébriques sur tout schéma Y . Dans de nombreux cas, la famille de toutes les variétés d'un type donné peut elle-même être considérée comme une variété ou un schéma, connu sous le nom d' espace de modules .

Pour certaines des définitions détaillées de la théorie des schémas, voir le glossaire de la théorie des schémas .

Développement

Les origines de la géométrie algébrique résident principalement dans l'étude des équations polynomiales sur les nombres réels . Au 19ème siècle, il est devenu clair (notamment dans les travaux de Jean-Victor Poncelet et Bernhard Riemann ) que la géométrie algébrique a été simplifiée en travaillant sur le domaine des nombres complexes , qui a l'avantage d'être algébriquement clos . Deux questions ont progressivement attiré l'attention au début du 20e siècle, motivées par des problèmes de théorie des nombres : comment développer la géométrie algébrique sur n'importe quel corps algébriquement clos, en particulier en caractéristique positive ? (Les outils de topologie et d' analyse complexe utilisés pour étudier les variétés complexes ne semblent pas s'appliquer ici.) Et qu'en est-il de la géométrie algébrique sur un corps arbitraire ?

Le Nullstellensatz de Hilbert suggère une approche de la géométrie algébrique sur tout corps algébriquement clos k : les idéaux maximaux dans l' anneau polynomial k [ x ₁ ,..., x _n ] sont en correspondance bijective avec l'ensemble k ⁿ de n - des tuples d'éléments de k , et les idéaux premiers correspondent aux ensembles algébriques irréductibles de k ⁿ , appelés variétés affines. Motivés par ces idées, Emmy Noether et Wolfgang Krull ont développé le sujet de l' algèbre commutative dans les années 1920 et 1930. Leurs travaux généralisent la géométrie algébrique dans une direction purement algébrique : au lieu d'étudier les idéaux premiers dans un anneau polynomial, on peut étudier les idéaux premiers dans n'importe quel anneau commutatif. Par exemple, Krull a défini la dimension de tout anneau commutatif en termes d'idéaux premiers. Au moins lorsque l'anneau est noethérien , il a prouvé bon nombre des propriétés que l'on voudrait de la notion géométrique de dimension.

L'algèbre commutative de Noether et Krull peut être considérée comme une approche algébrique des variétés algébriques affines . Cependant, de nombreux arguments en géométrie algébrique fonctionnent mieux pour les variétés projectives , essentiellement parce que les variétés projectives sont compactes . Des années 1920 aux années 1940, BL van der Waerden , André Weil et Oscar Zariski ont appliqué l'algèbre commutative comme nouvelle base pour la géométrie algébrique dans le cadre plus riche des variétés projectives (ou quasi-projectives ). En particulier, la topologie de Zariski est une topologie utile sur une variété sur tout corps algébriquement clos, remplaçant dans une certaine mesure la topologie classique sur une variété complexe (basée sur la topologie des nombres complexes).

Pour les applications à la théorie des nombres, van der Waerden et Weil ont formulé une géométrie algébrique sur n'importe quel domaine, pas nécessairement algébriquement clos. Weil a été le premier à définir une variété abstraite (non encastrée dans l'espace projectif ), en collant des variétés affines le long de sous-ensembles ouverts, sur le modèle des variétés en topologie. Il avait besoin de cette généralité pour sa construction de la variété jacobienne d'une courbe sur n'importe quel champ. (Plus tard, les Jacobiens se sont révélés être des variétés projectives par Weil, Chow et Matsusaka .)

Les géomètres algébriques de l' école italienne avaient souvent utilisé le concept quelque peu brumeux du point générique d'une variété algébrique. Ce qui est vrai pour le point générique est vrai pour "la plupart" des points de la variété. Dans les Fondements de la géométrie algébrique de Weil (1946), les points génériques sont construits en prenant des points dans un très grand champ algébriquement clos, appelé domaine universel . Bien que cela ait fonctionné comme une base, c'était maladroit : il y avait beaucoup de points génériques différents pour la même variété. (Dans la dernière théorie des schémas, chaque variété algébrique a un seul point générique.)

