Ultraproduit - Ultraproduct

L' ultraproduit est une construction mathématique qui apparaît principalement en algèbre abstraite et en logique mathématique , en particulier en théorie des modèles et en théorie des ensembles . Un ultraproduit est un quotient du produit direct d'une famille de structures . Tous les facteurs doivent avoir la même signature . L' ultrapuissance est le cas particulier de cette construction dans laquelle tous les facteurs sont égaux.

Par exemple, les ultrapouvoirs peuvent être utilisés pour construire de nouveaux champs à partir de champs donnés. Les nombres hyperréels , ultrapuissance des nombres réels , en sont un cas particulier.

Certaines applications frappantes des ultraproduits comprennent des preuves très élégantes du théorème de compacité et du théorème de complétude , le théorème d'ultrapuissance de Keisler , qui donne une caractérisation algébrique de la notion sémantique d'équivalence élémentaire, et la présentation de Robinson-Zakon de l'utilisation des superstructures et de leurs monomorphismes pour construire des modèles d'analyse non standard, conduisant à la croissance du domaine de l' analyse non standard , qui a été lancé (en tant qu'application du théorème de compacité) par Abraham Robinson .

Définition

La méthode générale pour obtenir des ultraproduits utilise un ensemble d'indices I , une structure M _i pour chaque élément i de I (tous de même signature ), et un ultrafiltre U sur I . On considère généralement cela dans le cas où I est infini et U contient tous les sous-ensembles cofinis de I , c'est-à-dire que U n'est pas un ultrafiltre principal . Dans le cas principal, l'ultraproduit est isomorphe à l'un des facteurs.

Opérations algébriques sur le produit cartésien

${\displaystyle \prod _{i\in I}M_{i}}$

sont définis ponctuellement (par exemple, pour une fonction binaire +, ( a + b ) _i = a _i + b _i ), et une relation d'équivalence est définie par a ~ b si

${\displaystyle \left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in U,}$

et l' ultraproduit est le quotient établi par rapport à ~. L'ultraproduit est donc parfois désigné par

${\displaystyle \prod _{i\in I}M_{i}/U.}$

On peut définir un finiment additif mesure m sur l'indice réglé I en disant m ( A ) = 1 si A ∈ U et = 0 sinon. Alors deux membres du produit cartésien sont équivalents précisément s'ils sont égaux presque partout sur l'ensemble d'indices. L'ultraproduit est l'ensemble des classes d'équivalence ainsi générées.

D'autres relations peuvent être étendues de la même manière :

${\displaystyle R([a^{1}],\dots ,[a^{n}])\iff \left\{i\in I:R^{M_{i}}(a_{i}^{ 1},\dots ,a_{i}^{n})\right\}\in U,}$

où [ a ] désigne la classe d'équivalence de a par rapport à ~.

En particulier, si chaque M _i est un champ ordonné , alors l'ultraproduit l'est aussi.

Une ultrapuissance est un ultraproduit pour lequel tous les facteurs M _i sont égaux :

${\displaystyle M^{I}/U=\prod _{i\in I}M/U.\,}$

Plus généralement, la construction ci-dessus peut être effectuée chaque fois que U est un filtre sur I ; le modèle résultant est alors appelé un produit réduit . ${\displaystyle \prod _{i\in I}M_{i}/U}$

Exemples

Les nombres hyperréels sont l'ultraproduit d'une copie des nombres réels pour chaque nombre naturel, par rapport à un ultrafiltre sur les nombres naturels contenant tous les ensembles cofinis. Leur ordre est le prolongement de l'ordre des nombres réels. Par exemple, la séquence ω donnée par ω _i  =  i définit une classe d'équivalence représentant un nombre hyperréel qui est supérieur à tout nombre réel.

De manière analogue, on peut définir des entiers non standard , nombres complexes non standard , etc., en prenant le ultraproduit des copies des structures correspondantes.

Comme exemple de transfert de relations dans l'ultraproduit, considérons la séquence ψ définie par ψ _i  = 2 i . Parce que ψ _i  >  ω _i  =  i pour tout i , il résulte que la classe d'équivalence de ψ _i  = 2 i est supérieure à la classe d'équivalence de ω _i  =  i , de sorte qu'il puisse être interprété comme un nombre infini qui est supérieure à celui construit à l'origine. Cependant, je χ _i  =  i pour i est pas égal à 7, mais χ ₇  = 8. L'ensemble des indices sur lesquels w et χ d' accord est un membre d'un ultrafiltre (parce que ω et χ d' accord presque partout), si ω et χ appartiennent à la même classe d'équivalence.

