Groupe réducteur - Reductive group

Structure algébrique → Théorie des groupes Théorie des groupes
Notions de base Sous-groupe Sous-groupe normal Groupe de quotients Produit (semi-) direct Homomorphismes de groupe noyau image somme directe produit de couronne Facile fini infini continu multiplicatif additif cyclique abélien dièdre nilpotent soluble action Glossaire de la théorie des groupes Liste des sujets de théorie des groupes
Groupes finis Classification des groupes simples finis cyclique en alternance Type de mensonge sporadique Le théorème de Cauchy Le théorème de Lagrange Théorèmes de Sylow théorème de Hall groupe p Groupe abélien élémentaire Groupe Frobenius Multiplicateur de Schur Groupe symétrique S n Klein quatre groupe V Groupe dièdre D n Groupe de quaternions Q Groupe dicyclique Dic n
Groupes discrets Treillis Entiers ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Groupe gratuit Groupes modulaires PSL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Groupe arithmétique Treillis Groupe hyperbolique
Groupes topologiques et de Lie Solénoïde Cercle GL linéaire général ( n ) Linéaire spécial SL( n ) O orthogonal ( n ) Euclidien E( n ) Spécial orthogonal SO( n ) Unitaire U( n ) Unité spéciale SU( n ) Sp symplectique ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difféomorphisme Boucle Groupe de Lie de dimension infinie O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Groupes algébriques Groupe algébrique linéaire Groupe réducteur Variété abélienne Courbe elliptique
v t e

En mathématiques , un groupe réducteur est un type de groupe algébrique linéaire sur un corps . Une définition est qu'un groupe algébrique linéaire connecté G sur un corps parfait est réducteur s'il a une représentation à noyau fini qui est une somme directe de représentations irréductibles . Les groupes réductifs comprennent certains des groupes les plus importants en mathématiques, tels que le groupe linéaire général GL ( n ) de matrices inversibles , le groupe orthogonal spécial SO ( n ) et le groupe symplectique Sp (2 n ). Les groupes algébriques simples et (plus généralement) les groupes algébriques semi-simples sont réducteurs.

Claude Chevalley a montré que la classification des groupes réductifs est la même sur tout corps algébriquement clos . En particulier, les groupes algébriques simples sont classés par des diagrammes de Dynkin , comme dans la théorie des groupes de Lie compacts ou des algèbres de Lie semi-simples complexes . Les groupes réducteurs sur un champ arbitraire sont plus difficiles à classer, mais pour de nombreux champs tels que les nombres réels R ou un champ de nombres , la classification est bien comprise. La classification des groupes simples finis dit que la plupart des groupes simples finis apparaissent comme le groupe G ( k ) de k - points rationnels d'un groupe algébrique simple G sur un corps fini k , ou comme des variantes mineures de cette construction.

Les groupes réducteurs ont une théorie de représentation riche dans divers contextes. Premièrement, on peut étudier les représentations d'un groupe réducteur G sur un corps k comme un groupe algébrique, qui sont des actions de G sur k -espaces vectoriels. Mais aussi, on peut étudier les représentations complexes du groupe G ( k ) lorsque k est un corps fini, ou les représentations unitaires de dimension infinie d'un groupe réductif réel, ou les représentations automorphes d'un groupe algébrique adélique . La théorie de la structure des groupes réducteurs est utilisée dans tous ces domaines.

Définitions

Un groupe algébrique linéaire sur un corps k est défini comme un schéma de sous-groupes fermé lisse de GL ( n ) sur k , pour un entier positif n . De manière équivalente, un groupe algébrique linéaire sur k est un schéma de groupe affine lisse sur k .

Avec le radical unipotent

Un groupe algébrique linéaire connexe sur un corps algébriquement clos est dit semi - simple si chaque sous-groupe normal résoluble connexe lisse de est trivial. Plus généralement, un groupe algébrique linéaire connexe sur un champ algébriquement clos est dit réductif si le plus grand sous-groupe normal unipotent connexe lisse de est trivial. Ce sous-groupe normal est appelé le radical unipotent et est noté . (Certains auteurs n'exigent pas que les groupes réducteurs soient connectés.) Un groupe sur un champ arbitraire k est appelé semi-simple ou réducteur si le changement de base est semi-simple ou réducteur, où est une clôture algébrique de k . (Ceci est équivalent à la définition des groupes réducteurs dans l'introduction lorsque k est parfait.) Tout tore sur k , tel que le groupe multiplicatif G _m , est réducteur. ${\style d'affichage G}$ ${\style d'affichage G}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage R_{u}(G)}$${\style d'affichage G}$ ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$

Avec la théorie des représentations

Une autre définition équivalente d'un groupe réducteur est un groupe connexe admettant une représentation semi-simple fidèle qui reste semi-simple sur sa clôture algébrique ^{page 383} . ${\style d'affichage G}$${\displaystyle k^{al}}$

Groupes réducteurs simples

Un groupe algébrique linéaire G sur un corps k est appelé simple (ou k - simple ) s'il est semi-simple, non trivial, et que tout sous-groupe normal connecté de G sur k est trivial ou égal à G . (Certains auteurs appellent cette propriété "presque simple".) Cela diffère légèrement de la terminologie pour les groupes abstraits, en ce qu'un groupe algébrique simple peut avoir un centre non trivial (bien que le centre doit être fini). Par exemple, pour tout entier n au moins 2 et tout corps k , le groupe SL ( n ) sur k est simple, et son centre est le schéma de groupe _n des racines n ièmes de l'unité.

