Fonction Whittaker - Whittaker function

En mathématiques, une fonction de Whittaker est une solution spéciale de l'équation de Whittaker , une forme modifiée de l' équation hypergéométrique confluente introduite par Whittaker  ( 1903 ) pour rendre les formules impliquant les solutions plus symétriques. Plus généralement, Jacquet  ( 1966 , 1967 ) a introduit des fonctions de Whittaker de groupes réductifs sur des champs locaux , où les fonctions étudiées par Whittaker sont essentiellement le cas où le champ local est les nombres réels et le groupe est SL ₂ ( R ).

L'équation de Whittaker est

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} w} {dz ^ {2}}} + \ gauche (- {\ frac {1} {4}} + {\ frac {\ kappa} {z}} + {\ frac {1 / 4- \ mu ^ {2}} {z ^ {2}}} \ right) w = 0.}$

Il a un point singulier régulier en 0 et un point singulier irrégulier en ∞. Deux solutions sont données par les fonctions de Whittaker M _{κ, μ} ( z ), W _{κ, μ} ( z ), définies en termes de fonctions hypergéométriques confluentes de Kummer M et U par

${\ displaystyle M _ {\ kappa, \ mu} \ left (z \ right) = \ exp \ left (-z / 2 \ right) z ^ {\ mu + {\ tfrac {1} {2}}} M \ gauche (\ mu - \ kappa + {\ tfrac {1} {2}}, 1 + 2 \ mu, z \ right)}$

${\ displaystyle W _ {\ kappa, \ mu} \ left (z \ right) = \ exp \ left (-z / 2 \ right) z ^ {\ mu + {\ tfrac {1} {2}}} U \ gauche (\ mu - \ kappa + {\ tfrac {1} {2}}, 1 + 2 \ mu, z \ right).}$

Les fonctions de Whittaker et sont les mêmes que celles avec des valeurs opposées de μ , c'est-à-dire considérées comme une fonction de μ à κ et z fixes , ce sont des fonctions paires . Lorsque κ et z sont réels, les fonctions donnent des valeurs réelles pour des valeurs réelles et imaginaires de μ . Ces fonctions de μ jouent un rôle dans les espaces dits de Kummer . ${\ displaystyle M _ {\ kappa, \ mu} (z)}$${\ displaystyle W _ {\ kappa, \ mu} (z)}$

Les fonctions de Whittaker apparaissent comme des coefficients de certaines représentations du groupe SL ₂ ( R ), appelées modèles de Whittaker .

Les références

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Lectures complémentaires

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