Rallonge séparable - Separable extension

En théorie des champs , un sous-corps de l' algèbre , une extension de champ algébrique est appelée une extension séparable si pour tout , le polynôme minimal de plus de F est un polynôme séparable (c'est-à-dire que sa dérivée formelle n'est pas le polynôme zéro, ou de manière équivalente il n'a pas de répétition racines dans n'importe quel domaine d'extension). Il existe également une définition plus générale qui s'applique lorsque E n'est pas nécessairement algébrique sur F . Une extension qui n'est pas séparable est dite inséparable . ${\style d'affichage E\supseteq F}$${\displaystyle \alpha \in E}$${\style d'affichage \alpha }$

Toute extension algébrique d'un corps de caractéristique zéro est séparable, et toute extension algébrique d'un corps fini est séparable. Il s'ensuit que la plupart des extensions envisagées en mathématiques sont séparables. Néanmoins, le concept de séparabilité est important, car l'existence d'extensions inséparables est le principal obstacle à l'extension de nombreux théorèmes prouvés en caractéristique zéro à caractéristique non nulle. Par exemple, le théorème fondamental de la théorie de Galois est un théorème sur les extensions normales , qui ne reste vrai en caractéristique non nulle que si les extensions sont également supposées séparables.

Le concept opposé, une extension purement inséparable , se produit également naturellement, car chaque extension algébrique peut être décomposée uniquement comme une extension purement inséparable d'une extension séparable. Une extension algébrique de corps de caractéristiques p non nulles est une extension purement inséparable si et seulement si pour tout , le polynôme minimal de sur F n'est pas un polynôme séparable, ou, de manière équivalente, pour tout élément x de E , il existe un nombre positif entier k tel que . ${\style d'affichage E\supseteq F}$${\displaystyle \alpha \in E\setmoins F}$${\style d'affichage \alpha }$${\displaystyle x^{p^{k}}\in F}$

L'exemple le plus simple d'une extension (purement) inséparable est , les corps de fonctions rationnelles dans l'indéterminé x avec des coefficients dans le corps fini . L'élément a un polynôme minimal , ayant et une racine multiple p- fold, comme . C'est une simple extension algébrique de degré p , comme , mais ce n'est pas une extension normale puisque le groupe de Galois est trivial. ${\displaystyle E=\mathbb {F} _{p}(x)\supset F=\mathbb {F} _{p}(x^{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /(p)}$${\style d'affichage x\dans E}$${\displaystyle f(X)=X^{p}-x^{p}\in F[X]}$${\style d'affichage f'\!(X)=0}$${\style d'affichage f(X)=(Xx)^{p}\in E[X]}$${\style d'affichage E=F[x]}$${\displaystyle {\text{Gal}}(A/F)}$

Discussion informelle

Un polynôme arbitraire f avec des coefficients dans un domaine F est dit avoir des racines distinctes ou être sans carré s'il a des racines deg( f ) dans un domaine d'extension . Par exemple, le polynôme g ( X ) = X ² – 1 a précisément deg( g ) = 2 racines dans le plan complexe ; à savoir 1 et -1 , et par conséquent n'ont des racines distinctes. D'autre part, le polynôme h ( X ) = ( X – 2) ² , qui est le carré d'un polynôme non constant n'a pas de racines distinctes, car son degré est deux, et 2 est sa seule racine. ${\style d'affichage E\supseteq F}$

Chaque polynôme peut être factorisé en facteurs linéaires sur une clôture algébrique du champ de ses coefficients. Par conséquent, le polynôme n'a pas de racines distinctes si et seulement s'il est divisible par le carré d'un polynôme de degré positif. C'est le cas si et seulement si le plus grand commun diviseur du polynôme et de sa dérivée n'est pas une constante. Ainsi, pour tester si un polynôme est sans carré, il n'est pas nécessaire de considérer explicitement une extension de champ ni de calculer les racines.

