Accélération (relativité restreinte) - Acceleration (special relativity)

Les accélérations en relativité restreinte (SR) suivent, comme en mécanique newtonienne , par différenciation de la vitesse par rapport au temps . En raison de la transformation de Lorentz et de la dilatation du temps , les concepts de temps et de distance deviennent plus complexes, ce qui conduit également à des définitions plus complexes de «l'accélération». SR en tant que théorie de l'espace-temps plat de Minkowski reste valable en présence d'accélérations, car la relativité générale (GR) n'est requise que lorsqu'il y a courbure de l'espace-temps causée par le tenseur énergie-impulsion (qui est principalement déterminée par la masse ). Cependant, étant donné que la quantité de courbure de l'espace-temps n'est pas particulièrement élevée sur Terre ou à proximité, SR reste valable pour la plupart des applications pratiques, telles que les expériences sur les accélérateurs de particules .

On peut dériver des formules de transformation pour des accélérations ordinaires dans trois dimensions spatiales (trois accélérations ou accélération coordonnée) telles que mesurées dans un référentiel inertiel externe , ainsi que pour le cas particulier de l'accélération propre mesurée par un accéléromètre comoving . Un autre formalisme utile est l' accélération à quatre , car ses composants peuvent être connectés dans différents référentiels inertiels par une transformation de Lorentz. Des équations de mouvement peuvent également être formulées qui relient l'accélération et la force . Des équations pour plusieurs formes d'accélération des corps et leurs lignes courbes du monde découlent de ces formules par intégration . Des cas particuliers bien connus sont le mouvement hyperbolique pour une accélération longitudinale constante constante ou un mouvement circulaire uniforme . Finalement, il est également possible de décrire ces phénomènes dans des cadres accélérés dans le contexte de la relativité restreinte, voir Cadre de référence approprié (espace-temps plat) . Dans de tels cadres, des effets se produisent qui sont analogues aux champs gravitationnels homogènes , qui ont certaines similitudes formelles avec les champs gravitationnels réels et non homogènes de l'espace-temps courbe en relativité générale. Dans le cas d'un mouvement hyperbolique, on peut utiliser les coordonnées de Rindler , dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme, on peut utiliser les coordonnées de Born .

Concernant le développement historique, des équations relativistes contenant des accélérations peuvent déjà être trouvées dans les premières années de la relativité, comme résumé dans les premiers manuels de Max von Laue (1911, 1921) ou Wolfgang Pauli (1921). Par exemple, les équations des transformations de mouvement et d'accélération ont été développées dans les articles de Hendrik Antoon Lorentz (1899, 1904), Henri Poincaré (1905), Albert Einstein (1905), Max Planck (1906), et quatre accélérations, accélération appropriée, mouvement hyperbolique, référentiels accélérants, rigidité de Born , ont été analysés par Einstein (1907), Hermann Minkowski (1907, 1908), Max Born (1909), Gustav Herglotz (1909), Arnold Sommerfeld (1910), von Laue (1911) , Friedrich Kottler (1912, 1914), voir la section sur l'histoire .

Trois accélérations

Conformément à la mécanique newtonienne et SR, trois accélérations ou accélération de coordonnées est la première dérivée de la vitesse par rapport au temps de coordonnées ou la deuxième dérivée de l'emplacement par rapport au temps de coordonnées: ${\ displaystyle \ mathbf {a} = \ gauche (a_ {x}, \ a_ {y}, \ a_ {z} \ droite)}$${\ displaystyle \ mathbf {u} = \ left (u_ {x}, \ u_ {y}, \ u_ {z} \ right)}$${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ left (x, \ y, \ z \ right)}$

${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {d \ mathbf {u}} {dt}} = {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r}} {dt ^ {2}}}}$ .

Cependant, les théories diffèrent fortement dans leurs prédictions en termes de relation entre trois accélérations mesurées dans différents référentiels inertiels. En mécanique newtonienne, le temps est absolu par conformément à la transformation galiléenne , donc la triple accélération qui en dérive est également égale dans tous les référentiels inertiels: ${\style d'affichage t'=t}$

${\displaystyle \mathbf {a} =\mathbf {a} '}$ .

Au contraire en SR, les deux et dépendent de la transformation de Lorentz, donc aussi trois accélérations et ses composants varient dans différents cadres inertiels. Lorsque la vitesse relative entre les images est dirigée dans la direction x par avec comme facteur de Lorentz , la transformation de Lorentz a la forme ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\style d'affichage t}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\ displaystyle v = v_ {x}}$${\ displaystyle \ gamma _ {v} = 1 / {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ begin {aligné} x '& = \ gamma _ {v} (x-vt) \\ y' & = y \\ z '& = z \ \ t ^ {\ prime} & = \ gamma _ {v} \ left (t - {\ frac {v} {c ^ {2}}} x \ right) \ end {aligné}} & {\ begin {aligné }x&=\gamma _{v}(x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'\\t&=\gamma _{v}\left(t'+{\frac {v} {c ^ {2}}} x '\ right) \ end {aligné}} \ end {array}}}$

( 1a )

ou pour des vitesses arbitraires de magnitude : ${\ displaystyle \ mathbf {v} = \ left (v_ {x}, \ v_ {y}, \ v_ {z} \ right)}$ ${\ displaystyle | \ mathbf {v} | = v}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ begin {aligné} \ mathbf {r} '& = \ mathbf {r} + \ mathbf {v} \ left [{\ frac {\ left (\ mathbf {r \ cdot v} \ right)} {v ^ {2}}} \ left (\ gamma _ {v} -1 \ right) -t \ gamma _ {v} \ right] \\ t ^ {\ prime} & = \ gamma _ {v} \ left (t - {\ frac {\ mathbf {r \ cdot v}} {c ^ {2}}} \ right) \ end {aligné}} & {\ begin { aligné}\mathbf {r} &=\mathbf {r} '+\mathbf {v} \left[{\frac {\left(\mathbf {r'\cdot v} \right)}{v^{2} }} \ gauche (\ gamma _ {v} -1 \ droite) + t '\ gamma _ {v} \ droite] \\ t & = \ gamma _ {v} \ gauche (t' + {\ frac {\ mathbf {r '\ cdot v}} {c ^ {2}}} \ right) \ end {aligné}} \ end {array}}}$

( 1b )

Afin de découvrir la transformation de trois accélérations, il faut différencier les coordonnées spatiales et de la transformation de Lorentz par rapport à et , à partir de laquelle la transformation de trois vitesses (également appelée formule d'addition de vitesse ) entre et suit, et éventuellement par une autre différenciation par rapport à et la transformation de trois accélérations entre et suit. À partir de ( 1a ), cette procédure donne la transformation où les accélérations sont parallèles (direction x) ou perpendiculaires (direction y, z) à la vitesse: ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} '}$${\style d'affichage t}$${\style d'affichage t'}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {u} '}$${\style d'affichage t}$${\style d'affichage t'}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\ displaystyle \ mathbf {a} '}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ begin {aligné} a_ {x} ^ {\ prime} & = {\ frac {a_ {x}} {\ gamma _ {v} ^ {3 } \ left (1 - {\ frac {u_ {x} v} {c ^ {2}}} \ right) ^ {3}}} \\ a_ {y} ^ {\ prime} & = {\ frac { a_ {y}} {\ gamma _ {v} ^ {2} \ gauche (1 - {\ frac {u_ {x} v} {c ^ {2}}} \ droite) ^ {2}}} + { \ frac {a_ {x} {\ frac {u_ {y} v} {c ^ {2}}}} {\ gamma _ {v} ^ {2} \ gauche (1 - {\ frac {u_ {x} v} {c ^ {2}}} \ right) ^ {3}}} \\ a_ {z} ^ {\ prime} & = {\ frac {a_ {z}} {\ gamma _ {v} ^ { 2} \ left (1 - {\ frac {u_ {x} v} {c ^ {2}}} \ right) ^ {2}}} + {\ frac {a_ {x} {\ frac {u_ {z } v} {c ^ {2}}}} {\ gamma _ {v} ^ {2} \ left (1 - {\ frac {u_ {x} v} {c ^ {2}}} \ right) ^ {3}}} \ end {aligné}} & {\ begin {aligné} a_ {x} & = {\ frac {a_ {x} ^ {\ prime}} {\ gamma _ {v} ^ {3} \ gauche (1 + {\ frac {u_ {x} ^ {\ prime} v} {c ^ {2}}} \ droite) ^ {3}}} \\ a_ {y} & = {\ frac {a_ { y} ^ {\ prime}} {\ gamma _ {v} ^ {2} \ gauche (1 + {\ frac {u_ {x} ^ {\ prime} v} {c ^ {2}}} \ droite) ^ {2}}} - {\ frac {a_ {x} ^ {\ prime} {\ frac {u_ {y} ^ {\ prime} v} {c ^ {2}}}} {\ gamma _ {v }^{2}\left(1+{\frac {u_{x}^{\prime }v}{c^{2}}}\right)^{3}}}\\a_{z}&= {\ frac {a_ {z} ^ {\ prime}} {\ gamma _ {v} ^ {2} \ gauche (1 + {\ frac {u_ {x} ^ {\ prime} v} {c ^ {2 }}} \ right) ^ {2}}} - {\ frac {a_ {x} ^ {\ prime} {\ frac {u_ {z} ^ {\ prime} v} {c ^ {2}}}} {\ gamma _ {v} ^ {2} \ left (1 + {\ frac {u_ {x} ^ {\ prime} v} {c ^ {2}}} \ right) ^ {3}}} \ end {aligné}} \ end {array}}}$

