Alternatives à la relativité générale - Alternatives to general relativity

Les alternatives à la relativité générale sont des théories physiques qui tentent de décrire le phénomène de la gravitation en compétition avec la théorie de la relativité générale d'Einstein . Il y a eu de nombreuses tentatives différentes pour construire une théorie idéale de la gravité .

Ces tentatives peuvent être divisées en quatre grandes catégories en fonction de leur portée. Dans cet article, des alternatives simples à la relativité générale sont discutées, qui n'impliquent pas la mécanique quantique ou l'unification des forces. D'autres théories qui tentent de construire une théorie en utilisant les principes de la mécanique quantique sont connues sous le nom de théories de la gravité quantifiée . Troisièmement, il existe des théories qui tentent d'expliquer la gravité et d'autres forces en même temps ; celles-ci sont connues sous le nom de théories classiques des champs unifiés . Enfin, les théories les plus ambitieuses tentent à la fois de mettre la gravité en termes de mécanique quantique et d'unifier les forces ; c'est ce qu'on appelle les théories de tout .

Aucune de ces alternatives à la relativité générale n'a été largement acceptée. La relativité générale a résisté à de nombreux tests , restant cohérente avec toutes les observations jusqu'à présent. En revanche, bon nombre des premières alternatives ont été définitivement réfutées. Cependant, certaines des théories alternatives de la gravité sont soutenues par une minorité de physiciens, et le sujet reste l'objet d'études intenses en physique théorique .

Histoire de la théorie de la gravitation par la relativité générale

Au moment de sa publication au 17ème siècle, la théorie de la gravité d'Isaac Newton était la théorie de la gravité la plus précise. Depuis, plusieurs alternatives ont été proposées. Les théories antérieures à la formulation de la relativité générale en 1915 sont discutées dans l' histoire de la théorie de la gravitation .

Relativité générale

Cette théorie est ce que nous appelons maintenant la "relativité générale" (incluse ici à titre de comparaison). En rejetant entièrement la métrique de Minkowski, Einstein obtient :

${\displaystyle \delta \int ds=0\,}$

${\displaystyle {ds}^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_ {\mu \nu }T\droit)\,}$

qui peut aussi s'écrire

${\displaystyle T^{\mu \nu }={c^{4} \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{ \mu \nu }R\droit)\,.}$

Cinq jours avant qu'Einstein ne présente la dernière équation ci-dessus, Hilbert avait soumis un article contenant une équation presque identique. Voir Conflit de priorité de la relativité générale . Hilbert a été le premier à énoncer correctement l' action d'Einstein-Hilbert pour la relativité générale, qui est :

${\displaystyle S={c^{4} \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\ d^{4}x+S_{m}\,}$

où est la constante gravitationnelle de Newton, est la courbure de Ricci de l'espace, et est l' action due à la masse. ${\style d'affichage G\,}$${\displaystyle R=R_{\mu }^{~\mu }\,}$${\displaystyle g=\det(g_{\mu \nu })\,}$${\style d'affichage S_{m}\,}$

La relativité générale est une théorie des tenseurs, les équations contiennent toutes des tenseurs. Les théories de Nordström, en revanche, sont des théories scalaires car le champ gravitationnel est un scalaire. D'autres alternatives proposées incluent les théories des tenseurs scalaires qui contiennent un champ scalaire en plus des tenseurs de la relativité générale, et d'autres variantes contenant des champs vectoriels ont également été développées récemment.

Motivations

Après la relativité générale, des tentatives ont été faites soit pour améliorer les théories développées avant la relativité générale, soit pour améliorer la relativité générale elle-même. De nombreuses stratégies différentes ont été tentées, par exemple l'ajout du spin à la relativité générale, combinant une métrique de type relativité générale avec un espace-temps statique par rapport à l'expansion de l'univers, obtenant une liberté supplémentaire en ajoutant un autre paramètre. Au moins une théorie a été motivée par le désir de développer une alternative à la relativité générale sans singularités.