Dans ce contexte, le cas des polynômes irréductibles demande une certaine prudence. A priori, il peut sembler qu'être divisible par un carré soit impossible pour un polynôme irréductible , qui n'a de diviseur non constant que lui-même. Cependant, l'irréductibilité dépend du champ ambiant, et un polynôme peut être irréductible sur F et réductible sur une certaine extension de F . De même, la divisibilité par un carré dépend du champ ambiant. Si un polynôme irréductible f sur F est divisible par un carré sur une certaine extension de champ, puis (par la discussion ci - dessus) le plus grand commun diviseur de f et sa dérivée f ' est pas constante. On notera que les coefficients de f ' appartiennent au même domaine que ceux de f , et le plus grand diviseur commun de deux polynômes est indépendante du champ ambiant, de sorte que le plus grand commun diviseur de f et f ' a des coefficients dans F . Puisque f est irréductible dans F , ce plus grand commun diviseur est nécessairement f lui-même. Étant donné que le degré de f ' est strictement inférieur au degré de f , il en résulte que la dérivée de f est égal à zéro, ce qui implique que la caractéristique du champ est un nombre premier p , et f peut être écrite

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{pi}.}$

Un polynôme comme celui-ci, dont la dérivée formelle est nulle, est dit inséparable . Les polynômes qui ne sont pas inséparables sont dits séparables . Une extension séparable est une extension qui peut être générée par des éléments séparables , c'est-à-dire des éléments dont les polynômes minimaux sont séparables.

Polynômes séparables et inséparables

Un polynôme irréductible f dans F [ X ] est séparable si et seulement s'il a des racines distinctes dans n'importe quelle extension de F (c'est-à-dire s'il peut être factorisé en facteurs linéaires distincts sur une clôture algébrique de F ) . Soit f dans F [ X ] un polynôme irréductible et f ' sa dérivée formelle . Alors les conditions suivantes sont équivalentes pour que le polynôme irréductible f soit séparable :

• Si E est une extension de F dans laquelle f est un produit de facteurs linéaires, aucun carré de ces facteurs ne divise f dans E [ X ] (c'est-à-dire que f est sans carré sur E ).
• Il existe une extension E de F telle que f a deg( f ) deux racines distinctes deux à deux dans E .
• La constante 1 est un plus grand commun diviseur polynomial de f et f ' .
• La dérivée formelle f ' de f n'est pas le polynôme nul.
• Soit la caractéristique de F est nulle, soit la caractéristique est p , et f n'est pas de la forme${\displaystyle \textstyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{pi}.}$

Puisque la dérivée formelle d'un polynôme de degré positif ne peut être nulle que si le champ a une caractéristique première, pour qu'un polynôme irréductible ne soit pas séparable, ses coefficients doivent se trouver dans un champ de caractéristique première. Plus généralement, un polynôme irréductible (non nul) f dans F [ X ] n'est pas séparable, si et seulement si la caractéristique de F est un nombre premier (non nul) p , et f ( X )= g ( X ^p ) pour un polynôme irréductible g dans F [ X ] . Par application répétée de cette propriété, il s'ensuit qu'en fait, pour un entier non négatif n et un polynôme irréductible séparable g dans F [ X ] (où F est supposé avoir la caractéristique première p ). ${\style d'affichage f(X)=g(X^{p^{n}})}$

Si l' endomorphisme de Frobenius de F n'est pas surjectif, il existe un élément qui n'est pas une puissance p ième d'un élément de F . Dans ce cas, le polynôme est irréductible et inséparable. Inversement, s'il existe un polynôme irréductible (non nul) inséparable dans F [ X ] , alors l' endomorphisme de Frobenius de F ne peut pas être un automorphisme , puisque, sinon, on aurait pour certains , et le polynôme f se factoriserait comme${\displaystyle x\à x^{p}}$${\displaystyle a\in F}$${\displaystyle X^{p}-a}$${\displaystyle \textstyle f(X)=\sum a_{i}X^{ip}}$${\displaystyle a_{i}=b_{i}^{p}}$${\style d'affichage b_{i}}$${\displaystyle \textstyle \sum a_{i}X^{ip}=\left(\sum b_{i}X^{i}\right)^{p}.}$

Si K est un corps fini de caractéristique première p , et si X est un indéterminé , alors le corps des fonctions rationnelles sur K , K ( X ) , est nécessairement imparfait , et le polynôme f ( Y )= Y ^p − X est inséparable (sa dérivée formelle dans Y est 0). Plus généralement, si F est un corps de caractère premier (non nul) pour lequel l' endomorphisme de Frobenius n'est pas un automorphisme, F possède une extension algébrique indissociable.

Un corps F est parfait si et seulement si tous les polynômes irréductibles sont séparables. Il s'ensuit que F est parfait si et seulement si F a une caractéristique zéro, ou F a une caractéristique première (non nulle) p et l' endomorphisme de Frobenius de F est un automorphisme. Cela inclut tous les corps finis.

