Polynôme trigonométrique - Trigonometric polynomial

Dans les sous-domaines mathématiques de l'analyse numérique et de l'analyse mathématique , un polynôme trigonométrique est une combinaison linéaire finie de fonctions sin ( nx ) et cos ( nx ) avec n prenant les valeurs d'un ou plusieurs nombres naturels . Les coefficients peuvent être pris comme des nombres réels, pour des fonctions à valeurs réelles. Pour les coefficients complexes , il n'y a pas de différence entre une telle fonction et une série finie de Fourier .

Les polynômes trigonométriques sont largement utilisés, par exemple dans l' interpolation trigonométrique appliquée à l' interpolation de fonctions périodiques . Ils sont également utilisés dans la transformée de Fourier discrète .

Le terme polynôme trigonométrique pour le cas de valeurs réelles peut être vu comme utilisant l' analogie : les fonctions sin ( nx ) et cos ( nx ) sont similaires à la base monôme des polynômes . Dans le cas complexe, les polynômes trigonométriques sont couverts par les puissances positive et négative de e ^ix .

Définition formelle

Toute fonction T de la forme

${\ displaystyle T (x) = a_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} \ cos (nx) + i \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ { n} \ sin (nx) \ qquad (x \ in \ mathbb {R})}$

avec for , est appelé un polynôme trigonométrique complexe de degré N ( Rudin 1987 , p. 88). En utilisant la formule d'Euler, le polynôme peut être réécrit comme ${\ displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle 0 \ leq n \ leq N}$

${\ displaystyle T (x) = \ sum _ {n = -N} ^ {N} c_ {n} e ^ {inx} \ qquad (x \ in \ mathbb {R}).}$

De manière analogue, laisser et ou , alors ${\ displaystyle a_ {n}, b_ {n} \ in \ mathbb {R}, \ quad 0 \ leq n \ leq N}$${\ displaystyle a_ {N} \ neq 0}$${\ displaystyle b_ {N} \ neq 0}$

${\ displaystyle t (x) = a_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {N} a_ {n} \ cos (nx) + \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n } \ sin (nx) \ qquad (x \ in \ mathbb {R})}$

est appelé un polynôme trigonométrique réel de degré N ( Powell 1981 , p. 150).

Propriétés

Un polynôme trigonométrique peut être considéré comme une fonction périodique sur la droite réelle , avec une période un multiple de 2 π , ou comme une fonction sur le cercle unitaire .

Un résultat de base est que les polynômes trigonométriques sont denses dans l'espace des fonctions continues sur le cercle unité, avec la norme uniforme ( Rudin 1987 , Thm 4.25); c'est un cas particulier du théorème de Stone – Weierstrass . Plus concrètement, pour toute fonction continue f et tout ε > 0, il existe un polynôme trigonométrique T tel que | f ( z ) - T ( z ) | < ε pour tout z . Théorème de Fejér les états que les moyens arithmétiques des sommes partielles de la série de Fourier de f converge uniformément vers f , à condition que f est continue sur le cercle, ce qui donne de manière explicite de trouver une approximation polynomiale trigonométrique T .

Un polynôme trigonométrique de degré N a un maximum de 2 N racines dans tout intervalle [ a , a + 2 π ) avec a dans R , à moins que ce ne soit la fonction zéro ( Powell 1981 , p. 150).

Les références

• Powell, Michael JD (1981), Théorie et méthodes d'approximation , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-29514-7
• Rudin, Walter (1987), Analyse réelle et complexe (3e éd.), New York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-054234-1, MR  0924157.