Les tests expérimentaux se sont améliorés avec les théories. Bon nombre des différentes stratégies qui ont été développées peu de temps après la relativité générale ont été abandonnées, et il y a eu une poussée pour développer des formes plus générales des théories qui ont survécu, afin qu'une théorie soit prête lorsqu'un test a montré un désaccord avec la relativité générale.

Dans les années 1980, la précision croissante des tests expérimentaux avait tous confirmé la relativité générale ; aucun concurrent n'a été laissé à l'exception de ceux qui incluaient la relativité générale comme cas particulier. De plus, peu de temps après, les théoriciens sont passés à la théorie des cordes qui commençait à sembler prometteuse, mais a depuis perdu de sa popularité. Au milieu des années 1980, quelques expériences suggéraient que la gravité était modifiée par l'ajout d'une cinquième force (ou, dans un cas, d'une cinquième, sixième et septième force) agissant dans l'intervalle de quelques mètres. Des expériences ultérieures les ont éliminées.

Les motivations des théories alternatives les plus récentes sont presque toutes cosmologiques, associées ou remplaçant des constructions telles que « inflation », « matière noire » et « énergie noire ». L'enquête sur l' anomalie Pioneer a suscité un regain d'intérêt du public pour les alternatives à la relativité générale.

Notation dans cet article

${\style d'affichage c\;}$est la vitesse de la lumière , est la constante gravitationnelle . Les " variables géométriques " ne sont pas utilisées. ${\style d'affichage G\;}$

Les indices latins vont de 1 à 3, les indices grecs vont de 0 à 3. La convention de sommation d'Einstein est utilisée.

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\;}$est la métrique de Minkowski . est un tenseur, généralement le tenseur métrique . Ceux-ci ont une signature (−,+,+,+). ${\displaystyle g_{\mu \nu }\;}$

La différenciation partielle s'écrit ou . La différenciation covariante s'écrit ou . ${\displaystyle \partial _{\mu }\varphi \;}$${\displaystyle \varphi _{,\mu }\;}$${\displaystyle \nabla _{\mu }\varphi \;}$${\displaystyle \varphi _{;\mu }\;}$

Classification des théories

Les théories de la gravité peuvent être classées, grosso modo, en plusieurs catégories. La plupart des théories décrites ici ont :

• une « action » (voir le principe de moindre action , un principe variationnel basé sur le concept d'action)
• une densité lagrangienne
• une métrique

Si une théorie a une densité lagrangienne pour la gravité, disons , alors la partie gravitationnelle de l'action est l'intégrale de celle-ci : ${\style d'affichage L\,}$${\style d'affichage S\,}$

${\displaystyle S=\int L{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$.

Dans cette équation, il est habituel, mais pas indispensable, d'avoir à l'infini spatial lors de l'utilisation des coordonnées cartésiennes. Par exemple, l' action d'Einstein-Hilbert utilise ${\style d'affichage g=-1\,}$

${\style d'affichage L\,\propto \,R}$

où R est la courbure scalaire , une mesure de la courbure de l'espace.

Presque toutes les théories décrites dans cet article ont une action . C'est le moyen connu le plus efficace pour garantir que les lois de conservation nécessaires de l'énergie, du moment et du moment cinétique soient incorporées automatiquement ; bien qu'il soit facile de construire une action où ces lois de conservation sont violées. Les méthodes canoniques offrent un autre moyen de construire des systèmes qui ont les lois de conservation requises, mais cette approche est plus lourde à mettre en œuvre. La version originale de 1983 de MOND n'avait pas d'action.

Quelques théories ont une action mais pas une densité lagrangienne. Un bon exemple est Whitehead, l'action y est qualifiée de non locale.