( 1c )

ou à partir de ( 1b ) cette procédure donne le résultat pour le cas général des directions arbitraires des vitesses et des accélérations:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ mathbf {a} '& = {\ frac {\ mathbf {a}} {\ gamma _ {v} ^ {2} \ left (1 - {\ frac {\ mathbf { v \ cdot u}} {c ^ {2}}} \ right) ^ {2}}} - {\ frac {\ mathbf {(a \ cdot v) v} \ left (\ gamma _ {v} -1 \ right)} {v ^ {2} \ gamma _ {v} ^ {3} \ left (1 - {\ frac {\ mathbf {v \ cdot u}} {c ^ {2}}} \ right) ^ {3}}} + {\ frac {\ mathbf {(a \ cdot v) u}} {c ^ {2} \ gamma _ {v} ^ {2} \ left (1 - {\ frac {\ mathbf { v \ cdot u}} {c ^ {2}}} \ right) ^ {3}}} \\\ mathbf {a} & = {\ frac {\ mathbf {a} '} {\ gamma _ {v} ^ {2} \ left (1 + {\ frac {\ mathbf {v \ cdot u} '} {c ^ {2}}} \ right) ^ {2}}} - {\ frac {\ mathbf {(a '\ cdot v) v} \ left (\ gamma _ {v} -1 \ right)} {v ^ {2} \ gamma _ {v} ^ {3} \ left (1 + {\ frac {\ mathbf { v \ cdot u} '} {c ^ {2}}} \ right) ^ {3}}} - {\ frac {\ mathbf {(a' \ cdot v) u} '} {c ^ {2} \ gamma _ {v} ^ {2} \ left (1 + {\ frac {\ mathbf {v \ cdot u} '} {c ^ {2}}} \ right) ^ {3}}} \ end {aligné} }}$

( 1d )

Cela signifie, s'il y a deux cadres inertiels et avec une vitesse relative , alors dans l'accélération d'un objet avec une vitesse momentanée est mesurée, tandis que dans le même objet a une accélération et a la vitesse momentanée . Comme pour les formules d'addition de vitesse, ces transformations d'accélération garantissent également que la vitesse résultante de l'objet accéléré ne peut jamais atteindre ou dépasser la vitesse de la lumière . ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S '}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle S '}$${\ displaystyle \ mathbf {a} '}$${\ displaystyle \ mathbf {u} '}$

Quatre accélérations

Si les quatre vecteurs sont utilisés au lieu de trois vecteurs, à savoir que la position quatre et que quatre-vitesse , l'accélération à quatre d'un objet est obtenu par différentiation par rapport au temps correct à la place de coordonner le temps: ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$${\ displaystyle \ mathbf {U}}$${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ left (A_ {t}, \ A_ {x}, \ A_ {y}, \ A_ {z} \ right) = \ left (A_ {t}, \ \ mathbf { A} _ {r} \ right)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ tau}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}={\frac {d^{2}\mathbf {R} }{ d \ tau ^ {2}}} = \ gauche (c {\ frac {d ^ {2} t} {d \ tau ^ {2}}}, \ {\ frac {d ^ {2} \ mathbf {r } }{d\tau ^{2}}}\right)\\&=\left(\gamma ^{4}{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {a} }{c}}, \ \ gamma ^ {4} {\ frac {(\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {u}) \ mathbf {u}} {c ^ {2}}} + \ gamma ^ {2} \ mathbf {a } \ droite) \ end {aligné}}}$

( 2a )

où est la triple accélération de l'objet et sa triple vitesse momentanée de magnitude avec le facteur de Lorentz correspondant . Si seule la partie spatiale est considérée, et lorsque la vitesse est dirigée dans la direction x par et que seules les accélérations parallèles (direction x) ou perpendiculaires (direction y, z) à la vitesse sont considérées, l'expression est réduite à : ${\displaystyle \mathbf {a} }$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$${\ displaystyle \ gamma = 1 / {\ sqrt {1-u ^ {2} / c ^ {2}}}}$${\ displaystyle u = u_ {x}}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {r} = \ mathbf {a} \ left (\ gamma ^ {4}, \ \ gamma ^ {2}, \ \ gamma ^ {2} \ right)}$

Contrairement aux trois accélérations évoquées précédemment, il n'est pas nécessaire de dériver une nouvelle transformation pour quatre accélérations, car comme pour les quatre vecteurs, les composantes de et dans deux cadres inertiels à vitesse relative sont reliées par une transformation de Lorentz analogue à ( 1a , 1b ). Une autre propriété des quatre vecteurs est l'invariance du produit interne ou sa grandeur , ce qui donne dans ce cas: ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\displaystyle \mathbf {A} '}$${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A} ^ {2} = - A_ {t} ^ {2} + \ mathbf {A} _ {r} ^ {2}}$${\displaystyle |\mathbf {A} |={\sqrt {\mathbf {A} ^{2}}}}$

${\ displaystyle | \ mathbf {A} '| = | \ mathbf {A} | = {\ sqrt {\ gamma ^ {4} \ left [\ mathbf {a} ^ {2} + \ gamma ^ {2} \ gauche ({\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {a}} {c}} \ droite) ^ {2} \ right]}}}$ .

( 2b )

Une bonne accélération

Dans de petites durées infinitésimales, il y a toujours un cadre inertiel, qui a momentanément la même vitesse que le corps accéléré, et dans lequel la transformation de Lorentz tient. Les trois accélérations correspondantes dans ces cadres peuvent être directement mesurées par un accéléromètre et sont appelées accélération appropriée ou accélération au repos. La relation entre dans un référentiel inertiel momentané et mesuré dans un repère inertiel externe résulte de ( 1c , 1d ) avec , , et . Donc, en termes de ( 1c ), lorsque la vitesse est dirigée dans la direction x par et lorsque seules les accélérations parallèles (direction x) ou perpendiculaires (directions y, z) à la vitesse sont considérées, il suit: ${\displaystyle \mathbf {a} ^{0}=\left(a_{x}^{0},\ a_{y}^{0},\ a_{z}^{0}\right)}$${\ displaystyle \ mathbf {a} ^ {0}}$${\ displaystyle S '}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ mathbf {a} '= \ mathbf {a} ^ {0}}$${\ displaystyle \ mathbf {u} '= 0}$${\ displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ gamma = \ gamma _ {v}}$${\displaystyle u=u_{x}=v=v_{x}}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {c | c | cc} {\ begin {aligné} a_ {x} ^ {0} & = {\ frac {a_ {x}} {\ left (1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) ^ {3/2}}} \\ a_ {y} ^ {0} & = {\ frac {a_ {y}} {1- {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \\ a_ {z} ^ {0} & = {\ frac {a_ {z}} {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ end {aligné}} & {\ begin {aligné} a_ {x} & = a_ {x} ^ {0} \ left (1 - {\ frac { u ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) ^ {3/2} \\ a_ {y} & = a_ {y} ^ {0} \ left (1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) \\ a_ {z} & = a_ {z} ^ {0} \ left (1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ { 2}}}\right)\end{aligned}}&{\text{ou}}&{\begin{aligned}\mathbf {a} ^{0}&=\mathbf {a} \left(\gamma ^ {3}, \ \ gamma ^ {2}, \ \ gamma ^ {2} \ right) \\\ mathbf {a} & = \ mathbf {\ mathbf {a}} ^ {0} \ left ({\ frac {1} {\ gamma ^ {3}}}, \ {\ frac {1} {\ gamma ^ {2}}}, \ {\ frac {1} {\ gamma ^ {2}}} \ right) \ end {aligné}} \ end {array}}}$

