Espace algébrique - Algebraic space

En mathématiques , les espaces algébriques forment une généralisation des schémas de la géométrie algébrique , introduits par Michael Artin pour être utilisés dans la théorie de la déformation . Intuitivement, les schémas sont donnés en collant ensemble des schémas affines en utilisant la topologie de Zariski , tandis que les espaces algébriques sont donnés en collant ensemble des schémas affines en utilisant la topologie étale plus fine . Alternativement, on peut considérer les schémas comme étant localement isomorphes aux schémas affines dans la topologie de Zariski, tandis que les espaces algébriques sont localement isomorphes aux schémas affines dans la topologie étale.

La catégorie résultante des espaces algébriques étend la catégorie des schémas et permet de réaliser plusieurs constructions naturelles qui sont utilisées dans la construction des espaces de modules mais ne sont pas toujours possibles dans la plus petite catégorie de schémas, comme prendre le quotient d'une action libre par un groupe fini (cf. le théorème de Keel-Mori ).

Définition

Il existe deux manières courantes de définir les espaces algébriques : ils peuvent être définis soit comme des quotients de schèmes par des relations d'équivalence etale, soit comme des faisceaux sur un grand site etale qui sont localement isomorphes aux schèmes. Ces deux définitions sont essentiellement équivalentes.

Espaces algébriques comme quotients de schémas

Un espace algébrique X comprend un système de U et un sous - schéma fermé R ⊂ U × U satisfaisant aux deux conditions suivantes:

1. R est une relation d'équivalence en tant que sous-ensemble de U × U

2. Les projections p _i : R → U sur chaque facteur sont des applications étales .

Certains auteurs, comme Knutson, ajoutent une condition supplémentaire selon laquelle un espace algébrique doit être quasi-séparé , ce qui signifie que l'application diagonale est quasi-compacte.

On peut toujours supposer que R et U sont des schémas affines . Cela signifie que la théorie des espaces algébriques ne dépend pas de la théorie complète des schémas et peut en effet être utilisée comme un remplacement (plus général) de cette théorie.

Si R est la relation d'équivalence triviale sur chaque composante connexe de U (c'est-à-dire pour tout x , y appartenant à la même composante connexe de U , on a xRy si et seulement si x = y ), alors l'espace algébrique sera un schéma en le sens habituel. Puisqu'un espace algébrique général X ne satisfait pas à cette exigence, il permet à une seule composante connexe de U de couvrir X avec de nombreuses "feuilles". L'ensemble de points sous-jacent à l'espace algébrique X est alors donné par | U | / | R | comme un ensemble de classes d'équivalence .

Soit Y soit un espace algébrique définie par une relation d'équivalence S ⊂ V × V . L'ensemble Hom( Y , X ) de morphismes d'espaces algébriques est alors défini par la condition qu'il fasse la suite de descente

${\displaystyle \mathrm {Hom} (Y,X)\rightarrow \mathrm {Hom} (V,X){{{} \atop \longrightarrow } \atop {\longrightarrow \atop {}}}\mathrm {Hom} (S,X)}$

exacte (cette définition est motivée par un théorème de descendance de Grothendieck pour les applications étales surjectives de schémas affines). Avec ces définitions, les espaces algébriques forment une catégorie .

Soit U un schéma affine sur un corps k défini par un système de polynômes g ( x ), x = ( x ₁ , ..., x _n ), soit

${\displaystyle k\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}\ }$

désigner l' anneau de fonctions algébriques en x plus de k , et soit X = { R ⊂ U x U } être un espace algébrique.

Les tiges appropriées Õ _{X , x} sur X sont alors définies comme les anneaux locaux des fonctions algébriques définies par Õ _{U , u} , où u ∈ U est un point situé au-dessus de x et Õ _{U , u} est l'anneau local correspondant à u de l'anneau

k { x ₁ , ...,  x _n } / ( g )

des fonctions algébriques sur U .

Un point sur un espace algébrique est dit lisse si Õ _{X , x} ≅ k { z ₁ , ..., z _d } pour certains indéterminés z ₁ , ..., z _d . La dimension de X en x est alors simplement définie comme étant d .

Un morphisme f : Y → X des espaces algébriques est dit étale en y ∈ Y (où x = f ( y )) si l'application induite sur les tiges

Õ _{X , x} → Õ _{Y , y}

est un isomorphisme.

Le faisceau de structure O _X sur l'espace algébrique X est défini en associant l'anneau de fonctions O ( V ) sur V (défini par les applications étales de V à la droite affine A ¹ au sens qui vient d'être défini) à tout espace algébrique V qui est étale sur X .