Une théorie de la gravité est une "théorie métrique" si et seulement si on peut lui donner une représentation mathématique dans laquelle deux conditions sont vérifiées :
Condition 1 : Il existe un tenseur métrique symétrique de signature (−, +, +, +), qui gouverne mesures de longueur et de temps propres de la manière habituelle de la relativité restreinte et générale : ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$

${\displaystyle {d\tau }^{2}=-g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\,}$

où il y a une sommation sur les indices et . Condition 2 : La matière stressée et les champs soumis à l'action de la gravité répondent selon l'équation : ${\style d'affichage \mu }$${\style d'affichage \nu }$

${\displaystyle 0=\nabla _{\nu }T^{\mu \nu }={T^{\mu \nu }}_{,\nu }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\ mu }T^{\sigma \nu }+\Gamma _{\sigma \nu }^{\nu }T^{\mu \sigma }\,}$

où est le tenseur contrainte-énergie pour tous les champs de matière et non gravitationnels, et où est la dérivée covariante par rapport à la métrique et est le symbole de Christoffel . Le tenseur contrainte-énergie doit également satisfaire une condition d'énergie . ${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$${\displaystyle \nabla _{\nu }}$${\displaystyle \Gamma _{\sigma \nu }^{\alpha }\,}$

Les théories métriques incluent (du plus simple au plus complexe) :

• Théories des champs scalaires (inclut les théories conformellement plates et les théories stratifiées avec des tranches spatiales conformellement plates)
  • Bergman
  • Coleman
  • Einstein (1912)
  • Théorie d'Einstein-Fokker
  • Lee - Lightman - Ni
  • Petit bois
  • Ni
  • La théorie de la gravitation de Nordström (première théorie métrique de la gravité à être développée)
  • Page–Tupper
  • Papapétro
  • Rosen (1971)
  • Whitrow–Morduch
  • Théorie Yilmaz de la gravitation (tentative d'éliminer les horizons des événements de la théorie.)
• Théories quasi- linéaires (comprend la jauge fixe linéaire)
  • Bollini–Giambiagi–Tiomno
  • Déser-Laurent
  • La théorie de la gravité de Whitehead (destinée à n'utiliser que des potentiels retardés )
• Théories tensorielles
  • La relativité générale d'Einstein
  • Gravité de quatrième ordre (permet au Lagrangien de dépendre des contractions de second ordre du tenseur de courbure de Riemann)
  • gravitation f(R) (permet au Lagrangien de dépendre de puissances plus élevées du scalaire de Ricci)
  • Gravité de Gauss-Bonnet
  • Théorie de la gravité de Lovelock (permet au Lagrangien de dépendre des contractions d'ordre supérieur du tenseur de courbure de Riemann)
  • Gravité dérivée infinie
• Théories du tenseur scalaire
  • Bekenstein
  • Bergmann-Wagoner
  • Théorie de Brans-Dicke (l'alternative la plus connue à la relativité générale, destinée à mieux appliquer le principe de Mach)
  • Jordan
  • Nordtvedt
  • Thiry
  • Caméléon
  • Pressuron
• Théories des vecteurs-tenseurs
  • Hellings– Nordtvedt
  • Will – Nordtvedt
• Théories bimétriques
  • Lightman – Lee
  • Rastall
  • Rosen (1975)
• Autres théories métriques

(voir la section Théories modernes ci-dessous)

Les théories non métriques incluent

• Belinfante–Swihart
• Théorie d'Einstein-Cartan (destiné à gérer l'échange de moment angulaire spin-orbital)
• Kustaanheimo (1967)
• Téléparallélisme
• Théorie de jauge gravité

Un mot ici sur le principe de Mach est approprié parce que quelques-unes de ces théories reposent sur le principe de Mach (par exemple Whitehead), et beaucoup le mentionnent en passant (par exemple Einstein-Grossmann, Brans-Dicke). Le principe de Mach peut être considéré comme un intermédiaire entre Newton et Einstein. Ça se passe comme ça :

• Newton : Espace et temps absolus.
• Mach : Le référentiel vient de la répartition de la matière dans l'univers.
• Einstein : Il n'y a pas de cadre de référence.

Jusqu'à présent, toutes les preuves expérimentales indiquent que le principe de Mach est faux, mais cela n'a pas été entièrement exclu.

Théories de 1917 aux années 1980

Cette section comprend des alternatives à la relativité générale publiées après la relativité générale mais avant les observations de la rotation des galaxies qui ont conduit à l'hypothèse de la « matière noire ». Ceux considérés ici incluent (voir Will Lang):

Théories de 1917 aux années 1980.