( 3a )

Généralisé par ( 1d ) pour des directions arbitraires de grandeur : ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ mathbf {a} ^ {0} & = \ gamma ^ {2} \ left [\ mathbf {a} + {\ frac {(\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf { u}) \ mathbf {u}} {u ^ {2}}} \ left (\ gamma -1 \ right) \ right] \\\ mathbf {a} & = {\ frac {1} {\ gamma ^ { 2}}} \ left [\ mathbf {a} ^ {0} - {\ frac {(\ mathbf {a} ^ {0} \ cdot \ mathbf {u}) \ mathbf {u}} {u ^ {2 }}}\left(1-{\frac {1}{\gamma }}\right)\right]\end{aligned}}}$

Il existe également une relation étroite avec la magnitude de quatre accélérations: comme elle est invariante, elle peut être déterminée dans le cadre inertiel momentané , dans lequel et par elle suit : ${\ displaystyle S '}$${\displaystyle \mathbf {A} _{r}^{\prime }=\mathbf {a} ^{0}}$${\displaystyle dt'/d\tau =1}$${\displaystyle d^{2}t'/d\tau ^{2}=A_{t}^{\prime }=0}$

${\ displaystyle | \ mathbf {A} '| = {\ sqrt {0+ \ left. \ mathbf {a} ^ {0} \ right. ^ {2}}} = | \ mathbf {a} ^ {0} |}$ .

( 3b )

Ainsi, la magnitude de quatre accélérations correspond à la magnitude de l'accélération appropriée. En combinant cela avec ( 2b ), une méthode alternative pour la détermination de la connexion entre in et in est donnée, à savoir ${\ displaystyle \ mathbf {a} ^ {0}}$${\ displaystyle S '}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle | \ mathbf {a} ^ {0} | = | \ mathbf {A} | = {\ sqrt {\ gamma ^ {4} \ left [\ mathbf {a} ^ {2} + \ gamma ^ { 2} \ left ({\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {a}} {c}} \ right) ^ {2} \ right]}}}$

d'où ( 3a ) découle à nouveau lorsque la vitesse est dirigée dans la direction x par et seules les accélérations parallèles (direction x) ou perpendiculaires (direction y, z) à la vitesse sont considérées. ${\ displaystyle u = u_ {x}}$

Accélération et force

En supposant une masse constante , la force quatre en fonction de la force trois est liée à l'accélération quatre ( 2a ) par , ainsi : ${\style d'affichage m}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F}}$${\ displaystyle \ mathbf {f}}$${\ displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ left (\ gamma {\ frac {\ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}} {c}}, \ \ gamma \ mathbf {f} \ right) = m \ mathbf {A} = m \ left (\ gamma ^ {4} \ left ({\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {a}} {c}} \ right), \ \ gamma ^ {4} \ left ({\ frac {\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {a}} {c ^ {2}}} \ right) \ mathbf {u} + \ gamma ^ {2} \ mathbf {a} \ right )}$

( 4a )

La relation entre trois forces et trois accélérations pour des directions arbitraires de la vitesse est donc

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ mathbf {f} & = m \ gamma ^ {3} \ left ({\ frac {(\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {u}) \ mathbf {u}} {c ^ {2}}} \ right) + m \ gamma \ mathbf {a} \\\ mathbf {a} & = {\ frac {1} {m \ gamma}} \ left (\ mathbf {f} - {\ frac {(\ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}) \ mathbf {u}} {c ^ {2}}} \ right) \ end {aligné}}}$

( 4b )

Lorsque la vitesse est dirigée dans la direction x par et que seules les accélérations parallèles (direction x) ou perpendiculaires (direction y, z) à la vitesse sont considérées ${\ displaystyle u = u_ {x}}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {c | c | cc} {\ begin {aligné} f_ {x} & = {\ frac {ma_ {x}} {\ left (1 - {\ frac {u ^ { 2}} {c ^ {2}}} \ right) ^ {3/2}}} \\ f_ {y} & = {\ frac {ma_ {y}} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} \\ f_ {z} & = {\ frac {ma_ {z}} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} { c ^ {2}}}}}} \ end {aligné}} & {\ begin {aligné} a_ {x} & = {\ frac {f_ {x}} {m}} \ left (1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) ^ {3/2} \\ a_ {y} & = {\ frac {f_ {y}} {m}} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \\ a_ {z} & = {\ frac {f_ {z}} {m}} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ end {aligné}} & {\ text {ou}} & {\ begin {aligné} \ mathbf {f} & = m \ mathbf { a} \left(\gamma ^{3},\ \gamma ,\ \gamma \right)\\\mathbf {a} &={\frac {\mathbf {f} }{m}}\left({\ frac {1} {\ gamma ^ {3}}}, \ {\ frac {1} {\ gamma}}, \ {\ frac {1} {\ gamma}} \ right) \ end {aligné}} \ end {déployer}}}$

( 4c )

Par conséquent, la définition newtonienne de la masse comme le rapport de trois forces et trois accélérations est désavantageuse en SR, car une telle masse dépendrait à la fois de la vitesse et de la direction. Par conséquent, les définitions de masse suivantes utilisées dans les anciens manuels ne sont plus utilisées:

${\ displaystyle m _ {\ Vert} = {\ frac {f_ {x}} {a_ {x}}} = m \ gamma ^ {3}}$ comme "masse longitudinale",

${\ displaystyle m _ {\ perp} = {\ frac {f_ {y}} {a_ {y}}} = {\ frac {f_ {z}} {a_ {z}}} = m \ gamma}$ comme "masse transversale".

La relation ( 4b ) entre trois accélérations et trois forces peut également être obtenue à partir de l'équation du mouvement

${\ displaystyle \ mathbf {f} = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} = {\ frac {d (m \ gamma \ mathbf {u})} {dt}} = {\ frac { d (m \ gamma)} {dt}} \ mathbf {u} + m \ gamma {\ frac {d \ mathbf {u}} {dt}} = m \ gamma ^ {3} \ left ({\ frac { (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {u}) \ mathbf {u}} {c ^ {2}}} \ right) + m \ gamma \ mathbf {a}}$