Dans les années 1950, Claude Chevalley , Masayoshi Nagata et Jean-Pierre Serre , motivés en partie par les conjectures de Weil reliant la théorie des nombres et la géométrie algébrique, ont encore étendu les objets de la géométrie algébrique, par exemple en généralisant les anneaux de base autorisés. Le mot schéma a été utilisé pour la première fois lors du séminaire Chevalley de 1956, dans lequel Chevalley poursuivait les idées de Zariski. Selon Pierre Cartier , c'est André Martineau qui suggéra à Serre la possibilité d'utiliser le spectre d'un anneau commutatif arbitraire comme fondement de la géométrie algébrique.

Origine des régimes

Grothendieck donne alors la définition décisive d'un schème, concluant une génération de suggestions expérimentales et de développements partiels. Il a défini le spectre X d'un anneau commutatif R comme l'espace des idéaux premiers de R avec une topologie naturelle (appelée topologie de Zariski), mais l'a augmenté d'un faisceau d'anneaux : à chaque sous-ensemble ouvert U il a attribué un anneau commutatif O _X ( U ). Ces objets Spec( R ) sont les schémas affines ; un schéma général est alors obtenu en "collant" des schémas affines.

Une grande partie de la géométrie algébrique se concentre sur les variétés projectives ou quasi-projectives sur un corps k ; en fait, k est souvent considéré comme les nombres complexes. Les schémas de ce genre sont très spéciaux par rapport aux schémas arbitraires ; comparer les exemples ci-dessous. Néanmoins, il est commode que Grothendieck ait développé un vaste corpus de théories pour les schémas arbitraires. Par exemple, il est courant de construire d'abord un espace de modules en tant que schéma, et seulement plus tard d'étudier s'il s'agit d'un objet plus concret tel qu'une variété projective. Aussi, les applications à la théorie des nombres conduisent rapidement à des schémas sur les entiers qui ne sont définis sur aucun corps.

Définition

Un schéma affine est un espace localement annelé isomorphe au spectre Spec( R ) d'un anneau commutatif R . Un schéma est un espace localement annelé X admettant un revêtement par des ouverts U _i , tel que chaque U _i (comme espace localement annelé) est un schéma affine. En particulier, X est livré avec un faisceau O _X , qui attribue à chaque sous-ensemble ouvert U un anneau commutatif O _X ( U ) appelé anneau des fonctions régulières sur U . On peut considérer un schéma comme étant couvert par des « graphiques de coordonnées » qui sont des schémas affines. La définition signifie exactement que les schémas sont obtenus en collant ensemble des schémas affines en utilisant la topologie de Zariski.

Au début, cela s'appelait un pré - schéma , et un schéma était défini comme un pré-régime séparé . Le terme préscheme est tombé en désuétude, mais peut encore être trouvé dans des livres plus anciens, tels que les "Éléments de géométrie algébrique" de Grothendieck et le "Livre rouge" de Mumford .

Un exemple de base d'un schéma affine est le n- espace affine sur un corps k , pour un nombre naturel n . Par définition, Aⁿ
_kest le spectre de l'anneau polynomial k [ x ₁ ,..., x _n ]. Dans l'esprit de la théorie des schémas, le n -espace affine peut en fait être défini sur tout anneau commutatif R , c'est-à-dire Spec( R [ x ₁ ,..., x _n ]).

La catégorie des régimes

Les schémas forment une catégorie , avec des morphismes définis comme des morphismes d'espaces localement annelés. (Voir aussi : morphisme des schémas .) Pour un schéma Y , un schéma X sur Y signifie un morphisme X → Y des schémas. Un schéma X sur un anneau commutatif R signifie un morphisme X → Spec( R ).

Une variété algébrique sur un corps k peut être définie comme un schéma sur k avec certaines propriétés. Il existe différentes conventions sur les schémas qui doivent être appelés variétés. Un choix standard est qu'une variété sur k signifie un schéma séparé intégral de type fini sur k .

Un morphisme f : X → Y des schémas détermine un homomorphisme de pullback sur les anneaux des fonctions régulières, f * : O ( Y ) → O ( X ). Dans le cas des schémas affines, cette construction donne une correspondance bijective entre les morphismes Spec( A ) → Spec( B ) des schémas et les homomorphismes d'anneaux B → A . En ce sens, la théorie des schémas subsume complètement la théorie des anneaux commutatifs.