Année(s) de publication	Auteurs)	Nom de la théorie	Type de théorie
1922	Alfred North Whitehead	La théorie de la gravitation de Whitehead	Quasilinéaire
1922, 1923	Élie Cartan	Théorie d'Einstein-Cartan	Non métrique
1939	Markus Fierz , Wolfgang Pauli
1943	George David Birkhoff
1948	Edward Arthur Milne	Relativité cinématique
1948	Yves Thiry
1954	Achille Papapetrou		Champ scalaire
1953	Dudley E. Littlewood		Champ scalaire
1955	Pascual Jordanie
1956	Otto Bergmann		Champ scalaire
1957	Frederik Belinfante , James C. Swihart
1958, 1973	Huseyin Yilmaz	Théorie Yilmaz de la gravitation
1961	Carl H. Brans , Robert H. Dicke	Théorie de Brans-Dicke	Scalaire-tenseur
1960, 1965	Gerald James Whitrow , GE Morduch		Champ scalaire
1966	Paul Kustaanheimo  [ de ]
1967	Paul Kustaanheimo  [ de ] , VS Nuotio
1968	Stanley Deser , BE Laurent		Quasilinéaire
1968	C. Page, BOJ Tupper		Champ scalaire
1968	Peter Bergmann		Scalaire-tenseur
1970	CG Bollini, JJ Giambiagi, J. Tiomno		Quasilinéaire
1970	Kenneth Nordtvedt
1970	Robert V. Waggoner		Scalaire-tenseur
1971	Nathan Rosen		Champ scalaire
1975	Nathan Rosen		Bimétrique
1972, 1973	Ni Wei-tou		Champ scalaire
1972	Clifford Martin Will , Kenneth Nordtvedt		Vecteur-tenseur
1973	Ronald Hellings, Kenneth Nordtvedt		Vecteur-tenseur
1973	Alan Lightman , David L. Lee		Champ scalaire
1974	David L. Lee , Alan Lightman , Ni Wei-tou
1977	Jacob Bekenstein		Scalaire-tenseur
1978	BM Barker		Scalaire-tenseur
1979	P. Rastall		Bimétrique

Ces théories sont présentées ici sans constante cosmologique ni potentiel scalaire ou vectoriel ajouté, sauf indication contraire, pour la simple raison que la nécessité de l'une ou des deux n'a pas été reconnue avant les observations de supernova par le Supernova Cosmology Project et High-Z Supernova Search. Équipe . Comment ajouter une constante cosmologique ou une quintessence à une théorie est discuté sous Théories modernes (voir aussi l' action d'Einstein-Hilbert ).

Théories des champs scalaires

Les théories des champs scalaires de Nordström ont déjà été discutées. Ceux de Littlewood, Bergman, Yilmaz, Whitrow et Morduch et Page et Tupper suivent la formule générale donnée par Page et Tupper.

Selon Page et Tupper, qui discutent de tout à l'exception de Nordström, la théorie générale des champs scalaires vient du principe de moindre action :

${\displaystyle \delta \int f\left({\tfrac {\varphi }{c^{2}}}\right)\,ds=0}$

où se trouve le champ scalaire,

${\displaystyle \varphi ={\frac {GM}{r}}}$

et c peut dépendre ou non de . ${\displaystyle \varphi }$

À Nordström,

${\displaystyle f(\varphi /c^{2})=\exp(-\varphi /c^{2}),\qquad c=c_{\infty }}$

Dans Littlewood et Bergmann,

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {\varphi }{c^{2}}}-{\ frac {(c/\varphi ^{2})^{2}}{2}}\right)\qquad c=c_{\infty }\,}$

A Whitrow et Morduch,

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=1,\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \ ,}$

A Whitrow et Morduch,

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)=\exp \left(-{\frac {\varphi }{c^{2}}}\right) ,\qquad c^{2}=c_{\infty }^{2}-2\varphi \,}$

Dans Page et Tupper,

${\displaystyle f\left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)={\frac {\varphi }{c^{2}}}+\alpha \left({\frac {\varphi }{c^{2}}}\right)^{2},\qquad {\frac {c_{\infty }^{2}}{c^{2}}}=1+4\left ({\frac {\varphi }{c_{\infty }^{2}}}\right)+(15+2\alpha )\left({\frac {\varphi }{c_{\infty }^{2 }}}\droit)^{2}}$