Espaces algébriques comme gerbes

Un espace algébrique peut être défini comme un faisceau d'ensembles ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {X}}:({\text{Sch}}/S)_{\text{et}}^{op}\to {\text{Sets}}}$

tel que

1. Il existe un morphisme etale surjectif ${\displaystyle h_{X}\à {\mathfrak {X}}}$
2. le morphisme diagonal est représentable.${\displaystyle \Delta _{{\mathfrak {X}}/S} :{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}}$

La deuxième condition est équivalente à la propriété que, étant donné tous les schémas et morphismes , leur fibre-produit de faisceaux ${\style d'affichage Y,Z}$${\displaystyle h_{Y},h_{Z}\to {\mathfrak {X}}}$

${\displaystyle h_{Y}\times _{\mathfrak {X}}h_{Z}}$

est représentable par un schéma sur . Notez que certains auteurs, tels que Knutson, ajoutent une condition supplémentaire selon laquelle un espace algébrique doit être quasi-séparé , ce qui signifie que l'application diagonale est quasi-compacte. ${\style d'affichage S}$

Espaces et schémas algébriques

Les espaces algébriques sont similaires aux schémas, et une grande partie de la théorie des schémas s'étend aux espaces algébriques. Par exemple, la plupart des propriétés des morphismes de schémas s'appliquent également aux espaces algébriques, on peut définir une cohomologie de faisceaux quasi-cohérents, cela a les propriétés de finitude habituelles pour les morphismes propres, et ainsi de suite.

• Les espaces algébriques propres sur un corps de dimension un (courbes) sont des schémas.
• Les espaces algébriques propres non singuliers de dimension deux sur un corps (surfaces lisses) sont des schémas.
• Les objets de groupe quasi-séparés dans la catégorie des espaces algébriques sur un corps sont des schèmes, bien qu'il existe des objets de groupe non quasi-séparés qui ne sont pas des schèmes.
• Les objets du groupe commutatif dans la catégorie des espaces algébriques sur un schéma arbitraire qui sont propres, de présentation localement finie, plats et cohomologiquement plats en dimension 0 sont des schémas.
• Toutes les surfaces algébriques singulières ne sont pas un schéma.
• L'exemple de Hironaka peut être utilisé pour donner un espace algébrique propre à 3 dimensions non singulier qui n'est pas un schéma, donné par le quotient d'un schéma par un groupe d'ordre 2 agissant librement. Ceci illustre une différence entre les schémas et les espaces algébriques : le quotient d'un espace algébrique par un groupe discret agissant librement est un espace algébrique, mais le quotient d'un schéma par un groupe discret agissant librement n'a pas besoin d'être un schéma (même si le groupe est fini).
• Tout espace algébrique quasi-séparé contient un sous-schéma affine ouvert dense, et le complément d'un tel sous-schéma a toujours la codimension ≥ 1. Ainsi les espaces algébriques sont en un sens "proche" des schémas affines.
• Le quotient des nombres complexes par un réseau est un espace algébrique, mais n'est pas une courbe elliptique, même si l'espace analytique correspondant est une courbe elliptique (ou plus précisément est l'image d'une courbe elliptique sous le foncteur des espaces algébriques complexes à espaces analytiques). En fait ce quotient d'espace algébrique n'est pas un schéma, n'est pas complet, et n'est même pas quasi-séparé. Cela montre que bien que le quotient d'un espace algébrique par un groupe discret infini soit un espace algébrique, il peut avoir des propriétés étranges et pourrait ne pas être l'espace algébrique que l'on « attendait ». Des exemples similaires sont donnés par le quotient de la ligne affine complexe par les entiers, ou le quotient de la ligne affine complexe moins l'origine par les puissances d'un nombre : encore une fois, l'espace analytique correspondant est une variété, mais l'espace algébrique ne l'est pas.

Espaces algébriques et espaces analytiques

Les espaces algébriques sur les nombres complexes sont étroitement liés aux espaces analytiques et aux variétés de Moishezon .

En gros, la différence entre les espaces algébriques complexes et les espaces analytiques est que les espaces algébriques complexes sont formés en collant des pièces affines ensemble en utilisant la topologie étale, tandis que les espaces analytiques sont formés en collant avec la topologie classique. En particulier, il existe un foncteur des espaces algébriques complexes de type fini vers les espaces analytiques. Les variétés de Hopf donnent des exemples de surfaces analytiques qui ne proviennent pas d'un espace algébrique propre (bien qu'on puisse construire des espaces algébriques non propres et non séparés dont l'espace analytique est la surface de Hopf). Il est également possible que différents espaces algébriques correspondent au même espace analytique : par exemple, une courbe elliptique et le quotient de C par le treillis correspondant ne sont pas isomorphes comme les espaces algébriques mais les espaces analytiques correspondants sont isomorphes.

Artin a montré que les espaces algébriques propres sur les nombres complexes sont plus ou moins les mêmes que les espaces de Moishezon.

Généralisation

Une généralisation de grande envergure des espaces algébriques est donnée par les piles algébriques . Dans la catégorie des piles, nous pouvons former encore plus de quotients par actions de groupe que dans la catégorie des espaces algébriques (le quotient résultant est appelé une pile de quotients ).

Citations

Les références

• Artin, Michael (1969), "Le théorème de la fonction implicite en géométrie algébrique", dans Abhyankar, Shreeram Shankar (éd.), Géométrie algébrique: articles présentés au Bombay Colloquium, 1968 , de l'Institut de recherche fondamentale de Tata en mathématiques, 4 , Oxford University Press , p. 13-34, MR  0262237
• Artin, Michael (1971), Espaces algébriques , Yale Mathematical Monographs, 3 , Yale University Press, ISBN 978-0-300-01396-2, MR  0407012
• Knutson, Donald (1971), Espaces algébriques , Notes de cours en mathématiques, 203 , Berlin, New York : Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0059750 , ISBN 978-3-540-05496-2, MR  0302647

Liens externes

• Danilov, VI (2001) [1994], "Espace algébrique" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press
• Espace algébrique dans le projet stacks