Puisque Z est un objet initial dans la catégorie des anneaux commutatifs , la catégorie des schémas a Spec( Z ) comme objet terminal .

Pour un schéma X sur un anneau commutatif R , un R - point de X signifie une section du morphisme X → Spec( R ). On écrit X ( R ) pour l'ensemble des R -points de X . Dans les exemples, cette définition reconstruit l'ancienne notion de l'ensemble des solutions des équations de définition de X à valeurs dans R . Lorsque R est un corps k , X ( k ) est aussi appelé l' ensemble des points k - rationnels de X .

Plus généralement, pour un schéma X sur un anneau commutatif R et toute R - algèbre commutative S , un S - point de X signifie un morphisme Spec( S ) → X sur R . On écrit X ( S ) pour l'ensemble des S -points de X . (Ce généralise l'ancienne observation que , compte tenu des équations sur un champ k , on peut considérer l'ensemble des solutions des équations dans une extension de champ E de k .) Pour un schéma X sur R , l'affectation S ↦ X ( S ) est un foncteur des R -algèbres commutatives aux ensembles. C'est une observation importante qu'un schéma X sur R est déterminé par ce foncteur de points .

Le produit fibre des schémas existe toujours. C'est-à-dire que pour tout schéma X et Z avec des morphismes vers un schéma Y , le produit fibre X × _Y Z (au sens de la théorie des catégories ) existe dans la catégorie des schémas. Si X et Z sont des schémas sur un corps k , leur produit de fibre sur Spec( k ) peut être appelé le produit X × Z dans la catégorie des k -schémas. Par exemple, le produit des espaces affines A ^m et A ⁿ sur k est l'espace affine A ^{m + n} sur k .

Puisque la catégorie des schémas a des produits de fibre et aussi un objet terminal Spec( Z ), elle a toutes les limites finies .

Exemples

• Tout schéma affine Spec( R ) est un schéma. (Ici et ci-dessous, tous les anneaux considérés sont commutatifs.)
• Un polynôme f sur un corps k , f ∈ k [ x ₁ , ..., x _n ], détermine un sous - schéma fermé f = 0 dans l' espace affine A ⁿ sur k , appelée affine hypersurface . Formellement, il peut être défini comme

${\displaystyle \operatorname {Spec} k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(f).}$

Par exemple, en prenant k pour les nombres complexes, l'équation x ² = y ² ( y +1) définit une courbe singulière dans le plan affine A²
_C, appelée courbe cubique nodale .

• Pour tout anneau commutatif R et entier naturel n , espace projectif Pⁿ
  _Rpeut être construit comme un schéma en collant n + 1 copies du n -espace affine sur R le long de sous-ensembles ouverts. C'est l'exemple fondamental qui motive le dépassement des schémas affines. Le principal avantage de l'espace projectif par rapport à l'espace affine est que Pⁿ
  _Rest propre sur R ; c'est une version algébro-géométrique de la compacité. Une observation connexe est que l'espace projectif complexe CP ⁿ est un espace compact dans la topologie classique (basée sur la topologie de C ), alors que C ⁿ ne l'est pas (pour n > 0).
• Un polynôme homogène f de degré positif dans l'anneau polynomial R [ x ₀ ,..., x _n ] détermine un sous-schéma fermé f = 0 dans l'espace projectif P ⁿ sur R , appelé hypersurface projective . En termes de construction Proj , ce sous - schéma peut être écrit comme

${\displaystyle \operatorname {Proj} R[x_{0},\ldots ,x_{n}]/(f).}$

Par exemple, le sous-schéma fermé x ³ + y ³ = z ³ de P²
_Qest une courbe elliptique sur les nombres rationnels .