Dans la théorie des grands cardinaux , une construction standard consiste à prendre l'ultraproduit de l'ensemble de l'univers ensembliste par rapport à un ultrafiltre U soigneusement choisi . Les propriétés de cet ultrafiltre U ont une forte influence sur les propriétés (d'ordre supérieur) de l'ultraproduit ; par exemple, si U est σ -complet, alors l'ultraproduit sera à nouveau bien fondé. (Voir cardinal mesurable pour l'exemple prototypique.)

théorème de oś

Le théorème de Łoś, aussi appelé théorème fondamental des ultraproduits , est dû à Jerzy Łoś (le patronyme se prononce[ˈwɔɕ] , approximativement "laver"). Il énonce que touteformule du premier ordre est vraie dans l'ultraproduit si et seulement si l'ensemble des indices i tels que la formule est vraie dans M _i est membre de U . Plus précisément:

Soit σ une signature, un ultrafiltre sur un ensemble , et pour chaque laissez - être un σ -structure. Laissez - le ultraproduit du par rapport à , qui est, ensuite, pour chaque , où , et pour chaque σ -formule , ${\style d'affichage U}$${\style d'affichage I}$${\displaystyle i\in I}$${\style d'affichage M_{i}}$${\style d'affichage M}$${\style d'affichage M_{i}}$${\style d'affichage U}$${\displaystyle M=\prod _{i\in I}M_{i}/U.}$${\displaystyle a^{1},\ldots ,a^{n}\in \prod M_{i}}$${\displaystyle a^{k}=(a_{i}^{k})_{i\in I}}$${\style d'affichage \phi }$

${\displaystyle M\models \phi [[a^{1}],\ldots ,[a^{n}]]\iff \{i\in I:M_{i}\models \phi [a_{i} ^{1},\ldots ,a_{i}^{n}]\}\en U.}$

Le théorème est prouvé par induction sur la complexité de la formule . Le fait qu'il s'agisse d'un ultrafiltre (et pas seulement d'un filtre) est utilisé dans la clause de négation, et l' axiome de choix est nécessaire à l'étape du quantificateur existentiel. Comme application, on obtient le théorème de transfert pour les champs hyperréels . ${\style d'affichage \phi }$${\style d'affichage U}$

Exemples

Soit R une relation unaire dans la structure M , et forme l'ultrapuissance de M . Alors l'ensemble a un analogue ^* S dans l'ultrapuissance, et les formules du premier ordre impliquant S sont également valables pour ^* S . Par exemple, laissez M les réels et laissez Rx tenir si x est un nombre rationnel. Alors dans M on peut dire que pour tout couple de rationnels x et y , il existe un autre nombre z tel que z n'est pas rationnel, et x  <  z  <  y . Puisque cela peut être traduit en une formule logique du premier ordre dans le langage formel pertinent, le théorème de Łoś implique que ^* S a la même propriété. C'est-à-dire que nous pouvons définir une notion des nombres hyperrationnels, qui sont un sous-ensemble des hyperréels, et ils ont les mêmes propriétés de premier ordre que les rationnels. ${\displaystyle S=\{x\in M|Rx\}}$

Considérons, cependant, la propriété d'Archimède des réels, qui stipule qu'il n'y a pas de nombre réel x tel que x  > 1, x  > 1 + 1, x  > 1 + 1 + 1, ... pour chaque inégalité dans la liste infinie . Le théorème de Łoś ne s'applique pas à la propriété d'Archimède, car la propriété d'Archimède ne peut pas être énoncée en logique du premier ordre. En fait, la propriété d'Archimède est fausse pour les hyperréels, comme le montre la construction du nombre hyperréel ω ci-dessus.

Limites directes des ultrapuissances (ultralimites)

Dans la théorie des modèles et la théorie des ensembles , la limite directe d'une séquence d'ultrapuissances est souvent considérée. Dans la théorie des modèles , cette construction peut être qualifiée d' ultralimite ou d' ultrapuissance limite .

Partant d'une structure A ₀ , et d'un ultrafiltre D ₀ , forment une ultrapuissance A ₁ . Répétez ensuite le processus pour former A ₂ , et ainsi de suite. Pour chaque n, il existe un plongement diagonal canonique . Aux stades de fin de course, comme un _ω , forment la limite directe des étapes précédentes. On peut continuer dans le transfini. ${\style d'affichage A_{n}\à A_{n+1}}$

Voir également

• Théorème de compacité  – Théorème
• Théorème de Löwenheim-Skolem  – Existence et cardinalité des modèles de théories logiques
• Principe de transfert  - Que toutes les déclarations d'un langage qui sont vraies pour une structure sont vraies pour une autre structure

Les références

• Bell, John Lane; Slomson, Alan B. (2006) [1969]. Modèles et ultraproduits : une introduction (réimpression de 1974 ed.). Publications de Douvres . ISBN 0-486-44979-3.
• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (2000) [1981]. Un cours d'algèbre universelle (Millennium ed.).