Matrice unitaire - Unitary matrix

En algèbre linéaire , une matrice carrée complexe U est unitaire si sa transposée conjuguée U ^* est aussi son inverse , c'est-à-dire si

$${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I,}$$

où I est la matrice identité .

En physique, en particulier en mécanique quantique, la transposée conjuguée est appelée l' adjoint hermitien d'une matrice et est désignée par un poignard (†), de sorte que l'équation ci-dessus devient

$${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I.}$$

L'analogue réel d'une matrice unitaire est une matrice orthogonale . Les matrices unitaires ont une importance significative en mécanique quantique car elles préservent les normes , et donc les amplitudes de probabilité .

Propriétés

Pour toute matrice unitaire U de taille finie, ce qui suit est vrai :

• Étant donné deux vecteurs complexes x et y , la multiplication par U préserve leur produit scalaire ; qui est, ⟨ U x , U y ⟩ = ⟨ x , y ⟩ .
• U est normal ( ).${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}}$
• U est diagonalisable ; c'est-à-dire que U est unitairement similaire à une matrice diagonale, en conséquence du théorème spectral . Ainsi, U a une décomposition de la forme où V est unitaire, et D est diagonal et unitaire.${\displaystyle U=VDV^{*},}$
• ${\displaystyle \left|\det(U)\right|=1}$.
• Ses espaces propres sont orthogonaux.
• U peut être écrit comme U = e ^iH , où e indique l' exponentielle de la matrice , i est l'unité imaginaire et H est une matrice hermitienne .

Pour tout entier non négatif n , l'ensemble de toutes les matrices unitaires n  ×  n avec multiplication matricielle forme un groupe , appelé groupe unitaire U( n ).

Toute matrice carrée de norme euclidienne unitaire est la moyenne de deux matrices unitaires.

Conditions équivalentes

Si U est une matrice carrée complexe, alors les conditions suivantes sont équivalentes :

1. ${\style d'affichage U}$ est unitaire.
2. ${\displaystyle U^{*}}$ est unitaire.
3. ${\style d'affichage U}$est inversible avec .${\displaystyle U^{-1}=U^{*}}$
4. Les colonnes de forment une base orthonormée de par rapport au produit scalaire habituel. En d'autres termes, .${\style d'affichage U}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle U^{*}U=I}$
5. Les lignes de forment une base orthonormée de par rapport au produit scalaire habituel. En d'autres termes, .${\style d'affichage U}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle UU^{*}=I}$
6. ${\style d'affichage U}$est une isométrie par rapport à la norme usuelle. C'est, pour tous , où .${\displaystyle \|Ux\|_{2}=\|x\|_{2}}$${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$${\textstyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}$
7. ${\style d'affichage U}$est une matrice normale (de manière équivalente, il existe une base orthonormée formée par les vecteurs propres de ) avec des valeurs propres situées sur le cercle unité .${\style d'affichage U}$

Constructions élémentaires

Matrice unitaire 2 × 2

L'expression générale d'une matrice unitaire 2 × 2 est

$${\displaystyle U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix}},\qquad \gauche|a\droite|^{2}+\gauche|b\droite|^{2}=1,}$$

qui dépend de 4 paramètres réels (la phase de a , la phase de b , la grandeur relative entre a et b , et l'angle φ ). Le déterminant d'une telle matrice est

$${\displaystyle \det(U)=e^{i\varphi }.}$$

Le sous-groupe de ces éléments avec est appelé le groupe unitaire spécial SU(2). ${\style d'affichage U}$${\style d'affichage \det(U)=1}$

La matrice U peut aussi s'écrire sous cette forme alternative :

$${\displaystyle U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\varphi _{1}}\cos \theta &e^{i\varphi _{2}}\sin \theta \\-e^{-i\varphi _{2}}\sin \theta &e^{-i\varphi _{1}}\cos \theta \\\end{bmatrix}},}$$

qui, en introduisant φ ₁ = ψ + Δ et φ ₂ = ψ − Δ , prend la factorisation suivante :

$${\displaystyle U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix} \cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta }&0\\0&e^{-i \Delta }\end{bmatrice}}.}$$

Cette expression met en évidence la relation entre 2 × 2 matrices unitaires et 2 x 2 matrices orthogonales de l' angle θ .

Une autre factorisation est

$${\displaystyle U={\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i \xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &\sin \beta \\-\sin \beta &\cos \beta \\\end {bmatrice}}.}$$

De nombreuses autres factorisations d'une matrice unitaire en matrices de base sont possibles.

Voir également

• Matrice hermitienne
• Décomposition matricielle
• Groupe orthogonal O( n )
• Groupe orthogonal spécial SO( n )
• Matrice orthogonale
• Porte logique quantique
• Groupe unitaire spécial SU( n )
• Matrice symplectique
• Groupe unitaire U( n )
• Opérateur unitaire

Les références

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Matrice Unitaire" . MathWorld . Todd Rowland.
• Ivanova, OA (2001) [1994], "Matrice unitaire" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press
• "Montrer que les valeurs propres d'une matrice unitaire ont un module 1" . Échange de pile . 28 mars 2016.