Matrice hermitienne - Hermitian matrix

${\displaystyle \mathbf {v} ,\mathbf {w} }$

${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

C'est aussi la manière dont le concept plus général d' opérateur auto-adjoint est défini.

Réalité des formes quadratiques

Une matrice carrée est hermitienne si et seulement si ${\style d'affichage A}$

$${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,A\mathbf {v} \rangle \in \mathbb {R} ,\quad \mathbf {v} \in V.}$$

Propriétés spectrales

Une matrice carrée est hermitienne si et seulement si elle est unitairement

${\style d'affichage A}$

Applications

Les matrices hermitiennes sont fondamentales pour la théorie quantique de la mécanique matricielle créée par Werner Heisenberg , Max Born et Pascual Jordan en 1925.

Exemples

Dans cette section, la transposée conjuguée de la matrice est notée , la transposée de la matrice est notée et le conjugué de la matrice est noté . ${\style d'affichage A}$${\displaystyle A^{\mathsf {H}}}$${\style d'affichage A}$${\displaystyle A^{\mathsf {T}}}$${\style d'affichage A}$${\displaystyle {\overline {A}}}$

Voir l'exemple suivant :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&a-ib&c-id\\a+ib&1&m-in\\c+id&m+in&2\end{bmatrix}}}$

Les éléments diagonaux doivent être réels , car ils doivent être leur propre conjugué complexe.

Les familles bien connues de matrices hermitiennes comprennent les matrices de Pauli , les

Ici, nous proposons une autre matrice hermitienne utile en utilisant un exemple abstrait. Si une matrice carrée est égale à la

${\style d'affichage A}$

${\displaystyle A=BB^{\mathsf {H}}}$

${\style d'affichage A}$

${\style d'affichage B}$

${\style d'affichage A}$

Propriétés

Les valeurs diagonales principales sont réelles

Les entrées sur la diagonale principale (en haut à gauche en bas à droite) de toute matrice hermitienne sont réelles .

Preuve  —

Par définition de la matrice hermitienne

$${\displaystyle H_{ij}={\overline {H}}_{ji}}$$

donc pour i = j ce qui précède suit.

Seules les entrées diagonales principales sont nécessairement réelles ; Les matrices hermitiennes peuvent avoir des entrées à valeurs complexes arbitraires dans leurs éléments hors diagonale , tant que les entrées diagonalement opposées sont des conjugués complexes.

Symétrique

Une matrice qui n'a que des entrées réelles est symétrique si et seulement si c'est une matrice hermitienne. Une matrice réelle et symétrique est simplement un cas particulier d'une matrice hermitienne.

Ainsi, si une matrice antisymétrique réelle est multipliée par un multiple d'unité imaginaire , alors elle devient hermitienne. ${\style d'affichage i}$

Normal

Toute matrice hermitienne est une matrice normale . C'est-à-dire, . ${\displaystyle AA^{\mathsf {H}}=A^{\mathsf {H}}A}$

Diagonisable

Le théorème spectral de dimension finie dit que toute matrice hermitienne peut être diagonalisée par une matrice unitaire , et que la matrice diagonale résultante n'a que des entrées réelles. Cela implique que toutes les valeurs propres d'une matrice hermitienne A de dimension n sont réelles, et que A a n vecteurs propres linéairement indépendants . De plus, une matrice hermitienne a des vecteurs propres

Somme des matrices hermitiennes

La somme de deux matrices hermitiennes est hermitienne.

L'inverse est hermitien

L' inverse d'une matrice hermitienne inversible est également hermitienne.

Produit associatif de matrices hermitiennes

Le produit de deux matrices hermitiennes A et B est hermitienne si et seulement si AB = BA .

ABA Hermitienne

Si A et B sont hermitiens, alors ABA est aussi hermitien.

${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} }$ est réel pour complexe ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Pour un vecteur de valeur complexe arbitraire v le produit est réel en raison de . Ceci est particulièrement important en physique quantique où les matrices hermitiennes sont des opérateurs qui mesurent les propriétés d'un système, par exemple le

${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} =\left(\mathbf {v} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {v} \right)^{ \mathsf {H}}}$

Hermitian complexe forme l'espace vectoriel sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Le complexe hermitien n de n Les matrices ne forment pas un espace vectoriel sur les nombres complexes , ℂ , puisque la matrice identité I _n est hermitienne, mais je  je _n est pas. Cependant , les matrices hermitiennes complexes font former un espace vectoriel sur le réel nombre ℝ . Dans le 2 n ² - dimensions espace vectoriel de complexe n  ×  n matrices sur ℝ , les matrices hermitiennes complexes forment un sous - espace de dimension n ² . Si E _jk désigne la matrice n par n avec un 1 dans la position j , k et des zéros ailleurs, une base (orthonormale par rapport au produit scalaire de Frobenius) peut être décrite comme suit :

$${\displaystyle E_{jj}{\text{ pour }}1\leq j\leq n\quad (n{\text{ matrices}})}$$

avec l'ensemble des matrices de la forme

$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}+E_{kj}\right){\text{ for }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrices}}\right)}$$

et les matrices

$${\displaystyle {\frac {i}{\sqrt {2}}}\left(E_{jk}-E_{kj}\right){\text{ for }}1\leq j<k\leq n\quad \left({\frac {n^{2}-n}{2}}{\text{ matrices}}\right)}$$

où désigne l'