Page et Tupper correspondent à la théorie de Yilmaz au second ordre lorsque . ${\style d'affichage \alpha =-7/2}$

La déviation gravitationnelle de la lumière doit être nulle lorsque c est constant. Étant donné que la variable c et la déflexion nulle de la lumière sont toutes deux en conflit avec l'expérience, la perspective d'une théorie scalaire réussie de la gravité semble très improbable. De plus, si les paramètres d'une théorie scalaire sont ajustés de manière à ce que la déviation de la lumière soit correcte, le décalage vers le rouge gravitationnel est susceptible d'être erroné.

Ni a résumé quelques théories et en a également créé deux autres. Dans le premier, un espace-temps de relativité restreinte et un temps universel préexistants agissent avec la matière et les champs non gravitationnels pour générer un champ scalaire. Ce champ scalaire agit avec tout le reste pour générer la métrique.

L'action est :

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}}$

${\displaystyle L_{\varphi }=\varphi R-2g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi }$

Misner et al. donne ceci sans le terme. est l'action de la matière. ${\displaystyle \varphi R}$${\style d'affichage S_{m}}$

${\displaystyle \Box \varphi =4\pi T^{\mu \nu }\left[\eta _{\mu \nu }e^{-2\varphi }+\left(e^{2\varphi } +e^{-2\varphi }\right)\,\partial _{\mu }t\,\partial _{\nu }t\right]}$

t est la coordonnée de temps universel. Cette théorie est cohérente et complète. Mais le mouvement du système solaire à travers l'univers conduit à un sérieux désaccord avec l'expérience.

Dans la deuxième théorie de Ni il y a deux fonctions arbitraires et qui sont liées à la métrique par : ${\style d'affichage f(\varphi )}$${\displaystyle k(\varphi )}$

${\displaystyle ds^{2}=e^{-2f(\varphi )}dt^{2}-e^{2f(\varphi )}\left[dx^{2}+dy^{2}+dz ^{2}\droit]}$

${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\varphi =4\pi \rho ^{*}k(\varphi )}$

Ni cite Rosen comme ayant deux champs scalaires et qui sont liés à la métrique par : ${\displaystyle \varphi }$${\style d'affichage \psi }$

${\displaystyle ds^{2}=\varphi ^{2}\,dt^{2}-\psi ^{2}\left[dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\ droit]}$

A Papapetrou la partie gravitationnelle du Lagrangien est :

${\displaystyle L_{\varphi }=e^{\varphi }\left({\tfrac {1}{2}}e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\alpha }\varphi +{\tfrac {3}{2}}e^{\varphi }\,\partial _{0}\varphi \,\partial _{0}\varphi \right)}$

A Papapetrou il y a un deuxième champ scalaire . La partie gravitationnelle du Lagrangien est maintenant : ${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle L_{\varphi }=e^{{\frac {1}{2}}(3\varphi +\chi )}\left(-{\tfrac {1}{2}}e^{-\ varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\alpha }\varphi -e^{-\varphi }\,\partial _{\alpha }\varphi \,\partial _{\ chi }\varphi +{\tfrac {3}{2}}e^{-\chi }\,\partial _{0}\varphi \,\partial _{0}\varphi \right)\,}$

Théories bimétriques

Les théories bimétriques contiennent à la fois la métrique du tenseur normal et la métrique de Minkowski (ou une métrique de courbure constante), et peuvent contenir d'autres champs scalaires ou vectoriels.