( 4j )

où est le triple élan. La transformation correspondante de trois forces entre in et in (lorsque la vitesse relative entre les images est dirigée dans la direction x par et que seules les accélérations parallèles (direction x) ou perpendiculaires (direction y, z) à la vitesse sont considérée) suivante par substitution des formules de transformation pertinentes pour , , , , ou à partir des composantes transformées de Lorentz de quatre vigueur, à la suite: ${\displaystyle \mathbf {p} }$${\ displaystyle \ mathbf {f}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle \ mathbf {f} '}$${\ displaystyle S '}$${\ displaystyle v = v_ {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\ displaystyle m \ gamma}$${\style d'affichage d(m\gamma )/dt}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}f_{x}^{\prime }&={\frac {f_{x}-{\frac {v}{c^{ 2}}}(\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} )}{1-{\frac {u_{x}v}{c^{2}}}}}\\f_{y}^{ \ prime} & = {\ frac {f_ {y}} {\ gamma _ {v} \ left (1 - {\ frac {u_ {x} v} {c ^ {2}}} \ right)}} \ \ f_ {z} ^ {\ prime} & = {\ frac {f_ {z}} {\ gamma _ {v} \ left (1 - {\ frac {u_ {x} v} {c ^ {2}} } \ right)}} \ end {aligné}} & {\ begin {aligné} f_ {x} & = {\ frac {f_ {x} ^ {\ prime} + {\ frac {v} {c ^ {2 }}} (\ mathbf {f} ^ {\ prime} \ cdot \ mathbf {u} ^ {\ prime})} {1 + {\ frac {u_ {x} ^ {\ prime} v} {c ^ { 2}}}}} \\ f_ {y} & = {\ frac {f_ {y} ^ {\ prime}} {\ gamma _ {v} \ left (1 + {\ frac {u_ {x} ^ { \ prime} v} {c ^ {2}}} \ right)}} \\ f_ {z} & = {\ frac {f_ {z} ^ {\ prime}} {\ gamma _ {v} \ left ( 1 + {\ frac {u_ {x} ^ {\ prime} v} {c ^ {2}}} \ right)}} \ end {aligné}} \ end {array}}}$

( 4e )

Ou généralisé pour des directions arbitraires de , ainsi qu'avec une amplitude : ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle | \ mathbf {v} | = v}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ mathbf {f} '& = {\ frac {{\ frac {\ mathbf {f}} {\ gamma _ {v}}} - \ gauche \ {(\ mathbf {f \ cdot u}) {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} - (\ mathbf {f \ cdot v}) \ left (1 - {\ frac {1} {\ gamma _ { v}}} \ right) \ right \} {\ frac {\ mathbf {v}} {v ^ {2}}}} {1 - {\ frac {\ mathbf {v \ cdot u}} {c ^ { 2}}}}} \\\ mathbf {f} & = {\ frac {{\ frac {\ mathbf {f} '} {\ gamma _ {v}}} + \ gauche \ {(\ mathbf {f' \ cdot u} ') {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}} + (\ mathbf {f' \ cdot v}) \ left (1 - {\ frac {1} {\ gamma _ {v}}} \ right) \ right \} {\ frac {\ mathbf {v}} {v ^ {2}}}} {1 + {\ frac {\ mathbf {v \ cdot u '}} { c^{2}}}}}\end{aligned}}}$

( 4f )

Accélération appropriée et force appropriée

La force dans un cadre inertiel momentané mesurée par une balance à ressort mobile peut être appelée force propre. Il découle de ( 4e , 4f ) en fixant et ainsi que et . Ainsi par ( 4e ) où seules les accélérations parallèles (direction x) ou perpendiculaires (direction y, z) à la vitesse sont considérées: ${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}}$${\ displaystyle \ mathbf {f} '= \ mathbf {f} ^ {0}}$${\ displaystyle \ mathbf {u} '= 0}$${\ displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ gamma = \ gamma _ {v}}$${\displaystyle u=u_{x}=v=v_{x}}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {c | c | cc} {\ begin {aligné} f_ {x} ^ {0} & = f_ {x} \\ f_ {y} ^ {0} & = {\ frac {f_ {y}} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} \\ f_ {z} ^ {0} & = {\ frac { f_ {z}} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} \ end {aligné}} & {\ begin {aligné} f_ {x} & = f_ {x} ^ {0} \\ f_ {y} & = f_ {y} ^ {0} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}} } \\ f_ {z} & = f_ {z} ^ {0} {\ sqrt {1 - {\ frac {u ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ end {aligné}} & {\text{ou}}&{\begin{aligned}\mathbf {f} ^{0}&=\mathbf {f} \left(1,\ \gamma ,\ \gamma \right)\\\mathbf { f} &=\mathbf {f} ^{0}\left(1,\ {\frac {1}{\gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)\end{aligned }} \ end {array}}}$

( 5a )

Généralisé par ( 4f ) pour des directions arbitraires de grandeur : ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\displaystyle |\mathbf {u} |=u}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ mathbf {f} ^ {0} & = \ mathbf {f} \ gamma - {\ frac {(\ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}) \ mathbf {u }} {u ^ {2}}} (\ gamma -1) \\\ mathbf {f} & = {\ frac {\ mathbf {f} ^ {0}} {\ gamma}} + {\ frac {( \ mathbf {f} ^ {0} \ cdot \ mathbf {u}) \ mathbf {u}} {u ^ {2}}} \ left (1 - {\ frac {1} {\ gamma}} \ right) \ end {aligné}}}$

Puisque dans les cadres inertiels momentanés on a quatre accélérations et quatre accélérations , l'équation ( 4a ) produit la relation newtonienne , donc ( 3a , 4c , 5a ) peut être résumée ${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ left (0, \, \ mathbf {f} ^ {0} \ right)}$${\ displaystyle \ mathbf {A} = \ left (0, \, \ mathbf {a} ^ {0} \ right)}$${\ displaystyle \ mathbf {f} ^ {0} = m \ mathbf {a} ^ {0}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ mathbf {f} ^ {0} & = \ mathbf {f} \ left (1, \ \ gamma, \ \ gamma \ right) = m \ mathbf {a} ^ {0 } = m \ mathbf {a} \ left (\ gamma ^ {3}, \ \ gamma ^ {2}, \ \ gamma ^ {2} \ right) \\\ mathbf {f} & = \ mathbf {f} ^ {0} \ left (1, \ {\ frac {1} {\ gamma}}, \ {\ frac {1} {\ gamma}} \ right) = m \ mathbf {a} ^ {0} \ left (1, \ {\ frac {1} {\ gamma}}, \ {\ frac {1} {\ gamma}} \ right) = m \ mathbf {a} \ left (\ gamma ^ {3}, \ \ gamma, \ \ gamma \ right) \ end {aligné}}}$

( 5b )

Par cela, l'apparente contradiction dans les définitions historiques de la masse transversale peut être expliquée. Einstein (1905) a décrit la relation entre trois accélérations et la force propre ${\displaystyle m_{\perp }}$

${\ displaystyle m _ {\ perp \ \ mathrm {Einstein}} = {\ frac {f_ {y} ^ {0}} {a_ {y}}} = {\ frac {f_ {z} ^ {0}} { a_ {z}}} = m \ gamma ^ {2}}$ ,

tandis que Lorentz (1899, 1904) et Planck (1906) ont décrit la relation entre trois accélérations et trois forces

${\ displaystyle m _ {\ perp \ \ mathrm {Lorentz}} = {\ frac {f_ {y}} {a_ {y}}} = {\ frac {f_ {z}} {a_ {z}}} = m \ gamma}$ .

Lignes du monde courbes

Par intégration des équations de mouvement, on obtient les lignes du monde courbes de corps accélérés correspondant à une séquence de référentiels inertiels momentanés (ici, l'expression «courbe» est liée à la forme des lignes du monde dans les diagrammes de Minkowski, qu'il ne faut pas confondre avec espace-temps "courbe" de la relativité générale). Dans ce contexte, l' hypothèse dite d' horloge du postulat d'horloge doit être considérée : le temps propre des horloges mobiles est indépendant de l'accélération, c'est-à-dire que la dilatation temporelle de ces horloges telle qu'elle est vue dans un référentiel inertiel externe ne dépend que de son vitesse relative par rapport à cette image. Deux cas simples de lignes d'univers courbes sont maintenant fournis par l'intégration de l'équation ( 3a ) pour une accélération correcte :

a) Mouvement hyperbolique : L'accélération constante et longitudinale propre par ( 3a ) conduit à la ligne d'univers ${\ displaystyle \ alpha = a_ {x} ^ {0} = a_ {x} \ gamma ^ {3}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} & t (\ tau) = {\ frac {c} {\ alpha}} \ sinh {\ frac {\ alpha \ tau} {c}}, \ quad x (\ tau) = {\ frac {c ^ {2}} {\ alpha}} \ left (\ cosh {\ frac {\ alpha \ tau} {c}} - 1 \ right), \ quad y = 0, \ quad z = 0 , \\ & \ tau (t) = {\ frac {c} {\ alpha}} \ ln \ left ({\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {\ alpha t} {c}} \ right) ^{2}}}+{\frac {\alpha t}{c}}\right),\quad x(t)={\frac {c^{2}}{\alpha }}\left({\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {\ alpha t} {c}} \ right) ^ {2}}} - 1 \ right) \ end {aligné}}}$