${\style d'affichage i}$

${\displaystyle i={\sqrt {-1}}~.}$

Décomposition propre

Si n vecteurs propres orthonormés d'une matrice hermitienne sont choisis et écrits comme les colonnes de la matrice

${\displaystyle \mathbf {u} _{1},\dots ,\mathbf {u} _{n}}$

${\displaystyle A=U\Lambda U^{\mathsf {H}}}$

${\displaystyle UU^{\mathsf {H}}=I=U^{\mathsf {H}}U}$

$${\displaystyle A=\sum _{j}\lambda _{j}\mathbf {u} _{j}\mathbf {u} _{j}^{\mathsf {H}},}$$

${\displaystyle \lambda _{j}}$

${\style d'affichage \Lambda }$

Déterminant réel

Le déterminant d'une matrice hermitienne est réel :

(Alternativement, le déterminant est le produit des valeurs propres de la matrice, et comme mentionné précédemment, les valeurs propres d'une matrice hermitienne sont réelles.)

Décomposition en hermitienne et hermitienne asymétrique

Les faits supplémentaires liés aux matrices hermitiennes comprennent :

• La somme d'une matrice carrée et de sa transposée conjuguée est hermitienne.${\displaystyle \left(A+A^{\mathsf {H}}\right)}$
• La différence entre une matrice carrée et sa transposée conjuguée est

${\displaystyle \left(AA^{\mathsf {H}}\right)}$

${\displaystyle C=A+B\quad {\mbox{with}}\quad A={\frac {1}{2}}\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)\quad {\mbox{et}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(CC^{\mathsf {H}}\right)}$

quotient de Rayleigh

En mathématiques, pour une matrice hermitienne complexe M et un vecteur x non nul , le quotient de Rayleigh , est défini comme : ${\displaystyle R(M,\mathbf {x} )}$

${\displaystyle R(M,\mathbf {x} ):={\frac {\mathbf {x} ^{\mathsf {H}}M\mathbf {x} }{\mathbf {x} ^{\mathsf { H}}\mathbf {x} }}.}$

Pour les matrices et vecteurs réels, la condition d'être hermitien se réduit à celle d'être symétrique, et le conjugué transpose à la transposition habituelle . Notez que pour tout scalaire réel non nul . Rappelons également qu'une matrice hermitienne (ou réelle symétrique) a des valeurs propres réelles. ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {H}}}$${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle R(M,c\mathbf {x} )=R(M,\mathbf {x} )}$${\style d'affichage c}$

On peut montrer que, pour une matrice donnée, le quotient de Rayleigh atteint sa valeur minimale (la plus petite valeur propre de M) quand est (le vecteur propre correspondant). De même, et . ${\displaystyle \lambda _{\min }}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {v} _{\min }}$${\displaystyle R(M,\mathbf {x} )\leq \lambda _{\max }}$${\displaystyle R(M,\mathbf {v} _{\max })=\lambda _{\max }}$

Le quotient de Rayleigh est utilisé dans le théorème min-max pour obtenir les valeurs exactes de toutes les valeurs propres. Il est également utilisé dans les algorithmes de valeurs propres pour obtenir une approximation des valeurs propres à partir d'une approximation des vecteurs propres. Plus précisément, c'est la base de l'itération du quotient de Rayleigh.

La plage du quotient de Rayleigh (pour une matrice qui n'est pas nécessairement hermitienne) est appelée plage numérique (ou spectre en analyse fonctionnelle). Lorsque la matrice est hermitienne, la plage numérique est égale à la norme spectrale. Toujours en analyse fonctionnelle, on parle de rayon spectral. Dans le contexte des C*-algèbres ou de la mécanique quantique algébrique, la fonction qui à

${\style d'affichage \lambda _{\max }}$

Voir également

• Matrice symétrique complexe
• Espace vectoriel
• Matrice anti-hermitienne (

Les références

Liens externes

• "Matrice hermitienne" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
• Visualizing Hermitian Matrix as An Ellipse with Dr. Geo , par Chao-Kuei Hung de l'Université de Chaoyang, donne une explication plus géométrique.
• "Matrices Hermitiennes" . MathPages.com .