Une isogénie centrale des groupes réductifs est un homomorphisme surjectif avec noyau un schéma de sous-groupes central fini . Tout groupe réducteur sur un corps admet une isogénie centrale à partir du produit d'un tore et de quelques groupes simples. Par exemple, sur tout champ k ,

${\displaystyle GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.}$

Il est un peu gênant que la définition d'un groupe réducteur sur un corps implique le passage à la clôture algébrique. Pour un corps parfait k , cela peut être évité : un groupe algébrique linéaire G sur k est réducteur si et seulement si tout k -sous- groupe normal unipotent connexe lisse de G est trivial. Pour un champ arbitraire, cette dernière propriété définit un groupe pseudo-réductif , ce qui est un peu plus général.

Groupes fractionnés-réducteurs

Un groupe réducteur G sur un corps k est dit scindé s'il contient un tore maximal scindé T sur k (c'est-à-dire un tore scindé dans G dont le changement de base en est un tore maximal dans ). Cela revient à dire que T est un tore scindé dans G qui est maximal parmi tous les k -tori de G . Ces types de groupes sont utiles car leur classification peut être décrite à l'aide de données combinatoires appelées données racine. ${\displaystyle {\overline {k}}}$${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

Exemples

GL _n et SL _n

Un exemple fondamental d'un groupe réducteur est le groupe linéaire général des matrices n × n inversibles sur un corps k , pour un nombre naturel n . En particulier, le groupe multiplicatif G _m est le groupe GL (1), et donc son groupe G _m ( k ) de k -points rationnels est le groupe k * d'éléments non nuls de k sous multiplication. Un autre groupe réducteur est le groupe linéaire spécial SL ( n ) sur un corps k , le sous-groupe des matrices de déterminant 1. En fait, SL ( n ) est un groupe algébrique simple pour n au moins 2. ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$

O( n ), SO( n ) et Sp( n )

Un groupe simple important est le groupe symplectique Sp (2 n ) sur un corps k , le sous-groupe de GL (2 n ) qui préserve une forme bilinéaire alternée non dégénérée sur l' espace vectoriel k ^{2 n} . De même, le groupe orthogonal O ( q ) est le sous-groupe du groupe linéaire général qui conserve une forme quadratique non dégénérée q sur un espace vectoriel sur un corps k . Le groupe algébrique O ( q ) a deux composantes connexes , et sa composante identité SO ( q ) est réductrice, en fait simple pour q de dimension n au moins 3. (Pour k de caractéristique 2 et n impair, le schéma de groupe O ( q ) est en fait connexe mais non lisse sur k . Le groupe simple SO ( q ) peut toujours être défini comme le sous-groupe connexe lisse maximal de O ( q ) sur k .) Lorsque k est algébriquement clos, deux (non dégénérés) quadratiques les formes de même dimension sont isomorphes, et il est donc raisonnable d'appeler ce groupe SO ( n ). Pour un corps général k , différentes formes quadratiques de dimension n peuvent donner des groupes simples non isomorphes SO ( q ) sur k , bien qu'ils aient tous le même changement de base à la clôture algébrique . ${\displaystyle {\overline {k}}}$

Tori

Le groupe et les produits de celui-ci sont appelés tores algébriques . Ce sont des exemples de groupes réducteurs puisqu'ils s'enfoncent par la diagonale, et à partir de cette représentation, leur radical unipotent est trivial. Par exemple, s'intègre à partir de la carte${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$${\displaystyle \mathbb {G} _{m}\times \mathbb {G} _{m}}$${\displaystyle {\text{GL}}_{2}}$

${\displaystyle (a_{1},a_{2})\mapsto {\begin{bmatrix}a_{1}&0\\0&a_{2}\end{bmatrix}}}$

Non-exemples

• Tout groupe unipotent n'est pas réducteur puisque son radical unipotent est lui-même. Cela inclut le groupe additif .${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$
• Le groupe de Borel a un radical unipotent non trivial de matrices triangulaires supérieures avec sur la diagonale. Ceci est un exemple de groupe non réducteur qui n'est pas unipotent.${\style d'affichage B_{n}}$${\displaystyle {\text{GL}}_{n}}$${\displaystyle \mathbb {U} _{n}}$${\style d'affichage 1}$

Groupe réducteur associé

Notez que la normalité du radical unipotent implique que le groupe quotient est réducteur. Par exemple,${\style d'affichage R_{u}(G)}$${\displaystyle G/R_{u}(G)}$

${\displaystyle B_{n}/(R_{u}(B_{n}))\cong \prod _{i=1}^{n}\mathbb {G} _{m}}$

Autres caractérisations des groupes réducteurs

Chaque groupe de Lie connexe compact a une complexification , qui est un groupe algébrique réducteur complexe. En fait, cette construction donne une correspondance bijective entre les groupes de Lie connexes compacts et les groupes réducteurs complexes, à isomorphisme près. Pour un groupe de Lie compact K de complexification G , l'inclusion de K dans le groupe réducteur complexe G ( C ) est une équivalence d'homotopie , par rapport à la topologie classique sur G ( C ). Par exemple, l'inclusion du groupe unitaire U ( n ) à GL ( n , C ) est une équivalence d'homotopie.

Pour un groupe réducteur G sur un corps de caractéristique zéro, toutes les représentations de dimension finie de G (en tant que groupe algébrique) sont complètement réductibles , c'est-à-dire qu'elles sont des sommes directes de représentations irréductibles. C'est la source du nom « réducteur ». Notez, cependant, que la réductibilité complète échoue pour les groupes réducteurs en caractéristique positive (à l'exception des tores). Plus en détail : un schéma de groupes affines G de type fini sur un corps k est dit linéairement réducteur si ses représentations de dimension finie sont complètement réductibles. Pour k de caractéristique zéro, G est linéairement réductrice si et seulement si la composante identité G ^o de G est réductrice. Pour k de caractéristique p >0, cependant, Masayoshi Nagata a montré que G est linéairement réductif si et seulement si G ^o est de type multiplicatif et G / G ^o est d'ordre premier à p .