Rosen (1975) théorie bimétrique L'action est :

${\displaystyle S={1 \over 64\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-\eta }}\eta ^{\mu \nu }g^{\alpha \beta } g^{\gamma \delta }(g_{\alpha \gamma |\mu }g_{\alpha \delta |\nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{\alpha \beta |\ mu }g_{\gamma \delta |\nu })+S_{m}}$

${\displaystyle \Box _{\eta }g_{\mu \nu }-g^{\alpha \beta }\eta ^{\gamma \delta }g_{\mu \alpha |\gamma }g_{\nu \ beta |\delta }=-16\pi G{\sqrt {g/\eta }}(T_{\mu \nu }-\textstyle {\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T )\,}$

Lightman-Lee a développé une théorie métrique basée sur la théorie non métrique de Belinfante et Swihart. Le résultat est connu sous le nom de théorie BSLL. Étant donné un champ de tenseur , , et deux constantes et l'action est : ${\displaystyle B_{\mu \nu }\,}$${\displaystyle B=B_{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }\,}$${\style d'affichage a\,}$${\style d'affichage f\,}$

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}(aB^{\mu \nu |\alpha }B_{\mu \nu | \alpha }+fB_{,\alpha }B^{,\alpha })+S_{m}}$

et le tenseur stress-énergie vient de :

${\displaystyle a\Box _{\eta }B^{\mu \nu }+f\eta ^{\mu \nu }\Box _{\eta }B=-4\pi G{\sqrt {g/ \eta }}\,T^{\alpha \beta }\left({\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial B_{\mu }\nu }}\right)}$

Dans Rastall, la métrique est une fonction algébrique de la métrique de Minkowski et un champ vectoriel. L'action est :

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}F(N)K^{\mu ;\nu }K_{\mu ; \nu }+S_{m}}$

où

${\displaystyle F(N)=-{\frac {N}{2+N}}}$ et ${\displaystyle N=g^{\mu \nu }K_{\mu }K_{\nu }\;}$

(voir Will pour l'équation de champ pour et ). ${\displaystyle T^{\mu \nu }\;}$${\displaystyle K_{\mu }\;}$

Théories quasi-linéaires

Dans Whitehead , la métrique physique est construite (par Synge ) algébriquement à partir de la métrique de Minkowski et des variables de matière, de sorte qu'elle n'a même pas de champ scalaire. La construction est : ${\style d'affichage g\;}$${\displaystyle \eta \;}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }(x^{\alpha })=\eta _{\mu \nu }-2\int _{\Sigma ^{-}}{y_{\mu }^{- }y_{\nu }^{-} \over (w^{-})^{3}}\left[{\sqrt {-g}}\rho u^{\alpha }\,d\Sigma _{ \alpha }\right]^{-}}$

où l'exposant (−) indique les quantités évaluées le long du cône de lumière passé du point de champ et ${\displaystyle \eta \;}$${\displaystyle x^{\alpha }\;}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(y^{\mu })^{-}&=x^{\mu }-(x^{\mu })^{-},\qquad (y^{\ mu })^{-}(y_{\mu })^{-}=0,\\[5pt]w^{-}&=(y^{\mu })^{-}(u_{\mu })^{-},\qquad (u_{\mu })={\frac {dx^{\mu }}{d\sigma }},\\[5pt]d\sigma ^{2}&=\ eta _{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }\end{aligned}}}$

Néanmoins, la construction métrique (issue d'une théorie non métrique) utilisant l'ansatz "contraction de longueur" est critiquée.

Deser et Laurent et Bollini-Giambiagi-Tiomno sont des théories linéaires à jauge fixe. En prenant une approche de la théorie quantique des champs, combinez un espace-temps de Minkowski avec l'action invariante de jauge d'un champ de tenseur de spin deux (c'est-à-dire le graviton) pour définir ${\displaystyle h_{\mu \nu }\;}$

${\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }\;}$

L'action est :

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-\eta }}\left[2h_{|\nu }^{\mu \nu }h_{\ mu \lambda }^{|\lambda }-2h_{|\nu }^{\mu \nu }h_{\lambda |\mu }^{\lambda }+h_{\nu |\mu }^{\nu }h_{\lambda }^{\lambda |\mu }-h^{\mu \nu |\lambda }h_{\mu \nu |\lambda }\right]+S_{m}\;}$

L' identité de Bianchi associée à cette invariance de jauge partielle est fausse. Les théories linéaires à jauge fixe cherchent à remédier à cela en brisant l'invariance de jauge de l'action gravitationnelle par l'introduction de champs gravitationnels auxiliaires qui se couplent à . ${\displaystyle h_{\mu \nu }\;}$

Une constante cosmologique peut être introduite dans une théorie quasi linéaire par le simple expédient de changer le fond de Minkowski en un espace - temps de Sitter ou anti-de Sitter , comme suggéré par G. Temple en 1923. Les suggestions de Temple sur la façon de procéder ont été critiquées par CB Rayner en 1955.