• La droite à deux origines (sur un corps k ) est le schéma défini en partant de deux copies de la droite affine sur k , et en collant ensemble les deux sous-ensembles ouverts A ¹ − 0 par la carte d'identité. Ceci est un exemple simple d'un schéma non séparé. En particulier, il n'est pas affine.
• Une raison simple pour aller au-delà des schémas affines est qu'un sous-ensemble ouvert d'un schéma affine n'a pas besoin d'être affine. Par exemple, soit X = A ⁿ − 0, disons sur les nombres complexes C ; alors X n'est pas affine pour n 2. (La restriction sur n est nécessaire : la droite affine moins l'origine est isomorphe au schéma affine Spec( C [ x , x ⁻¹ ].) Pour montrer que X n'est pas affine, on calcule que toute fonction régulière sur X s'étend à une fonction régulière sur A ⁿ , lorsque n 2. (Ceci est analogue au lemme de Hartogs en analyse complexe, bien que plus facile à prouver.) C'est-à-dire l'inclusion f : X → A ⁿ induit un isomorphisme de O (A ⁿ ) = C [ x ₁ ,...., x _n ] à O ( X ). Si X était affine, il s'ensuivrait que f était un isomorphisme. Mais f n'est pas surjectif et donc pas un isomorphisme, donc le schéma X n'est pas affine.
• Soit k un champ. Alors le schéma est un schéma affine dont l'espace topologique sous-jacent est la compactification Stone-Čech des entiers positifs (avec la topologie discrète). En fait, les idéaux premiers de cet anneau sont en correspondance biunivoque avec les ultrafiltres sur les entiers positifs, l'idéal correspondant à l'ultrafiltre principal associé à l'entier positif n . Cet espace topologique est de dimension zéro , et en particulier, chaque point est une composante irréductible . Puisque les schémas affines sont quasi-compacts , ceci est un exemple de schéma quasi-compact avec une infinité de composants irréductibles. (En revanche, un schéma noethérien n'a qu'un nombre fini de composants irréductibles.)${\displaystyle \textstyle \operatorname {Spec} \left(\prod _{n=1}^{\infty }k\right)}$${\displaystyle \textstyle \prod _{m\neq n}k}$

Exemples de morphismes

Il est également fructueux de considérer des exemples de morphismes comme exemples de schémas car ils démontrent leur efficacité technique pour encapsuler de nombreux objets d'étude en géométrie algébrique et arithmétique.

Surfaces arithmétiques

Si nous considérons un polynôme alors le schéma affine a un morphisme canonique à et est appelé une surface arithmétique . Les fibres sont alors des courbes algébriques sur les corps finis . Si est une courbe elliptique alors les fibres sur son lieu discriminant générées par où${\displaystyle f\in \mathbb {Z} [x,y]}$${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} [x,y]/(f))}$${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$${\displaystyle X_{p}=X\times _{\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )}\operatorname {Spec} (\mathbb {F} _{p})}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle f(x,y)=y^{2}-x^{3}+ax^{2}+bx+c}$${\displaystyle \Delta _{f}}$

${\displaystyle \Delta _{f}=-4a^{3}c+a^{2}b^{2}+18abc-4b^{3}-27c^{2}}$

sont tous des schémas singuliers. Par exemple, si est un nombre premier et${\style d'affichage p}$

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {Z} [x,y]}{(y^{2}-x^{3}-p)}}\right)}$

alors son discriminant est . En particulier, cette courbe est singulière sur les nombres premiers . ${\displaystyle -27p^{2}}$${\style d'affichage 3,p}$

Motivation pour les régimes

Voici quelques-unes des façons dont les schèmes vont au-delà des notions plus anciennes de variétés algébriques, et leur signification.

• Extensions de terrain. Étant donné quelques équations polynomiales à n variables sur un corps k , on peut étudier l'ensemble X ( k ) des solutions des équations de l'ensemble de produits k ⁿ . Si le corps k est algébriquement clos (par exemple les nombres complexes), alors on peut baser la géométrie algébrique sur des ensembles tels que X ( k ) : définir la topologie de Zariski sur X ( k ), considérer des applications polynomiales entre différents ensembles de ce type, etc. Mais si k n'est pas algébriquement clos, alors l'ensemble X ( k ) n'est pas assez riche. En effet, on peut étudier les solutions X ( E ) des équations données dans n'importe quelle extension de champ E de k , mais ces ensembles ne sont pas déterminés par X ( k ) dans un sens raisonnable. Par exemple, la courbe plane X sur les nombres réels définis par x ² + y ² = -1 a X ( R ) vide, mais X ( C ) non vide. (En fait, X ( C ) peut être identifié avec C − 0.) En revanche, un schéma X sur un corps k a suffisamment d'informations pour déterminer l'ensemble X ( E ) de points E -rationnels pour chaque champ d'extension E de k . (En particulier, le sous-schéma fermé de A²
  _Rdéfini par x ² + y ² = −1 est un espace topologique non vide.)
• Point générique. Les points de la droite affine A¹
  _C, en tant que schéma, sont ses points complexes (un pour chaque nombre complexe) avec un point générique (dont la clôture est le schéma entier). Le point générique est l'image d'un morphisme naturel Spec( C ( x )) → A¹
  _C, où C ( x ) est le corps des fonctions rationnelles dans une variable. Pour voir pourquoi il est utile d'avoir un "point générique" réel dans le schéma, considérons l'exemple suivant.
• Soit X la courbe plane y ² = x ( x −1)( x −5) sur les nombres complexes. C'est un sous-schéma fermé de A²
  _C. Il peut être considéré comme une double couverture ramifiée de la ligne affine A¹
  _Cen projetant sur la coordonnée x . La fibre du morphisme X → A ¹ sur le point générique de A ¹ est exactement le point générique de X , donnant le morphisme