Racines

La classification des groupes algébriques réductifs se fait en termes de système racinaire associé , comme dans les théories des algèbres de Lie semi-simples complexes ou des groupes de Lie compacts. Voici la façon dont les racines apparaissent pour les groupes réducteurs.

Soit G un groupe réducteur scindé sur un corps k , et soit T un tore maximal scindé dans G ; donc T est isomorphe à ( G _m ) ⁿ pour certains n , avec n appelé rang de G . Chaque représentation de T (en tant que groupe algébrique) est une somme directe de représentations à une dimension. Un poids pour G signifie une classe d'isomorphismes de représentations à 1 dimension de T , ou de manière équivalente un homomorphisme T → G _m . Les poids forment un groupe X ( T ) sous produit tensoriel des représentations, avec X ( T ) isomorphe au produit de n exemplaires des entiers , Z ⁿ .

La représentation adjointe est l'action de G par conjugaison sur son algèbre de Lie . A la racine de G signifie un poids différent de zéro qui se produit dans l'action de T ⊂ G sur . Le sous-espace de correspondant à chaque racine est à 1 dimension, et le sous-espace de fixé par T est exactement l'algèbre de Lie de T . Par conséquent, l'algèbre de Lie de G se décompose en sous-espaces à 1 dimension indexés par l'ensemble Φ de racines : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }.}$

Par exemple, lorsque G est le groupe GL ( n ), son algèbre de Lie est l'espace vectoriel de toutes les matrices n × n sur k . Soit T le sous-groupe des matrices diagonales dans G . Ensuite, la décomposition de l'espace racine s'exprime comme la somme directe des matrices diagonales et des sous-espaces à 1 dimension indexés par les positions hors diagonale ( i , j ). En notant L ₁ ,..., L _n pour la base standard du réseau de poids X ( T ) Z ⁿ , les racines sont les éléments L _i − L _j pour tout i ≠ j de 1 à n . ${\displaystyle {{\mathfrak {g}}l}(n)}$${\displaystyle {{\mathfrak {g}}l}(n)}$

Les racines d'un groupe semi-simple forment un système racinaire ; c'est une structure combinatoire qui peut être complètement classifiée. Plus généralement, les racines d'un groupe réducteur forment une donnée racine , une légère variation. Le groupe de Weyl d'un groupe réducteur G désigne le groupe quotient du normalisateur d'un tore maximal par le tore, W = N _G ( T )/ T . Le groupe de Weyl est en fait un groupe fini engendré par des réflexions. Par exemple, pour le groupe GL ( n ) (ou SL ( n )), le groupe de Weyl est le groupe symétrique S _n .

Il existe un nombre fini de sous-groupes de Borel contenant un tore maximal donné, et ils sont simplement permutés transitivement par le groupe de Weyl (agissant par conjugaison ). Un choix de sous-groupe de Borel détermine un ensemble de racines positives Φ ⁺ ⊂ Φ, avec la propriété que Φ est l'union disjointe de Φ ⁺ et −Φ ⁺ . Explicitement, l'algèbre de Lie de B est la somme directe de l'algèbre de Lie de T et des espaces racines positifs :

${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {t}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi ^{+}}{\mathfrak {g}}_{\alpha }.}$

Par exemple, si B est le sous-groupe de Borel des matrices triangulaires supérieures dans GL ( n ), alors c'est la décomposition évidente du sous-espace des matrices triangulaires supérieures dans . Les racines positives sont L _i − L _j pour 1 ≤ i < j ≤ n . ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {{\mathfrak {g}}l}(n)}$

Une racine simple signifie une racine positive qui n'est pas la somme de deux autres racines positives. Écrivez Δ pour l'ensemble des racines simples. Le nombre r de racines simples est égal au rang du sous - groupe de commutateurs de G , appelé rang semi - simple de G (qui est simplement le rang de G si G est semi-simple). Par exemple, les racines simples pour GL ( n ) (ou SL ( n )) sont L _i − L _{i +1} pour 1 ≤ i ≤ n − 1.

Les systèmes de racines sont classés par le diagramme de Dynkin correspondant , qui est un graphe fini (avec quelques arêtes dirigées ou multiples). L'ensemble des sommets du diagramme de Dynkin est l'ensemble des racines simples. En bref, le diagramme de Dynkin décrit les angles entre les racines simples et leurs longueurs relatives, par rapport à un produit interne invariant par groupe de Weyl sur le réseau de poids. Les diagrammes Dynkin connectés (correspondant à des groupes simples) sont illustrés ci-dessous.

Pour un groupe réducteur divisé G sur un corps k , un point important est qu'une racine α détermine non seulement un sous-espace à 1 dimension de l'algèbre de Lie de G , mais aussi une copie du groupe additif G _a dans G avec le Lie donné algèbre, dite de racine U _{de α} . Le sous-groupe racine est l'unique copie du groupe additif dans G qui est normalisé par T et qui a l'algèbre de Lie donnée. L'ensemble du groupe G est généré (en tant que groupe algébrique) par T et les sous-groupes racines, tandis que le sous-groupe Borel B est généré par T et les sous-groupes racines positifs. En fait, un groupe semi-simple fractionné G est généré par les sous-groupes racines seuls.