Éléments séparables et extensions séparables

Soit une extension de champ. Un élément est séparable sur F s'il est algébrique sur F , et son polynôme minimal est séparable (le polynôme minimal d'un élément est nécessairement irréductible). ${\style d'affichage E\supseteq F}$${\displaystyle \alpha \in E}$

Si sont séparables sur F , alors , et sont séparables sur F . ${\displaystyle \alpha ,\beta \in E}$${\displaystyle \alpha +\beta }$${\displaystyle \alpha \beta }$${\style d'affichage 1/\alpha }$

Ainsi, l'ensemble de tous les éléments de E séparables sur F forme un sous-corps de E , appelé clôture séparable de F dans E .

La clôture séparable de F dans une clôture algébrique de F est simplement appelée la clôture séparable de F . Comme la clôture algébrique, elle est unique à un isomorphisme près, et en général, cet isomorphisme n'est pas unique.

Une extension de champ est séparable si E est la fermeture séparable de F dans E . C'est le cas si et seulement si E est engendré sur F par des éléments séparables. ${\style d'affichage E\supseteq F}$

Si sont des extensions de champ, alors E est séparable sur F si et seulement si E est séparable sur L et L est séparable sur F . ${\displaystyle E\supseteq L\supseteq F}$

Si est une extension finie (c'est-à-dire que E est un F -espace vectoriel de dimension finie), alors les éléments suivants sont équivalents. ${\style d'affichage E\supseteq F}$

1. E est séparable sur F .
2. ${\displaystyle E=F(a_{1},\ldots ,a_{r})}$où sont les éléments séparables de E .${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r}}$
3. ${\style d'affichage E=F(a)}$où a est un élément séparable de E .
4. Si K est une clôture algébrique de F , alors il existe exactement des homomorphismes de corps de E dans K qui fixent F .${\style d'affichage [E:F]}$
5. Pour toute extension normale K de F qui contient E , alors il existe exactement des homomorphismes de corps de E dans K qui fixent F .${\style d'affichage [E:F]}$

L'équivalence de 3 et 1. On sait que le théorème de l' élément primitif ou le théorème de Artin sur les éléments primitifs . Les propriétés 4. et 5. sont à la base de la théorie de Galois , et, en particulier, du théorème fondamental de la théorie de Galois .

Extensions séparables dans les extensions algébriques

Soit une extension algébrique de champs de caractéristique p . La clôture séparable de F dans E est Pour tout élément il existe un entier positif k tel que et donc E est une extension purement inséparable de S . Il s'ensuit que S est l'unique champ intermédiaire séparable sur F et sur lequel E est purement inséparable . ${\style d'affichage E\supseteq F}$${\displaystyle S=\{\alpha \in E|\alpha {\text{ est séparable sur }}F\}.}$${\displaystyle x\in E\setminus S}$${\displaystyle x^{p^{k}}\in S,}$

Si est une extension finie , son degré [ E  : F ] est le produit des degrés [ S  : F ] et [ E  : S ] . Le premier, souvent noté [ E  : F ] _sep est souvent désigné comme la partie séparable de [ E  : F ] , ou comme le${\style d'affichage E\supseteq F}$ degré séparable de E / F ; ce dernier est appelé lapartie inséparabledu diplôme ou ledegré indissociable . Le degré indissociable est 1 en caractéristique zéro et une puissance de p en caractéristique p > 0.

D'autre part, une extension algébrique arbitraire peut ne pas posséder une extension intermédiaire K qui est purement inséparable sur F et sur lesquels E est séparable . Cependant, une telle extension intermédiaire peut exister si, par exemple, est une extension normale de degré fini (dans ce cas, K est le corps fixe du groupe de Galois de E sur F ). Supposons qu'une telle extension intermédiaire existe et que [ E  : F ] soit fini, alors [ S  : F ] = [ E  : K ] , où S est la clôture séparable de F dans E . Les preuves connues de cette égalité utilisent le fait que si est une extension purement inséparable, et si f est un polynôme irréductible séparable dans F [ X ] , alors f reste irréductible dans K [ X ]). Cette égalité implique que, si [ E  : F ] est fini, et U est un corps intermédiaire entre F et E , alors [ E  : F ] _sep = [ E  : U ] _sep ⋅[ U  : F ] _sep . ${\style d'affichage E\supseteq F}$${\style d'affichage E\supseteq F}$${\displaystyle K\supseteq F}$

La clôture séparable F ^sep d'un corps F est la clôture séparable de F dans une clôture algébrique de F . C'est l' extension galoisienne maximale de F . Par définition, F est parfait si et seulement si ses clôtures séparables et algébriques coïncident.