( 6a )

La ligne du monde correspond à l' équation hyperbolique , à partir de laquelle le nom mouvement hyperbolique est dérivé. Ces équations sont souvent utilisées pour le calcul de divers scénarios du paradoxe du jumeau ou du paradoxe du vaisseau spatial de Bell , ou en relation avec le voyage spatial en accélération constante . ${\displaystyle c^{4}/\alpha ^{2}=\left(x+c^{2}/\alpha \right)^{2}-c^{2}t^{2}}$

b) L'accélération transversale propre constante de ( 3a ) peut être vue comme une accélération centripète , conduisant à la ligne du monde d'un corps en rotation uniforme ${\displaystyle a_{y}^{0}=a_{y}\gamma ^{2}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} x & = r \ cos \ Omega _ {0} t = r \ cos \ Omega \ tau \\ y & = r \ sin \ Omega _ {0} t = r \ sin \ Omega \ tau \\ z & = z \\ t & = \ gamma \ tau = {\ frac {\ tau} {\ sqrt {1- \ left ({\ frac {r \ Omega _ {0}} {c}} \ right) ^ {2}}}} = \ tau {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {r \ Omega} {c}} \ right) ^ {2}}} \ end {aligné}}}$

( 6b )

où est la vitesse tangentielle , est le rayon orbital, est la vitesse angulaire en fonction du temps de coordonnées, et en tant que vitesse angulaire appropriée. ${\displaystyle v=r\Omega _{0}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ Omega _ {0}}$${\ displaystyle \ Omega = \ gamma \ Omega _ {0}}$

Une classification des lignes du monde courbes peut être obtenue en utilisant la géométrie différentielle des courbes triples, qui peut être exprimée par des formules de Frenet-Serret d'espace-temps . En particulier, on peut montrer que le mouvement hyperbolique et le mouvement circulaire uniforme sont des cas particuliers de mouvements ayant des courbures et des torsions constantes , satisfaisant la condition de rigidité de Born . Un corps est dit rigide de Born si la distance spatio-temporelle entre ses lignes d'univers ou points infiniment séparés reste constante pendant l'accélération.

Cadres de référence accélérés

Au lieu de cadres inertiels, ces mouvements accélérés et lignes du monde courbes peuvent également être décrits à l'aide de coordonnées accélérées ou curvilignes . Le cadre de référence approprié établi de cette manière est étroitement lié aux coordonnées de Fermi . Par exemple, les coordonnées d'un cadre de référence à accélération hyperbolique sont parfois appelées coordonnées de Rindler , ou celles d'un cadre de référence à rotation uniforme sont appelées coordonnées cylindriques rotatives (ou parfois coordonnées Born ). En termes de principe d'équivalence , les effets survenant dans ces cadres accélérés sont analogues aux effets dans un champ gravitationnel homogène et fictif. De cette façon, on peut voir que l'utilisation de cadres accélérants dans SR produit des relations mathématiques importantes, qui (une fois développées) jouent un rôle fondamental dans la description de champs gravitationnels réels et inhomogènes en termes d'espace-temps courbe en relativité générale.

Histoire

Pour plus d'informations, voir von Laue, Pauli, Miller, Zahar, Gourgoulhon et les sources historiques de l' histoire de la relativité restreinte .

1899:

Hendrik Lorentz a dérivé les relations correctes (jusqu'à un certain facteur ) pour les accélérations, les forces et les masses entre un système électrostatique au repos de particules (dans un éther stationnaire ), et un système qui en émerge en ajoutant une translation, avec comme facteur de Lorentz : ${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle S_ {0}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ epsilon ^ {2}}}}$ , , Pour par (

5a ); ${\ displaystyle {\ frac {1} {k \ epsilon ^ {2}}}}$${\ displaystyle {\ frac {1} {k \ epsilon ^ {2}}}}$${\ displaystyle \ mathbf {f} / \ mathbf {f} ^ {0}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {k ^ {3} \ epsilon}}}$ , , Pour par ( 3a ); ${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}\epsilon }}}$${\displaystyle {\frac {1}{k^{2}\epsilon }}}$${\displaystyle \mathbf {a} /\mathbf {a} ^{0}}$

${\ displaystyle {\ frac {k ^ {3}} {\ epsilon}}}$ , , pour , donc masse longitudinale et transversale par ( 4c ) ; ${\ displaystyle {\ frac {k} {\ epsilon}}}$${\ displaystyle {\ frac {k} {\ epsilon}}}$${\ displaystyle \ mathbf {f} / (m \ mathbf {a})}$

Lorentz a expliqué qu'il n'avait aucun moyen de déterminer la valeur de . S'il avait pris , ses expressions auraient pris la forme relativiste exacte. ${\ displaystyle \ epsilon}$${\style d'affichage \epsilon =1}$

1904 :

Lorentz a dérivé les relations précédentes de manière plus détaillée, à savoir en ce qui concerne les propriétés des particules au repos dans le système et le système en mouvement , avec la nouvelle variable auxiliaire égale à par rapport à celle de 1899, ainsi : ${\ displaystyle \ Sigma '}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle 1 / \ epsilon}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} (\ Sigma) = \ left (l ^ {2}, \ {\ frac {l ^ {2}} {k}}, \ {\ frac {l ^ {2} } {k}} \ right) {\ mathfrak {F}} (\ Sigma ')}$ pour en fonction de par ( 5a ); ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$${\displaystyle \mathbf {f} ^{0}}$

${\ displaystyle m {\ mathfrak {j}} (\ Sigma) = \ left (l ^ {2}, \ {\ frac {l ^ {2}} {k}}, \ {\ frac {l ^ {2 }} {k}} \ droite) m {\ mathfrak {j}} (\ Sigma ')}$ pour en fonction de par ( 5b ); ${\displaystyle m\mathbf {a} }$${\ displaystyle m \ mathbf {a} ^ {0}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {j}} (\ Sigma) = \ left ({\ frac {l} {k ^ {3}}}, \ {\ frac {l} {k ^ {2}}}, \ {\ frac {l} {k ^ {2}}} \ right) {\ mathfrak {j}} (\ Sigma ')}$ pour en fonction de par ( 3a ); ${\displaystyle \mathbf {a} }$${\ displaystyle \ mathbf {a} ^ {0}}$

${\displaystyle m(\Sigma )=\left(k^{3}l,\ kl,\ kl\right)m(\Sigma ')}$ pour la masse longitudinale et transversale en fonction de la masse de repos par ( 4c , 5b ).

Cette fois, Lorentz pourrait montrer cela , par lequel ses formules prennent la forme relativiste exacte. Il a également formulé l'équation du mouvement ${\ displaystyle l = 1}$

${\ displaystyle {\ displaystyle {\ mathfrak {F}} = {\ frac {d {\ mathfrak {G}}} {dt}}}}$ avec ${\ displaystyle {\ displaystyle {\ mathfrak {G}} = {\ frac {e ^ {2}} {6 \ pi c ^ {2} R}} kl {\ mathfrak {w}}}}$

ce qui correspond à ( 4d ) avec , à , , , , , et que la masse reste électromagnétique . En outre, a-t-il soutenu, ces formules ne devraient pas seulement être valables pour les forces et les masses de particules chargées électriquement, mais aussi pour d'autres processus afin que le mouvement de la Terre à travers l'éther reste indétectable. ${\ displaystyle \ mathbf {f} = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} = {\ frac {d (m \ gamma \ mathbf {u})} {dt}}}$${\ displaystyle l = 1}$${\ displaystyle {\ mathfrak {F}} = \ mathbf {f}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {G}} = \ mathbf {p}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {w}} = \ mathbf {u}}$${\displaystyle k=\gamma }$${\displaystyle e^{2}/(6\pi c^{2}R)=m}$