Sous-groupes paraboliques

Pour un groupe réductif fractionné G sur un corps k , les sous-groupes connexes lisses de G qui contiennent un sous-groupe de Borel donné B de G sont en correspondance bijective avec les sous-ensembles de l'ensemble Δ de racines simples (ou de manière équivalente, les sous-ensembles de l'ensemble des sommets du diagramme de Dynkin). Soit r l'ordre de , le rang semi-simple de G . Chaque sous - groupe parabolique de G est conjugué à un sous-groupe contenant B par un élément de G ( k ). En conséquence, il existe exactement 2 ^r classes de conjugaison de sous-groupes paraboliques dans G sur k . Explicitement, le sous-groupe parabolique correspondant à un sous-ensemble donné S de est le groupe engendré par B avec les sous-groupes racines U _−α pour dans S . Par exemple, les sous-groupes paraboliques de GL ( n ) qui contiennent le sous-groupe Borel B ci-dessus sont les groupes de matrices inversibles avec des entrées nulles en dessous d'un ensemble donné de carrés le long de la diagonale, tels que :

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*&*\\*&*&*&*\\0&0&*&*\\0&0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

Par définition, un sous-groupe parabolique P d'un groupe réducteur G sur un corps k est un k -sous-groupe lisse tel que la variété quotient G / P est propre sur k , ou de manière équivalente projective sur k . Ainsi, la classification des sous-groupes paraboliques revient à une classification des variétés homogènes projectives pour G (avec groupe stabilisateur lisse, c'est-à-dire sans restriction pour k de caractéristique zéro). Pour GL ( n ), ce sont les variétés drapeau , paramétrant des séquences de sous-espaces linéaires de dimensions données a ₁ ,..., a _i contenus dans un espace vectoriel fixe V de dimension n :

${\displaystyle 0\subset S_{a_{1}}\subset \cdots \subset S_{a_{i}}\subset V.}$

Pour le groupe orthogonal ou le groupe symplectique, les variétés homogènes projectives ont une description similaire à celle des variétés de drapeaux isotropes par rapport à une forme quadratique ou symplectique donnée. Pour tout groupe réducteur G avec un Borel B , G / B est appelée la variété de drapeau ou collecteur de drapeau de G .

Classification des groupes réducteurs fractionnés

Chevalley a montré en 1958 que les groupes réducteurs sur tout corps algébriquement clos sont classés jusqu'à l'isomorphisme par les données de racine. En particulier, les groupes semi-simples sur un corps algébriquement clos sont classés jusqu'aux isogénies centrales par leur diagramme de Dynkin, et les groupes simples correspondent aux diagrammes connexes. Il existe donc des groupes simples de types A _n , B _n , C _n , D _n , E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ , G ₂ . Ce résultat est essentiellement identique aux classifications des groupes de Lie compacts ou des algèbres de Lie semi-simples complexes, par Wilhelm Killing et Élie Cartan dans les années 1880 et 1890. En particulier, les dimensions, centres et autres propriétés des groupes algébriques simples peuvent être lus à partir de la liste des groupes de Lie simples . Il est remarquable que la classification des groupes réducteurs soit indépendante de la caractéristique. A titre de comparaison, il existe beaucoup plus d'algèbres de Lie simples en caractéristique positive qu'en caractéristique zéro.

Les groupes exceptionnels G de type G ₂ et E ₆ avaient été construits plus tôt, au moins sous la forme du groupe abstrait G ( k ), par LE Dickson . Par exemple, le groupe G ₂ est le groupe d'automorphismes d'une algèbre d'octonions sur k . En revanche, les groupes de Chevalley de type F ₄ , E ₇ , E ₈ sur un champ de caractéristique positive étaient complètement nouveaux.

Plus généralement, la classification des groupes réducteurs fractionnés est la même dans n'importe quel domaine. Un groupe semi-simple G sur un corps k est dit simplement connexe si chaque isogénie centrale d'un groupe semi-simple à G est un isomorphisme. (Pour G semi-simple sur les nombres complexes, être simplement connexe dans ce sens équivaut à G ( C ) étant simplement connexe dans la topologie classique.) La classification de Chevalley donne que, sur tout corps k , il existe un unique groupe semi-simple fractionné simplement connexe G avec un diagramme de Dynkin donné, avec des groupes simples correspondant aux diagrammes connexes. A l'autre extrême, un groupe semi-simple est de type adjoint si son centre est trivial. Les groupes semi-simples divisés sur k avec un diagramme de Dynkin donné sont exactement les groupes G / A , où G est le groupe simplement connexe et A est un schéma de k -sous-groupe du centre de G .

Par exemple, les groupes simples fractionnés simplement connectés sur un champ k correspondant aux diagrammes de Dynkin "classiques" sont les suivants :

• A _n : SL ( n +1) sur k ;
• B _n : le groupe de spins Spin(2 n +1) associé à une forme quadratique de dimension 2 n +1 sur k d' indice de Witt n , par exemple la forme

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{2n+1})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{ 2n}+x_{2n+1}^{2} ;}$

• C _n : le groupe symplectique Sp (2 n ) sur k ;
• D _n : le groupe de spin Spin(2 n ) associé à une forme quadratique de dimension 2 n sur k d'indice de Witt n , qui s'écrit :

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{2n})=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{2n-1}x_{2n} .}$

Le groupe d'automorphisme externe d'un groupe réducteur divisé G sur un corps k est isomorphe au groupe d'automorphisme de la donnée racine de G . De plus, le groupe d'automorphismes de G se scinde en un produit semi - direct :

${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)\cong \operatorname {Out} (G)\ltimes (G/Z)(k),}$

où Z est le centre de G . Pour un groupe G simplement connexe semi-simple divisé sur un corps, le groupe d'automorphisme externe de G a une description plus simple : c'est le groupe d'automorphisme du diagramme de Dynkin de G .