${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbf {C} (x)\left({\sqrt {x(x-1)(x-5)}}\right)\to \operatorname {Spec} \mathbf {C } (X).}$

Cela équivaut à son tour au degré -2 d'extension des champs

${\displaystyle \mathbf {C} (x)\subset \mathbf {C} (x)\left({\sqrt {x(x-1)(x-5)}}\right).}$

Ainsi, le fait d'avoir un point générique réel d'une variété donne une relation géométrique entre un morphisme de degré 2 de variétés algébriques et l'extension de degré 2 correspondante de champs de fonctions . Ceci se généralise à une relation entre le groupe fondamental (qui classe les espaces de recouvrement en topologie) et le groupe de Galois (qui classe certaines extensions de champ ). En effet, la théorie de Grothendieck du groupe fondamental étale traite le groupe fondamental et le groupe de Galois sur le même pied.

• Éléments nilpotents . Soit X le sous-schéma fermé de la droite affine A¹
  _Cdéfini par x ² = 0, parfois appelé point gras . L'anneau des fonctions régulières sur X est C [ x ]/( x ² ); en particulier, la fonction régulière x sur X est nilpotente mais pas nulle. Pour indiquer le sens de ce schéma : deux fonctions régulières sur la droite affine ont la même restriction à X si et seulement si elles ont la même valeur et la même dérivée à l'origine. Autoriser de tels schémas non réduits amène les idées de calcul et d' infinitésimaux dans la géométrie algébrique.
• Pour un exemple plus élaboré, on peut décrire tous les sous-schémas fermés de dimension zéro de degré 2 dans une variété complexe lisse Y . Un tel sous-schéma est constitué soit de deux points complexes distincts de Y , soit d'un sous-schéma isomorphe à X = Spec C [ x ]/( x ² ) comme dans le paragraphe précédent. Les sous-schémas de ce dernier type sont déterminés par un point complexe y de Y avec une droite dans l' espace tangent T _y Y . Cela indique à nouveau que les sous-schémas non réduits ont une signification géométrique, liée aux dérivées et aux vecteurs tangents.

Réas cohérents

Une partie centrale de la théorie des schémas est la notion de faisceaux cohérents , généralisant la notion de fibrés vectoriels (algébriques) . Pour un schéma X , on commence par considérer la catégorie abélienne des O _X -modules , qui sont des faisceaux de groupes abéliens sur X qui forment un module sur le faisceau de fonctions régulières O _X . En particulier, un module M sur un anneau commutatif R détermine un O _X -module associé ~Msur X = Spec( R ). Un faisceau quasi-cohérent sur un schéma X signifie un O _X -module qui est le faisceau associé à un module sur chaque sous-ensemble ouvert affine de X . Enfin, un faisceau cohérent (sur un schéma noethérien X , disons) est un O _X -module qui est le faisceau associé à un module de type fini sur chaque sous-ensemble ouvert affine de X .

