Quantification de l'unicité - Uniqueness quantification

En mathématiques et en logique , le terme « unicité » fait référence à la propriété d'être le seul et unique objet satisfaisant à une certaine condition. Ce type de quantification est connue comme la quantification unique ou la quantification existentielle unique , et est souvent désignée par les symboles « ∃ ! » ou "∃ ₌₁ ". Par exemple, la déclaration formelle

${\displaystyle \exists !n\in \mathbb {N} \,(n-2=4)}$

peut être lu comme « il y a exactement un nombre naturel tel que ». ${\style d'affichage n}$${\style d'affichage n-2=4}$

Prouver l'unicité

La technique la plus courante pour prouver l'existence unique d'un certain objet consiste d'abord à prouver l'existence de l'entité avec la condition souhaitée, puis à prouver que deux de ces entités (disons, et ) doivent être égales l'une à l'autre (c'est-à-dire  ) . ${\style d'affichage a}$${\style d'affichage b}$${\style d'affichage a=b}$

Par exemple, pour montrer que l'équation a exactement une solution, on commencerait d'abord par établir qu'il existe au moins une solution, à savoir 3 ; la preuve de cette partie est simplement la vérification que l'équation ci-dessous tient : ${\style d'affichage x+2=5}$

${\style d'affichage 3+2=5.}$

Pour établir l'unicité de la solution, on procéderait alors en supposant qu'il existe deux solutions, à savoir et , satisfaisant . C'est-à-dire, ${\style d'affichage a}$${\style d'affichage b}$${\style d'affichage x+2=5}$

${\displaystyle a+2=5{\text{ et }}b+2=5.}$

Par transitivité de l'égalité,

${\style d'affichage a+2=b+2.}$

Soustraire 2 des deux côtés donne alors

${\style d'affichage a=b.}$

ce qui achève la preuve que 3 est l'unique solution de . ${\style d'affichage x+2=5}$

En général, à la fois l'existence (il existe au moins un objet) et l'unicité (il existe au plus un objet) doivent être prouvées, afin de conclure qu'il existe exactement un objet satisfaisant une dite condition.

Une autre façon de prouver l'unicité est de prouver qu'il existe un objet satisfaisant la condition, puis de prouver que chaque objet satisfaisant la condition doit être égal à . ${\style d'affichage a}$${\style d'affichage a}$

Réduction à la quantification existentielle et universelle ordinaire

La quantification de l' unicité peut être exprimée en termes de quantificateurs existentiels et universels de la logique des prédicats , en définissant la formule pour signifier ${\displaystyle \exists !xP(x)}$

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\,\wedge \neg \exists y\,(P(y)\wedge y\neq x)),}$

ce qui est logiquement équivalent à

${\displaystyle \exists x\,(P(x)\wedge \forall y\,(P(y)\to y=x)).}$

Une définition équivalente qui sépare les notions d'existence et d'unicité en deux clauses, au détriment de la brièveté, est

${\displaystyle \exists x\,P(x)\wedge \forall y\,\forall z\,(P(y)\wedge P(z)\to y=z).}$

Une autre définition équivalente, qui a l'avantage de la brièveté, est

${\displaystyle \exists x\,\forall y\,(P(y)\leftrightarrow y=x).}$

Généralisations

La quantification de l'unicité peut être généralisée en quantification de comptage (ou quantification numérique). Cela inclut à la fois la quantification de la forme « exactement k objets existent tels que … » ainsi que « un nombre infini d'objets existent tels que … » et « seulement un nombre fini d'objets existent tels que… ». La première de ces formes est exprimable en utilisant des quantificateurs ordinaires, mais les deux dernières ne peuvent pas être exprimées en logique du premier ordre ordinaire .

L'unicité dépend d'une notion d' égalité . Le relâcher à une relation d'équivalence plus grossière donne une quantification de l'unicité jusqu'à cette équivalence (dans ce cadre, l'unicité régulière est "unicité jusqu'à l'égalité"). Par exemple, de nombreux concepts de la théorie des catégories sont définis comme étant uniques jusqu'à l' isomorphisme .

Le point d'exclamation ( ), peut également être utilisé comme symbole de quantification séparé, donc , où . Par exemple, il peut être utilisé en toute sécurité dans l' axiome de remplacement , au lieu de . ${\style d'affichage !}$${\displaystyle (\exists !xP(x))\leftrightarrow ((\exists xP(x))\land (!xP(x)))}$${\displaystyle (!xP(x)):=(\forall a\forall bP(a)\land P(b)\rightarrow a=b)}$${\style d'affichage \existe !}$

Voir également

• Essentiellement unique
• Un chaud
• Singleton (mathématiques)
• Théorème d'unicité

Les références

Bibliographie

• Kleene, Stephen (1952). Introduction aux métamathématiques . Ishi Press International. p. 199.
• Andrews, Peter B. (2002). Une introduction à la logique mathématique et à la théorie des types à la vérité par la preuve (2. éd.). Dordrecht : Kluwer Acad. Éd. p. 233. ISBN 1-4020-0763-9.