Schémas de groupe réducteurs

Un schéma de groupe G sur un schéma S est dit réductif si le morphisme G → S est lisse et affine, et que toute fibre géométrique est réductrice. (Pour un point p dans S , le moyen de fibre géométrique correspondant au changement de base de G à une clôture algébrique du champ résidu de p .) L' extension du travail de Chevalley, Michel Demazure et Grothendieck ont montré que les systèmes de groupes réducteurs divisés sur tout système non vide S sont classés par données racine. Cette déclaration inclut l'existence de groupes de Chevalley en tant que schémas de groupe sur Z , et elle dit que chaque groupe réducteur divisé sur un schéma S est isomorphe au changement de base d'un groupe de Chevalley de Z à S . ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$

De vrais groupes réducteurs

Dans le contexte des groupes de Lie plutôt que des groupes algébriques, un groupe réductif réel est un groupe de Lie G tel qu'il existe un groupe algébrique linéaire L sur R dont la composante identité (dans la topologie de Zariski ) est réductrice, et un homomorphisme G → L ( R ) dont le noyau est fini et dont l'image est ouverte dans L ( R ) (dans la topologie classique). Il est également standard de supposer que l'image de la représentation adjointe Ad( G ) est contenue dans Int( g _C ) = Ad( L ⁰ ( C )) (ce qui est automatique pour G connecté).

En particulier, tout groupe de Lie semi-simple connexe (ce qui signifie que son algèbre de Lie est semi-simple) est réductif. De plus, le groupe de Lie R est réducteur dans ce sens, puisqu'il peut être considéré comme la composante identitaire de GL (1, R ) R *. Le problème de la classification des groupes réducteurs réels se réduit largement à la classification des groupes de Lie simples. Ceux-ci sont classés par leur diagramme de Satake ; ou on peut simplement se référer à la liste des groupes de Lie simples (jusqu'à des revêtements finis).

Des théories utiles des représentations admissibles et des représentations unitaires ont été développées pour les groupes réducteurs réels dans cette généralité. Les principales différences entre cette définition et la définition d'un groupe algébrique réducteur tiennent au fait qu'un groupe algébrique G sur R peut être connecté en tant que groupe algébrique alors que le groupe de Lie G ( R ) n'est pas connecté, et de même pour simplement groupes connectés.

Par exemple, le groupe linéaire projectif PGL (2) est connexe comme un groupe algébrique sur n'importe quel corps, mais son groupe de points réels PGL (2, R ) a deux composantes connexes. La composante identitaire de PGL (2, R ) (parfois appelée PSL (2, R )) est un véritable groupe réducteur qui ne peut être considéré comme un groupe algébrique. De même, SL (2) est simplement connecté comme un groupe algébrique sur n'importe quel corps, mais le groupe de Lie SL (2, R ) a un groupe fondamental isomorphe aux entiers Z , et donc SL (2, R ) a des espaces de recouvrement non triviaux . Par définition, tous les revêtements finis de SL (2, R ) (comme le groupe métaplectique ) sont de réels groupes réducteurs. Par contre, la couverture universelle de SL (2, R ) n'est pas un véritable groupe réductif, même si son algèbre de Lie est réductrice , c'est-à-dire le produit d'une algèbre de Lie semi-simple et d'une algèbre de Lie abélienne.

Pour un groupe réductif réel connexe G , la variété quotient G / K de G par un sous-groupe compact maximal K est un espace symétrique de type non compact. En fait, tout espace symétrique de type non compact apparaît ainsi. Ce sont des exemples centraux de la géométrie riemannienne des variétés à courbure sectionnelle non positive . Par exemple, SL (2, R )/ SO (2) est le plan hyperbolique , et SL (2, C )/ SU (2) est l'espace hyperbolique 3-.

Pour un groupe réductif G sur un corps k complet par rapport à une valuation discrète (comme les nombres p-adiques Q _p ), le bâtiment affine X de G joue le rôle de l'espace symétrique. A savoir, X est un complexe simplicial avec une action de G ( k ), et G ( k ) préserve une métrique CAT(0) sur X , l'analogue d'une métrique à courbure non positive. La dimension du bâtiment affine est le k- rang de G . Par exemple, le bâtiment de SL (2, Q _p ) est un arbre .

Représentations des groupes réducteurs

Pour un groupe réducteur divisé G sur un corps k , les représentations irréductibles de G (en tant que groupe algébrique) sont paramétrées par les poids dominants , qui sont définis comme l'intersection du réseau de poids X ( T ) ≅ Z ⁿ avec un cône convexe (une chambre de Weyl ) dans R ⁿ . En particulier, cette paramétrisation est indépendante de la caractéristique de k . De façon plus détaillée, fixer un torus maximal split et un sous - groupe de Borel, T ⊂ B ⊂ G . Alors B est le produit semi-direct de T avec un sous-groupe unipotent connecté lisse U . Définissez un vecteur de poids le plus élevé dans une représentation V de G sur k comme un vecteur v non nul tel que B mappe la ligne étendue par v sur elle-même. Alors B agit sur cette droite par l'intermédiaire de son groupe quotient T , par un élément λ du réseau de poids X ( T ). Chevalley a montré que chaque représentation irréductible de G a un vecteur de poids unique le plus élevé jusqu'aux scalaires ; le « poids le plus élevé » correspondant λ est dominant ; et tout poids dominant λ est le poids le plus élevé d'une représentation irréductible unique L (λ) de G , à isomorphisme près.

Reste le problème de décrire la représentation irréductible de poids le plus élevé. Pour k de caractéristique zéro, il existe essentiellement des réponses complètes. Pour un poids dominant λ, définir le module de Schur ∇(λ) comme le k -espace vectoriel des sections du fibré G -équivariant sur la variété drapeau G / B associée à λ ; c'est une représentation de G . Pour k de caractéristique zéro, le théorème de Borel-Weil dit que la représentation irréductible L (λ) est isomorphe au module de Schur ∇(λ). De plus, la formule du caractère de Weyl donne le caractère (et en particulier la dimension) de cette représentation.