Séparabilité des extensions transcendantales

Des problèmes de séparabilité peuvent survenir lorsqu'on traite d' extensions transcendantales . C'est typiquement le cas pour la géométrie algébrique sur un champ de caractéristique première, où le champ fonctionnel d'une variété algébrique a un degré de transcendance sur le champ fondamental qui est égal à la dimension de la variété.

Pour définir la séparabilité d'une extension transcendantale, il est naturel d'utiliser le fait que toute extension de champ est une extension algébrique d'une extension purement transcendantale . Cela conduit à la définition suivante.

Une base de transcendance séparatrice d'une extension est une base de transcendance T de E telle que E est une extension algébrique séparable de F ( T ) . Une extension de champ de génération finie est séparable si et seulement si elle a une base de transcendance séparatrice ; une extension qui n'est pas de génération finie est dite séparable si chaque sous-extension de génération finie a une base de transcendance séparatrice. ${\style d'affichage E\supseteq F}$

Soit une extension de champ d' exposant caractéristique p (c'est-à-dire p = 1 dans la caractéristique zéro et, sinon, p est la caractéristique). Les propriétés suivantes sont équivalentes : ${\style d'affichage E\supseteq F}$

• E est une extension séparable de F ,
• ${\displaystyle E^{p}}$et F sont linéairement disjoints sur${\displaystyle F^{p},}$
• ${\displaystyle F^{1/p}\otimes _{F}E}$est réduit ,
• ${\displaystyle L\otimes _{F}E}$est réduit pour chaque extension de champ L de E ,

où désigne le produit tensoriel des champs , est le champ des p ème puissances des éléments de F (pour tout champ F ), et est le champ obtenu en adjoignant à F la p ème racine de tous ses éléments (voir Algèbre séparable pour des détails). ${\displaystyle \otimes _{F}}$${\style d'affichage F^{p}}$${\style d'affichage F^{1/p}}$

Critères différentiels

La séparabilité peut être étudiée à l'aide de dérivations . Soit E une extension de corps de type fini d'un corps F . En désignant l' espace vectoriel E des dérivations F -linéaires de E , on a ${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)}$

${\displaystyle \dim _{E}\operatorname {Der} _{F}(E,E)\geq \operatorname {tr.deg} _{F}E,}$

et l'égalité est vraie si et seulement si E est séparable sur F (ici "tr.deg" désigne le degré de transcendance ).

En particulier, si est une extension algébrique, alors si et seulement si est séparable. ${\style d'affichage E/F}$${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)=0}$${\style d'affichage E/F}$

Soit une base de et . Alors est séparable algébrique sur si et seulement si la matrice est inversible. En particulier, lorsque , cette matrice est inversible si et seulement si est une base de transcendance séparatrice. ${\displaystyle D_{1},\ldots ,D_{m}}$${\displaystyle \operatorname {Der} _{F}(E,E)}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}\in E}$${\style d'affichage E}$${\displaystyle F(a_{1},\ldots ,a_{m})}$${\style d'affichage D_{i}(a_{j})}$${\displaystyle m=\operatorname {tr.deg} _{F}E}$${\displaystyle \{a_{1},\ldots ,a_{m}\}}$

Remarques

Les références

• Borel, A. Groupes algébriques linéaires , 2e éd.
• PM Cohn (2003). Algèbre de base
• Fried, Michael D.; Jarden, Moshé (2008). Arithmétique de champ . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Fougère. 11 (3e éd.). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl  1145.12001 .
• I. Martin Isaacs (1993). Algèbre, un cours d'études supérieures (1ère éd.). Maison d'édition Brooks/Cole. ISBN 0-534-19002-2.
• Kaplansky, Irving (1972). Champs et anneaux . Conférences de Chicago en mathématiques (deuxième éd.). Presse de l'Université de Chicago. p. 55-59. ISBN 0-226-42451-0. Zbl  1001.16500 .
• M. Nagata (1985). Théorie des champs commutatifs : nouvelle édition, Shokabo. (japonais) [1]
• Silverman, Joseph (1993). L'arithmétique des courbes elliptiques . Springer. ISBN 0-387-96203-4.

Liens externes

• "extension séparable d'un champ k" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]