1905:

Henri Poincaré a introduit la transformation des trois forces ( 4e ):

${\ displaystyle X_ {1} ^ {\ prime} = {\ frac {k} {l ^ {3}}} {\ frac {\ rho} {\ rho ^ {\ prime}}} \ left (X_ {1 }+\epsilon \Sigma X_{1}\xi \right),\quad Y_{1}^{\prime }={\frac {\rho }{\rho ^{\prime }}}{\frac {Y_ {1}} {l ^ {3}}}, \ quad Z_ {1} ^ {\ prime} = {\ frac {\ rho} {\ rho ^ {\ prime}}} {\ frac {Z_ {1} } {l ^ {3}}}}$

avec , et comme facteur de Lorentz, la densité de charge. Ou en notation moderne: , , et . En tant que Lorentz, il s'est mis . ${\ displaystyle {\ frac {\ rho} {\ rho ^ {\ prime}}} = {\ frac {k} {l ^ {3}}} (1+ \ epsilon \ xi)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ rho}$${\displaystyle \epsilon =v}$${\ displaystyle \ xi = u_ {x}}$${\displaystyle \left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f} }$${\ displaystyle \ Sigma X_ {1} \ xi = \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}}$${\ displaystyle l = 1}$

1905:

Albert Einstein a dérivé les équations des mouvements sur la base de sa théorie spéciale de la relativité, qui représente la relation entre des cadres inertiels également valides sans l'action d'un éther mécanique. Einstein a conclu que dans un cadre inertiel momentané, les équations du mouvement conservent leur forme newtonienne : ${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle \ mu {\ frac {d ^ {2} \ xi} {d \ tau ^ {2}}} = \ epsilon X ', \ quad \ mu {\ frac {d ^ {2} \ eta} { d \ tau ^ {2}}} = \ epsilon Y ', \ quad \ mu {\ frac {d ^ {2} \ zeta} {d \ tau ^ {2}}} = \ epsilon Z'}$ .

Cela correspond à , parce que et et . Par transformation en un système relativement mobile, il a obtenu les équations des composants électriques et magnétiques observés dans ce cadre: ${\ displaystyle \ mathbf {f} ^ {0} = m \ mathbf {a} ^ {0}}$${\ displaystyle \ mu = m}$${\displaystyle \left({\frac {d^{2}\xi }{d\tau ^{2}}},\ {\frac {d^{2}\eta }{d\tau ^{2} }}, \ {\ frac {d ^ {2} \ zeta} {d \ tau ^ {2}}} \ right) = \ mathbf {a} ^ {0}}$${\ displaystyle \ left (\ epsilon X ', \ \ epsilon Y', \ \ epsilon Z '\ right) = \ mathbf {f} ^ {0}}$${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} = {\ frac {\ epsilon} {\ mu}} {\ frac {1} {\ beta ^ {3}}} X, \ quad {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} = {\ frac {\ epsilon} {\ mu}} {\ frac {1} {\ beta}} \ left ( Y-{\frac {v}{V}}N\right),\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {\epsilon }{\mu } } {\ frac {1} {\ beta}} \ left (Z + {\ frac {v} {V}} M \ right)}$ .

Cela correspond à ( 4c ) avec , parce que et et et . Par conséquent, Einstein a déterminé la masse longitudinale et transversale, même s'il l'a reliée à la force dans le cadre de repos momentané mesurée par un balancier à ressort de comoving, et à la triple accélération du système : ${\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {\ mathbf {f}} {m}} \ left ({\ frac {1} {\ gamma ^ {3}}}, \ {\ frac {1} { \gamma }},\ {\frac {1}{\gamma }}\right)}$${\ displaystyle \ mu = m}$${\ displaystyle \ left ({\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}}, \ {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}}, \ {\ frac {d ^ {2} z} {dt ^ {2}}} \ right) = \ mathbf {a}}$${\ displaystyle \ left [\ epsilon X, \ \ epsilon \ left (Y - {\ frac {v} {V}} N \ right), \ \ epsilon \ left (Z + {\ frac {v} {V}} M \ right) \ right] = \ mathbf {f}}$${\ displaystyle \ beta = \ gamma}$${\ displaystyle \ left (\ epsilon X ', \ \ epsilon Y', \ \ epsilon Z '\ right) = \ mathbf {f} ^ {0}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {c | c} {\ begin {aligné} \ mu \ beta ^ {3} {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}}} & = \ epsilon X = \ epsilon X '\\\ mu \ beta ^ {2} {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}}} & = \ epsilon \ beta \ left (Y - {\ frac {v} {V}} N \ right) = \ epsilon Y '\\\ mu \ beta ^ {2} {\ frac {d ^ {2} z} {dt ^ {2}}} & = \ epsilon \ beta \ left (Z + {\ frac {v} {V}} M \ right) = \ epsilon Z '\ end {aligné}} & {\ begin {aligné} {\ frac {\ mu} {\ left ({\ sqrt {1- \ left ({\ frac {v} {V}} \ right) ^ {2}}} \ right) ^ {3}}} & \ {\ text {masse longitudinale}} \\\\ { \ frac {\ mu} {1- \ left ({\ frac {v} {V}} \ right) ^ {2}}} & \ {\ text {masse transversale}} \ end {aligné}} \ end { déployer}}}$

Cela correspond à ( 5b ) avec . ${\ displaystyle m \ mathbf {a} \ left (\ gamma ^ {3}, \ \ gamma ^ {2}, \ \ gamma ^ {2} \ right) = \ mathbf {f} \ left (1, \ \ gamma ,\ \gamma \right)=\mathbf {f} ^{0}}$

1905:

Poincaré introduit la transformation de trois-accélérations ( 1c ) :

${\ displaystyle {\ frac {d \ xi ^ {\ prime}} {dt ^ {\ prime}}} = {\ frac {d \ xi} {dt}} {\ frac {1} {k ^ {3} \ mu ^ {3}}}, \ quad {\ frac {d \ eta ^ {\ prime}} {dt ^ {\ prime}}} = {\ frac {d \ eta} {dt}} {\ frac { 1} {k ^ {2} \ mu ^ {2}}} - {\ frac {d \ xi} {dt}} {\ frac {\ eta \ epsilon} {k ^ {2} \ mu ^ {3} }},\quad {\frac {d\zeta ^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {d\zeta }{dt}}{\frac {1}{k^{ 2} \ mu ^ {2}}} - {\ frac {d \ xi} {dt}} {\ frac {\ zeta \ epsilon} {k ^ {2} \ mu ^ {3}}}}$

où ainsi que et et . ${\ displaystyle \ left (\ xi, \ \ eta, \ \ zeta \ right) = \ mathbf {u}}$${\displaystyle k=\gamma }$${\displaystyle \epsilon =v}$${\ displaystyle \ mu = 1 + \ xi \ epsilon = 1 + u_ {x} v}$

De plus, il a introduit les quatre forces sous la forme :

${\ displaystyle k_ {0} X_ {1}, \ quad k_ {0} Y_ {1}, \ quad k_ {0} Z_ {1}, \ quad k_ {0} T_ {1}}$

où et et . ${\ displaystyle k_ {0} = \ gamma _ {0}}$${\displaystyle \left(X_{1},\ Y_{1},\ Z_{1}\right)=\mathbf {f} }$${\ displaystyle T_ {1} = \ Sigma X_ {1} \ xi = \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {u}}$

1906:

Max Planck a dérivé l'équation du mouvement

${\ displaystyle {\ frac {m {\ ddot {x}}} {\ sqrt {1 - {\ frac {q ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = e {\ mathfrak {E }} _ {x} - {\ frac {e {\ dot {x}}} {c ^ {2}}} \ left ({\ dot {x}} {\ mathfrak {E}} _ {x} + {\ dot {y}} {\ mathfrak {E}} _ {y} + {\ dot {z}} {\ mathfrak {E}} _ {z} \ droite) + {\ frac {e} {c} } \ left ({\ dot {y}} {\ mathfrak {H}} _ {z} - {\ dot {z}} {\ mathfrak {H}} _ {y} \ right) \ {\ text {etc .}}}$

avec

${\ displaystyle e \ left ({\ dot {x}} {\ mathfrak {E}} _ {x} + {\ dot {y}} {\ mathfrak {E}} _ {y} + {\ dot {z }} {\ mathfrak {E}} _ {z} \ right) = {\ frac {m \ left ({\ dot {x}} {\ ddot {x}} + {\ dot {y}} {\ ddot {y}} + {\ dot {z}} {\ ddot {z}} \ right)} {\ left (1 - {\ frac {q ^ {2}} {c ^ {2}}} \ right) ^ {3/2}}}}$ et ${\ displaystyle e {\ mathfrak {E}} _ {x} + {\ frac {e} {c}} \ left ({\ dot {y}} {\ mathfrak {H}} _ {z} - {\ dot {z}} {\ mathfrak {H}} _ {y} \ right) = X \ {\ text {etc.}}}$

et

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left \ {{\ frac {m {\ dot {x}}} {\ sqrt {1 - {\ frac {q ^ {2}} {c ^ { 2}}}}}}\right\}=X\ {\text{etc.}}}$

Les équations correspondent à ( 4d ) avec

${\ displaystyle \ mathbf {f} = {\ frac {d \ mathbf {p}} {dt}} = {\ frac {d (m \ gamma \ mathbf {u})} {dt}} = m \ gamma ^ {3} \ gauche ({\ frac {(\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {u}) \ mathbf {u}} {c ^ {2}}} \ droite) + m \ gamma \ mathbf {a} }$ , avec et et , en accord avec ceux donnés par Lorentz (1904). ${\style d'affichage X=f_{x}}$${\ displaystyle q = v}$${\ displaystyle {\ dot {x}} {\ ddot {x}} + {\ dot {y}} {\ ddot {y}} + {\ dot {z}} {\ ddot {z}} = \ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {a}}$

1907 :

Einstein a analysé un cadre de référence uniformément accéléré et obtenu des formules pour la dilatation du temps et la vitesse de la lumière dépendant des coordonnées, analogues à celles données par les coordonnées de Kottler-Møller- Rindler .

1907 :

Hermann Minkowski a défini la relation entre les quatre forces (qu'il appelait la force mobile) et les quatre accélérations

${\ displaystyle m {\ frac {d} {d \ tau}} {\ frac {dx} {d \ tau}} = R_ {x}, \ quad m {\ frac {d} {d \ tau}} { \ frac {dy} {d \ tau}} = R_ {y}, \ quad m {\ frac {d} {d \ tau}} {\ frac {dz} {d \ tau}} = R_ {z}, \ quad m {\ frac {d} {d \ tau}} {\ frac {dt} {d \ tau}} = R_ {t}}$

correspondant à . ${\displaystyle m\mathbf {A} =\mathbf {F} }$

1908:

Minkowski désigne la seconde dérivée par rapport au temps propre comme "vecteur d'accélération" (quatre accélérations). Il a montré que sa magnitude à un point arbitraire de la ligne du monde est , où est la magnitude d'un vecteur dirigé du centre de la "hyperbole de courbure" correspondante ( allemand : Krümmungshyperbel ) à . ${\style d'affichage x,y,z,t}$${\style d'affichage P}$${\displaystyle c^{2}/\varrho }$${\ displaystyle \ varrho}$${\style d'affichage P}$

1909:

Max Born désigne le mouvement d'amplitude constante du vecteur d'accélération de Minkowski comme "mouvement hyperbolique" ( allemand : Hyperbelbewegung ), au cours de son étude du mouvement rigidement accéléré . Il définit (maintenant appelé vitesse propre ) et comme facteur de Lorentz et comme temps propre, avec les équations de transformation ${\ displaystyle p = dx / d \ tau}$${\ displaystyle q = -dt / d \ tau = {\ sqrt {1 + p ^ {2} / c ^ {2}}}}$${\ displaystyle \ tau}$

${\ displaystyle x = -q \ xi, \ quad y = \ eta, \ quad z = \ zeta, \ quad t = {\ frac {p} {c ^ {2}}} \ xi}$ .

qui correspond à ( 6a ) avec et . L'élimination de Born a dérivé l'équation hyperbolique et a défini la magnitude de l'accélération comme . Il a également remarqué que sa transformation peut être utilisée pour se transformer en un «système de référence hyperbolique accéléré» ( allemand : hyperbolisch beschleunigtes Bezugsystem ). ${\ displaystyle \ xi = c ^ {2} / \ alpha}$${\ displaystyle p = c \ sinh (\ alpha \ tau / c)}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle x ^ {2} -c ^ {2} t ^ {2} = \ xi ^ {2}}$${\displaystyle b=c^{2}/\xi }$

1909:

Gustav Herglotz étend l'enquête de Born à tous les cas possibles de mouvement rigidement accéléré, y compris la rotation uniforme.

1910 :

Arnold Sommerfeld a apporté les formules de Born pour le mouvement hyperbolique sous une forme plus concise avec comme variable temporelle imaginaire et comme angle imaginaire: ${\ displaystyle l = ict}$${\ displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle x = r \ cos \ varphi, \ quad y = y ', \ quad z = z', \ quad l = r \ sin \ varphi}$

Il a noté que lorsqu'ils sont variables et constants, ils décrivent la ligne d'univers d'un corps chargé en mouvement hyperbolique. Mais si sont constants et est variable, ils dénotent la transformation dans son cadre de repos. ${\ Displaystyle r, y, z}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle r, y, z}$${\ displaystyle \ varphi}$

1911:

Sommerfeld a explicitement utilisé l'expression «accélération propre» (en allemand : Eigenbeschleunigung ) pour la quantité en , qui correspond à ( 3a ), comme accélération dans le référentiel inertiel momentané. ${\displaystyle {\dot {v}}_{0}}$${\ displaystyle {\ dot {v}} = {\ dot {v}} _ {0} \ left (1- \ beta ^ {2} \ right) ^ {3/2}}$

1911:

Herglotz a utilisé explicitement l'expression "accélération au repos" (en allemand : Ruhbeschleunigung ) au lieu d'une accélération appropriée. Il l'a écrit sous la forme et qui correspond à ( 3a ), où est le facteur de Lorentz et ou sont les composantes longitudinale et transversale de l'accélération au repos. ${\ displaystyle \ gamma _ {l} ^ {0} = \ beta ^ {3} \ gamma _ {l}}$${\ displaystyle \ gamma _ {t} ^ {0} = \ beta ^ {2} \ gamma _ {t}}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ gamma _ {l} ^ {0}}$${\ displaystyle \ gamma _ {t} ^ {0}}$

1911:

Max von Laue a dérivé dans la première édition de sa monographie "Das Relativitätsprinzip" la transformation pour trois accélérations par différenciation de l'addition de vitesse

${\ displaystyle {\ begin {aligné} {\ mathfrak {\ dot {q}}} _ {x} & = \ left ({\ frac {c {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}} }} {c ^ {2} + v {\ mathfrak {q}} _ {x} ^ {\ prime}}} \ droite) ^ {3} {\ mathfrak {\ dot {q}}} _ {x} ^ {\ prime}, & {\ mathfrak {\ dot {q}}} _ {y} & = \ left ({\ frac {c {\ sqrt {c ^ {2} -v ^ {2}}}} {c ^ {2} + v {\ mathfrak {q}} _ {x} ^ {\ prime}}} \ droite) ^ {2} \ gauche ({\ mathfrak {\ dot {q}}} _ {x } ^ {\ prime} - {\ frac {v {\ mathfrak {q}} _ {y} ^ {\ prime} {\ mathfrak {\ dot {q}}} _ {x} ^ {\ prime}} { c ^ {2} + v {\ mathfrak {q}} _ {x} ^ {\ prime}}} \ droite), \ end {aligné}}}$

équivalent à ( 1c ) ainsi qu'à Poincaré (1905/6). De là, il a dérivé la transformation de l'accélération au repos (équivalente à 3a ), et éventuellement les formules pour le mouvement hyperbolique qui correspond à ( 6a ):

${\displaystyle \pm {\mathfrak {q}}_{x}=\pm {\frac {dx}{dt}}={\frac {cbt}{\sqrt {c^{2}+b^{2 } t ^ {2}}}}, \ quad \ pm \ left (x-x_ {0} \ right) = {\ frac {c} {b}} {\ sqrt {c ^ {2} + b ^ { 2} t ^ {2}}},}$

Donc

${\ displaystyle x ^ {2} -c ^ {2} t ^ {2} = x ^ {2} -u ^ {2} = c ^ {4} / b ^ {2}, \ quad y = \ eta , \ quad z = \ zeta}$ ,

et la transformation en un référentiel hyperbolique à angle imaginaire : ${\ displaystyle \ varphi}$

${\displaystyle {\begin{array}{c|c}{\begin{aligned}X&=R\cos \varphi \\L&=R\sin \varphi \end{aligned}}&{\begin{aligned}R ^ {2} & = X ^ {2} + L ^ {2} \\\ tan \ varphi & = {\ frac {L} {X}} \ end {aligné}} \ end {array}}}$ .