Pour un groupe réducteur divisé G sur un corps k de caractéristique positive, la situation est beaucoup plus subtile, car les représentations de G ne sont généralement pas des sommes directes d'irréductibles. Pour un poids dominant λ, la représentation irréductible L (λ) est l'unique sous-module simple (le socle ) du module de Schur ∇(λ), mais elle n'a pas besoin d'être égale au module de Schur. La dimension et le caractère du module de Schur sont donnés par la formule du caractère de Weyl (comme dans la caractéristique zéro), par George Kempf . Les dimensions et les caractères des représentations irréductibles L (λ) sont en général inconnus, bien qu'un large corpus théorique ait été développé pour analyser ces représentations. Un résultat important est que la dimension et le caractère de L (λ) sont connus lorsque la caractéristique p de k est beaucoup plus grande que le nombre de Coxeter de G , par Henning Andersen , Jens Jantzen et Wolfgang Soergel (prouvant la conjecture de Lusztig dans ce Cas). Leur formule de caractère pour p grand est basée sur les polynômes de Kazhdan-Lusztig , qui sont combinatoirement complexes. Pour tout nombre premier p , Simon Riche et Geordie Williamson ont conjecturé les caractères irréductibles d'un groupe réducteur en termes de polynômes p -Kazhdan-Lusztig, qui sont encore plus complexes, mais au moins calculables.

Groupes réducteurs non scindés

Comme discuté ci-dessus, la classification des groupes réducteurs fractionnés est la même dans n'importe quel domaine. En revanche, la classification des groupes réducteurs arbitraires peut être difficile, selon le champ de base. Quelques exemples parmi les groupes classiques sont :

• Toute forme quadratique non dégénérée q sur un corps k détermine un groupe réducteur G = SO ( q ). Ici G est simple si q a pour dimension n au moins 3, puisqu'il est isomorphe à SO ( n ) sur une clôture algébrique . Le k -rang de G est égal à l' indice de Witt de q (la dimension maximale d'un sous-espace isotrope sur k ). Ainsi le groupe simple G est scindé sur k si et seulement si q a l'indice de Witt maximum possible, .${\displaystyle G_{\overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$${\displaystyle \lfloor n/2\rfloor }$
• Toute algèbre centrale simple A sur k détermine un groupe réducteur G = SL (1, A ), le noyau de la norme réduite sur le groupe d'unités A * (en tant que groupe algébrique sur k ). Le degré de A signifie la racine carrée de la dimension de A en tant qu'espace vectoriel k . Ici G est simple si A est de degré n au moins 2, puisqu'il est isomorphe à SL ( n ) sur . Si A a un indice r (ce qui signifie que A est isomorphe à l'algèbre matricielle M _{n / r} ( D ) pour une algèbre de division D de degré r sur k ), alors le k -rank de G est ( n / r ) − 1. Ainsi le groupe simple G est scindé sur k si et seulement si A est une algèbre matricielle sur k .${\displaystyle G_{\overline {k}}}$${\displaystyle {\overline {k}}}$

En conséquence, le problème de la classification des groupes réducteurs sur k inclut essentiellement le problème de la classification de toutes les formes quadratiques sur k ou de toutes les algèbres centrales simples sur k . Ces problèmes sont faciles pour k algébriquement clos, et ils sont compris pour d'autres corps tels que les corps de nombres, mais pour les corps arbitraires, il y a beaucoup de questions ouvertes.

Un groupe réducteur sur un corps k est dit isotrope s'il a un rang k supérieur à 0 (c'est-à-dire s'il contient un tore fendu non trivial), et sinon anisotrope . Pour un groupe semi-simple G sur un corps k , les conditions suivantes sont équivalentes :

• G est isotrope (c'est-à-dire que G contient une copie du groupe multiplicatif G _m sur k );
• G contient un sous-groupe parabolique sur k différent de G ;
• G contient une copie du groupe additif G _a sur k .

Pour k parfait, cela équivaut aussi à dire que G ( k ) contient un élément unipotent autre que 1.

Pour un groupe algébrique linéaire connexe G sur un corps local k de caractéristique zéro (comme les nombres réels), le groupe G ( k ) est compact dans la topologie classique (basée sur la topologie de k ) si et seulement si G est réductif et anisotrope. Exemple : le groupe orthogonal SO ( p , q ) sur R est de rang réel min( p , q ), et donc anisotrope si et seulement si p ou q est nul.

Un groupe réducteur G sur un corps k est dit quasi-split s'il contient un sous-groupe de Borel sur k . Un groupe réducteur scindé est quasi scindé. Si G est quasi-scindé sur k , alors deux sous-groupes boréliens quelconques de G sont conjugués par un élément de G ( k ). Exemple : le groupe orthogonal SO ( p , q ) sur R est scindé si et seulement si | p − q | 1, et il est quasi-split si et seulement si | p − q | 2.

Structure des groupes semi-simples en groupes abstraits

Pour un groupe semi-simple divisé simplement connexe G sur un corps k , Robert Steinberg a donné une présentation explicite du groupe abstrait G ( k ). Il est généré par des copies du groupe additif de k indexé par les racines de G (les sous-groupes racines), avec des relations déterminées par le diagramme de Dynkin de G .