Les faisceaux cohérents incluent la classe importante des fibrés vectoriels , qui sont les faisceaux qui proviennent localement de modules libres de génération finie . Un exemple est le faisceau tangent d'une variété lisse sur un champ. Cependant, les faisceaux cohérents sont plus riches ; par exemple, un fibré vectoriel sur un sous-schéma fermé Y de X peut être vu comme un faisceau cohérent sur X qui est nul en dehors de Y (par la construction d' image directe ). De cette façon, les faisceaux cohérents sur un schéma X incluent des informations sur tous les sous-schémas fermés de X . De plus, la cohomologie des faisceaux a de bonnes propriétés pour les faisceaux cohérents (et quasi-cohérents). La théorie résultante de la cohomologie des faisceaux cohérents est peut-être le principal outil technique de la géométrie algébrique.

Généralisations

Considéré comme son foncteur de points, un schéma est un foncteur qui est un faisceau d'ensembles pour la topologie de Zariski sur la catégorie des anneaux commutatifs, et qui, localement dans la topologie de Zariski, est un schéma affine. Ceci peut être généralisé de plusieurs manières. L'une consiste à utiliser la topologie étale . Michael Artin a défini un espace algébrique comme un foncteur qui est un faisceau dans la topologie étale et qui, localement dans la topologie étale, est un schéma affine. De manière équivalente, un espace algébrique est le quotient d'un schéma par une relation d'équivalence étale. Un résultat puissant, le théorème de représentabilité d'Artin , donne des conditions simples pour qu'un foncteur soit représenté par un espace algébrique.

Une autre généralisation est l'idée d'une pile . En gros, les piles algébriques généralisent les espaces algébriques en ayant un groupe algébrique attaché à chaque point, qui est considéré comme le groupe d'automorphisme de ce point. Par exemple, toute action d'un groupe algébrique G sur une variété algébrique X détermine une pile de quotients [ X / G ], qui mémorise les sous-groupes stabilisateurs pour l'action de G . Plus généralement, les espaces de modules en géométrie algébrique sont souvent mieux considérés comme des piles, gardant ainsi une trace des groupes d'automorphismes des objets classés.

Grothendieck a introduit à l'origine les piles comme un outil pour la théorie de la descendance . Dans cette formulation, les piles sont (de manière informelle) des faisceaux de catégories. A partir de cette notion générale, Artin a défini la classe plus étroite des piles algébriques (ou "piles d'Artin"), qui peuvent être considérées comme des objets géométriques. Ceux-ci incluent les empilements de Deligne-Mumford (similaires aux orbifolds en topologie), pour lesquels les groupes stabilisateurs sont finis, et les espaces algébriques, pour lesquels les groupes stabilisateurs sont triviaux. Le théorème de Keel-Mori dit qu'un empilement algébrique avec des groupes stabilisateurs finis a un espace de modules grossiers qui est un espace algébrique.

Un autre type de généralisation consiste à enrichir le faisceau de structure, en rapprochant la géométrie algébrique de la théorie de l'homotopie . Dans ce cadre, connu sous le nom de géométrie algébrique dérivée ou "géométrie algébrique spectrale", le faisceau de structure est remplacé par un analogue homotopique d'un faisceau d'anneaux commutatifs (par exemple, un faisceau de spectres d'anneaux E-infini ). Ces faisceaux admettent des opérations algébriques qui ne sont associatives et commutatives qu'à une relation d'équivalence près. Prendre le quotient par cette relation d'équivalence donne le faisceau de structure d'un schéma ordinaire. Ne pas prendre le quotient, cependant, conduit à une théorie qui peut mémoriser des informations plus élevées, de la même manière que les foncteurs dérivés en algèbre homologique donnent des informations plus élevées sur les opérations telles que le produit tensoriel et le foncteur Hom sur les modules.

Voir également

• Morphisme plat , Morphisme lisse , Morphisme propre , Morphisme fini , Morphisme d' Étale
• Courbe stable
• Géométrie birationnelle
• Cohomologie Étale , Groupe de Chow , Théorie de Hodge
• Schéma de groupe , Variété abélienne , Groupe algébrique linéaire , Groupe réductif .
• Modules des courbes algébriques
• Schémas de collage

Citations

Les références

Liens externes

• David Mumford, Peut-on expliquer les schémas aux biologistes ?
• Les auteurs du projet Stacks, le projet Stacks
• https://quomodocumque.wordpress.com/2012/09/03/mochizuki-on-abc/ - la section des commentaires contient des discussions intéressantes sur la théorie des schémas (y compris les articles de Terence Tao ).