Il a également écrit la transformation de trois forces comme

${\ displaystyle {\ begin {aligné} {\ mathfrak {K}} _ {x} & = {\ frac {{\ mathfrak {K}} _ {x} ^ {\ prime} + {\ frac {v} { c ^ {2}}} ({\ mathfrak {q'K '}})} {1 + {\ frac {v {\ mathfrak {q}} _ {x} ^ {\ prime}} {c ^ {2 }}}}}, & {\ mathfrak {K}} _ {y} & = {\ mathfrak {K}} _ {y} ^ {\ prime} {\ frac {\ sqrt {1- \ beta ^ {2 }}} {1 + {\ frac {v {\ mathfrak {q}} _ {x} ^ {\ prime}} {c ^ {2}}}}}, & {\ mathfrak {K}} _ {z } & = {\ mathfrak {K}} _ {z} ^ {\ prime} {\ frac {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}} {1 + {\ frac {v {\ mathfrak {q} } _ {x} ^ {\ prime}} {c ^ {2}}}}}, \ end {aligné}}}$

équivalent à ( 4e ) ainsi qu'à Poincaré (1905).

1912-1914:

Friedrich Kottler a obtenu la covariance générale des équations de Maxwell et a utilisé des formules de Frenet-Serret à quatre dimensions pour analyser les mouvements rigides de Born donnés par Herglotz (1909). Il a également obtenu les cadres de référence appropriés pour le mouvement hyperbolique et le mouvement circulaire uniforme.

1913:

von Laue a remplacé dans la deuxième édition de son livre la transformation de trois accélérations par le vecteur d'accélération de Minkowski pour lequel il a inventé le nom de «quatre accélérations» (en allemand : Viererbeschleunigung ), défini par avec comme quatre vitesses. Il a montré que la magnitude de quatre accélérations correspond à l'accélération au repos par ${\ displaystyle {\ dot {Y}} = {\ frac {dY} {d \ tau}}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle {\ dot {\ mathfrak {q}}} ^ {0}}$

${\ displaystyle | {\ dot {Y |}} = {\ frac {1} {c}} | {\ dot {\ mathfrak {q}}} ^ {0} |}$ ,

ce qui correspond à ( 3b ). Par la suite, il a dérivé les mêmes formules qu'en 1911 pour la transformation de l'accélération au repos et du mouvement hyperbolique, et du référentiel hyperbolique.

Les références

Bibliographie

• Ashtekar, A .; Petkov, V. (2014). Manuel Springer de Spacetime . Springer. ISBN   978-3642419928 .
• Bini, D .; Lusanna, L.; Mashhoon, B. (2005). "Limitations des coordonnées radar". International Journal of Modern Physics D . 14 (8): 1413–1429. arXiv : gr-qc / 0409052 . Bibcode : 2005IJMPD..14.1413B . doi : 10.1142 / S0218271805006961 . S2CID   17909223 .
• Ferraro, R. (2007). L'espace-temps d'Einstein: une introduction à la relativité spéciale et générale . Spektrum. ISBN   978-0387699462 .
• Fraundorf, P. (2012). "Une intro centrée sur le voyageur à la cinématique". IV-B. arXiv : 1206.2877 [ physique.pop-ph ].
• Français, AP (1968). Relativité particulière . CRC Press. ISBN   1420074814 .
• Freund, J. (2008). Relativité spéciale pour les débutants: un manuel pour les étudiants de premier cycle . Monde scientifique. ISBN   978-9812771599 .
• Gourgoulhon, E. (2013). Relativité restreinte dans les cadres généraux : des particules à l'astrophysique . Springer. ISBN   978-3642372766 .
• von Laue, M. (1921). Die Relativitätstheorie, Band 1 (quatrième édition de "Das Relativitätsprinzip" ed.). Vieweg. ; Première édition 1911, deuxième édition augmentée 1913, troisième édition augmentée 1919.
• Koks, D. (2006). Explorations en physique mathématique . Springer. ISBN   0387309438 .
• Kopeikin, S.; Efroimsky, M .; Kaplan, G. (2011). Mécanique céleste relativiste du système solaire . John Wiley et fils. ISBN   978-3527408566 .
• Miller, Arthur I. (1981). La théorie de la relativité restreinte d'Albert Einstein. Emergence (1905) et interprétation précoce (1905–1911) . Lecture: Addison – Wesley. ISBN   0-201-04679-2 .
• Misner, CW; Thorne, KS; Wheeler, JA (1973). Gravitation . Homme libre. ISBN   0716703440 .
• Møller, C. (1955) [1952]. La théorie de la relativité . Presse d'Oxford Clarendon.
• Nikolić, H. (2000). "La contraction relativiste et les effets connexes dans les cadres non inertiels". Physical Review A . 61 (3): 032109. arXiv : gr-qc / 9904078 . Bibcode : 2000PhRvA..61c2109N . doi : 10.1103 / PhysRevA.61.032109 . S2CID   5783649 .
• Pauli, Wolfgang (1921), "Die Relativitätstheorie" , Encyclopädie der Mathematischen Wissenschaften , 5 (2): 539–776

En anglais: Pauli, W. (1981) [1921]. Théorie de la relativité . Théories fondamentales de la physique . 165 . Publications de Douvres. ISBN   0-486-64152-X .

• Pauri, M .; Vallisneri, M. (2000). "Coordonnées Märzke-Wheeler pour les observateurs accélérés en relativité restreinte". Fondements des lettres de physique . 13 (5): 401–425. arXiv : gr-qc / 0006095 . Bibcode : 2000gr.qc ..... 6095P . doi : 10.1023/A:1007861914639 . S2CID   15097773 .
• Pfeffer, J.; Nir, S. (2012). Physique moderne: un texte d'introduction . Monde scientifique. ISBN   978-1908979575 .
• Shadowitz, A. (1988). Relativité restreinte (réimpression de 1968 ed.). Publications Courier Dover. ISBN   0-486-65743-4 .
• Rahaman, F. (2014). La théorie de la relativité restreinte : une approche mathématique . Springer. ISBN   978-8132220800 .
• Rebhan, E. (1999). Theoretische Physik I . Heidelberg · Berlin: Spektrum. ISBN   3-8274-0246-8 .
• Rindler, W. (1977). Relativité essentielle . Springer. ISBN   354007970X .
• Synge, JL (1966). "Hélices Timelike dans l'espace-temps plat". Actes de l'Académie royale irlandaise, section A . 65 : 27–42. JSTOR   20488646 .
• Tolman, RC (1917). La théorie de la relativité du mouvement . Presses de l'Université de Californie . OCLC   13129939 .
• Zahar, E. (1989). Révolution d'Einstein: une étude heuristique . Société d'édition de la Cour ouverte. ISBN   0-8126-9067-2 .

Journaux historiques

Liens externes

• Mathpages: Transverse de masse en électrodynamique d'Einstein , Voyages Accelerated , Born Rigidité, accélération et Inertie , Est-ce que A charge Rayonnez Uniformément Accelerating?
• FAQ de physique : Accélération en relativité restreinte , La fusée relativiste