Pour un groupe semi-simple divisé simplement connexe G sur un corps parfait k , Steinberg a également déterminé le groupe d'automorphisme du groupe abstrait G ( k ). Tout automorphisme est le produit d'un automorphisme interne , d'un automorphisme diagonal (c'est-à-dire de conjugaison par un point convenable d'un tore maximal), d'un automorphisme de graphe (correspondant à un automorphisme du diagramme de Dynkin) et d'un automorphisme de champ (issu d'un automorphisme du champ k ). ${\displaystyle {\overline {k}}}$

Pour un groupe algébrique k -simple G , le théorème de simplicité de Tits dit que le groupe abstrait G ( k ) est proche d'être simple, sous des hypothèses modérées. A savoir, supposons que G est isotrope sur k , et supposons que le champ k a au moins 4 éléments. Soit G ( k ) ⁺ le sous-groupe du groupe abstrait G ( k ) engendré par k -points de copies du groupe additif G _a sur k contenus dans G . (En supposant que G est isotrope sur k , le groupe G ( k ) ⁺ est non trivial, et même Zariski dense dans G si k est infini.) Alors le groupe quotient de G ( k ) ⁺ par son centre est simple (comme un groupe abstrait). La preuve utilise la machinerie de paires de BN de Jacques Tits .

Les exceptions pour les champs d'ordre 2 ou 3 sont bien comprises. Pour k = F ₂ , le théorème de simplicité de Tits reste valable sauf lorsque G est scindé de type A ₁ , B ₂ , ou G ₂ , ou non scindé (c'est-à-dire unitaire) de type A ₂ . Pour k = F ₃ , le théorème est vérifié sauf pour G de type A ₁ .

Pour un groupe k -simple G , afin de comprendre l'ensemble du groupe G ( k ), on peut considérer le groupe de Whitehead W ( k , G )= G ( k )/ G ( k ) ⁺ . Pour G simplement connexe et quasi-split, le groupe de Whitehead est trivial, et donc tout le groupe G ( k ) est simple modulo son centre. Plus généralement, le problème de Kneser-Tits demande pour quels groupes k -simples isotropes le groupe de Whitehead est trivial. Dans tous les exemples connus, W ( k , G ) est abélien.

Pour un groupe k -simple anisotrope G , le groupe abstrait G ( k ) peut être loin d'être simple. Par exemple, soit D une algèbre de division de centre un corps p- adique k . Supposons que la dimension de D sur k soit finie et supérieure à 1. Alors G = SL (1, D ) est un groupe k -simple anisotrope . Comme mentionné ci-dessus, G ( k ) est compact dans la topologie classique. Puisqu'il est aussi totalement déconnecté , G ( k ) est un groupe profini (mais pas fini). En conséquence, G ( k ) contient une infinité de sous-groupes normaux d' indice fini .

Réseaux et groupes arithmétiques

Soit G un groupe algébrique linéaire sur les nombres rationnels Q . Alors G peut être étendu à un schéma de groupe affine G sur Z , et cela détermine un groupe abstrait G ( Z ). Un groupe arithmétique désigne tout sous-groupe de G ( Q ) qui est commensurable avec G ( Z ). (L'arithmétique d'un sous-groupe de G ( Q ) est indépendante du choix de la structure Z. ) Par exemple, SL ( n , Z ) est un sous-groupe arithmétique de SL ( n , Q ).

Pour un groupe de Lie G , un réseau dans G signifie un sous-groupe discret Γ de G tel que la variété G /Γ a un volume fini (par rapport à une mesure G -invariante). Par exemple, un sous-groupe discret Γ est un réseau si G /Γ est compact. Le théorème d'arithmétique de Margulis dit notamment : pour un groupe de Lie simple G de rang réel au moins 2, tout réseau de G est un groupe arithmétique.

L'action de Galois sur le diagramme de Dynkin

En cherchant à classer les groupes réducteurs qui n'ont pas besoin d'être scindés, une étape est l' indice de Tits , qui réduit le problème au cas des groupes anisotropes. Cette réduction généralise plusieurs théorèmes fondamentaux en algèbre. Par exemple, le théorème de décomposition de Witt dit qu'une forme quadratique non dégénérée sur un corps est déterminée à isomorphisme près par son indice de Witt avec son noyau anisotrope. De même, le théorème d'Artin-Wedderburn réduit la classification des algèbres centrales simples sur un corps au cas des algèbres de division. En généralisant ces résultats, Tits a montré qu'un groupe réducteur sur un corps k est déterminé à isomorphisme près par son indice de Tits avec son noyau anisotrope, un groupe k semi-simple anisotrope associé .

Pour un groupe réducteur G sur un corps k , le groupe de Galois absolu Gal( k _s / k ) agit (en continu) sur le diagramme de Dynkin "absolu" de G , c'est-à-dire le diagramme de Dynkin de G sur une clôture séparable k _s ( qui est aussi le diagramme de Dynkin de G sur une clôture algébrique ). L'indice de Tits de G se compose de la donnée racine de G _{k s} , de l'action de Galois sur son diagramme de Dynkin et d'un sous-ensemble invariant de Galois des sommets du diagramme de Dynkin. Traditionnellement, l'indice de Tits est tracé en encerclant les orbites de Galois dans le sous-ensemble donné. ${\displaystyle {\overline {k}}}$

Il existe une classification complète des groupes quasi-scindés en ces termes. A savoir, pour chaque action du groupe de Galois absolu d'un champ k sur un diagramme de Dynkin, il existe un unique groupe quasi-split semi-simple simplement connexe H sur k avec l'action donnée. (Pour un groupe quasi-scindé, chaque orbite de Galois dans le diagramme de Dynkin est encerclée.) De plus, tout autre groupe semi-simple simplement connecté G sur k avec l'action donnée est une forme interne du groupe quasi-scindé H , ce qui signifie que G est le groupe associé à un élément de l' ensemble de cohomologie galoisienne H ¹ ( k , H / Z ), où Z est le centre de H . En d'autres termes, G est le twist de H associé à un H / Z -torseur sur k , comme discuté dans la section suivante.

Exemple : Soit q une forme quadratique non dégénérée de dimension paire 2 n sur un corps k de caractéristique non 2, avec n 5. (Ces restrictions peuvent être évitées.) Soit G le groupe simple SO ( q ) sur k . Le diagramme de Dynkin absolu de G est de type D _n , et donc son groupe d'automorphismes est d'ordre 2, permutant les deux "jambes" du diagramme D _n . L'action du groupe de Galois absolu de k sur le diagramme de Dynkin est triviale si et seulement si le discriminant signé d de q dans k */( k *) ² est trivial. Si d n'est pas trivial, alors il est codé dans l'action de Galois sur le diagramme de Dynkin : le sous-groupe index-2 du groupe de Galois qui agit comme l'identité est . Le groupe G est scindé si et seulement si q a un indice de Witt n , le maximum possible, et G est quasi-scindé si et seulement si q a un indice de Witt au moins n − 1. ${\displaystyle \operatorname {Gal} (k_{s}/k({\sqrt {d}}))\subset \operatorname {Gal} (k_{s}/k)}$

Torseurs et principe de Hasse

Un torseur pour un schéma de groupe affine G sur un corps k signifie un schéma affine X sur k avec une action de G telle qu'il est isomorphe à avec l'action de sur lui-même par translation à gauche. Un torseur peut aussi être vu comme un G-fibré principal sur k par rapport à la topologie fppf sur k , ou la topologie étale si G est lisse sur k . L' ensemble pointé des classes d'isomorphismes de G -torseurs sur k est appelé H ¹ ( k , G ), dans le langage de la cohomologie galoisienne. ${\displaystyle X_{\overline {k}}}$${\displaystyle G_{\overline {k}}}$${\displaystyle G_{\overline {k}}}$

Des torseurs apparaissent chaque fois que l'on cherche à classer des formes d'un objet algébrique donné Y sur un corps k , c'est-à-dire des objets X sur k qui deviennent isomorphes à Y sur la clôture algébrique de k . A savoir, de telles formes (à isomorphisme près) sont en correspondance biunivoque avec l'ensemble H ¹ ( k ,Aut( Y )). Par exemple, les formes quadratiques (non dégénérées) de dimension n sur k sont classées par H ¹ ( k , O ( n )), et les algèbres centrales simples de degré n sur k sont classées par H ¹ ( k , PGL ( n )). De plus, les k -formes d'un groupe algébrique donné G (parfois appelées "torsions" de G ) sont classées par H ¹ ( k ,Aut( G )). Ces problèmes motivent l'étude systématique des G- torseurs, en particulier pour les groupes réducteurs G .

Lorsque cela est possible, on espère classer les G -torseurs à l'aide d' invariants cohomologiques , qui sont des invariants prenant des valeurs en cohomologie galoisienne avec des groupes de coefficients abéliens M , H ^a ( k , M ). Dans ce sens, Steinberg a prouvé la "Conjecture I" de Serre : pour un groupe algébrique linéaire connexe G sur un corps parfait de dimension cohomologique au plus 1, H ¹ ( k , G ) = 1. (Le cas d'un corps fini était connu plus tôt, comme le théorème de Lang .) Il s'ensuit, par exemple, que tout groupe réducteur sur un corps fini est quasi-scindé.

La conjecture II de Serre prédit que pour un groupe semi-simple simplement connexe G sur un corps de dimension cohomologique au plus 2, H ¹ ( k , G ) = 1. La conjecture est connue pour un corps de nombres totalement imaginaire (qui a une dimension cohomologique 2). Plus généralement, pour tout corps de nombres k , Martin Kneser , Günter Harder et Vladimir Chernousov (1989) ont prouvé le principe de Hasse : pour un groupe semi-simple simplement connexe G sur k , l'application

${\displaystyle H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)}$

est bijectif. Ici v parcourt toutes les places de k , et k _v est le champ local correspondant (éventuellement R ou C ). De plus, l'ensemble pointé H ¹ ( k _v , G ) est trivial pour tout corps local non archimidien k _v , et donc seules les places réelles de k importent. Le résultat analogue pour un corps global k de caractéristique positive a été prouvé plus tôt par Harder (1975) : pour tout groupe semi-simple simplement connexe G sur k , H ¹ ( k , G ) est trivial (puisque k n'a pas de place réelle).

Dans le cas légèrement différent d'un groupe adjoint G sur un corps de nombres k , le principe de Hasse tient sous une forme plus faible : l'application naturelle

${\displaystyle H^{1}(k,G)\to \prod _{v}H^{1}(k_{v},G)}$

est injectif. Pour G = PGL ( n ), cela revient au théorème d'Albert-Brauer-Hasse-Noether , disant qu'une algèbre centrale simple sur un corps de nombres est déterminée par ses invariants locaux.

En s'appuyant sur le principe de Hasse, la classification des groupes semi-simples sur des corps de nombres est bien comprise. Par exemple, il existe exactement trois formes Q du groupe exceptionnel E ₈ , correspondant aux trois formes réelles de E ₈ .

Voir également

• Les groupes de type Lie sont les groupes simples finis construits à partir de groupes algébriques simples sur des corps finis.
• Variété de drapeau Généralisée , la décomposition Bruhat , Schubert variété , calcul de Schubert
• algèbre de Schur , théorie de Deligne–Lusztig
• Forme réelle (théorie du mensonge)
• Conjecture de Weil sur les nombres de Tamagawa
• Classification Langlands , groupe Langlands double , programme de Langlands , programme de Langlands géométrique
• Groupe spécial , dimension essentielle
• Théorie géométrique invariante , le théorème de tranche de Luna , le théorème de Haboush
• Radical d'un groupe algébrique

Remarques

Les références

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Liens externes

• Demazure, M. ; Grothendieck, A. , Gille, P. ; Polo, P. (dir.), Schémas en groupes (SGA 3), II: Groupes de type multiplicatif, et structure des schémas en groupes généraux Édition révisée et annotée de l'original de 1970.