Théories tensorielles

La relativité générale d'Einstein est la théorie de la gravité plausible la plus simple qui peut être basée sur un seul champ de tenseur symétrique (le tenseur métrique ). D' autres comprennent: Starobinsky (R + R ^ 2) la gravité, la gravité de Gauss-Bonnet , la gravité de f (R) , et la théorie Lovelock de gravité .

Starobinski

La gravité de Starobinsky, proposée par Alexei Starobinsky a le lagrangien

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+{\frac {R^{2}}{6M^{2}}}\right]}$

et a été utilisé pour expliquer l'inflation, sous la forme de l' inflation Starobinsky . Voici une constante. ${\style d'affichage M}$

Gauss-Bonnet

La gravité de Gauss-Bonnet a l'action

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+R^{2}-4R^{\mu \nu }R_{\mu \nu }+R^{\ mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].}$

où les coefficients des termes supplémentaires sont choisis de sorte que l'action se réduise à la relativité générale en 4 dimensions d'espace-temps et les termes supplémentaires ne sont non triviaux que lorsque plus de dimensions sont introduites.

Gravité dérivée 4ème de Stelle

La gravité dérivée de Stelle, qui est une généralisation de la gravité de Gauss-Bonnet, a pour action

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[R+f_{1}R^{2}+f_{2}R^{\mu \nu }R_{\mu \nu }+f_{3}R^{\mu \nu \rho \sigma }R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].}$

f(R)

f(R) la gravité a pour action

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}f(R)}$

et est une famille de théories, chacune définie par une fonction différente du scalaire de Ricci. La gravitation de Starobinsky est en fait une théorie. ${\style d'affichage f(R)}$

Gravité dérivée infinie

La gravité dérivée infinie est une théorie covariante de la gravité, quadratique en courbure, sans torsion et invariante en parité,

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\left[M_{p}^{2}R+Rf_{1}\left({\frac {\Box }{M_{s }^{2}}}\right)R+R^{\mu \nu }f_{2}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R_{ \mu \nu }+R^{\mu \nu \rho \sigma }f_{3}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)R_{\mu \nu \rho \sigma }\right].}$

et

${\displaystyle 2f_{1}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)+f_{2}\left({\frac {\Box }{M_{s }^{2}}}\right)+2f_{3}\left({\frac {\Box }{M_{s}^{2}}}\right)=0,}$

afin de s'assurer que seules les composantes de spin -2 et de spin -0 sans masse se propagent dans le propagateur graviton autour du fond Minkowski. L'action devient non locale au-delà de l'échelle , et revient à la relativité générale dans l'infrarouge, pour les énergies inférieures à l'échelle non locale . Dans le régime ultraviolet, à des distances et des échelles de temps inférieures à l'échelle non locale , l'interaction gravitationnelle s'affaiblit suffisamment pour résoudre la singularité ponctuelle, ce qui signifie que la singularité de Schwarzschild peut être potentiellement résolue dans des théories dérivées infinies de la gravité . ${\displaystyle M_{s}}$${\displaystyle M_{s}}$${\displaystyle M_{s}^{-1}}$

Lovelock

Lovelock gravité a l'action

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {-g}}\ (\alpha _{0}+\alpha _{1}R+\alpha _{2}\left(R^{2}+ R_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \mu \nu }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }\right)+\alpha _{3}{ \mathcal {O}}(R^{3})),}$

et peut être considéré comme une généralisation de la relativité générale.

Théories du tenseur scalaire

Ceux-ci contiennent tous au moins un paramètre libre, contrairement à la relativité générale qui n'a pas de paramètres libres.

Bien qu'elle ne soit normalement pas considérée comme une théorie de la gravité scalaire-tenseur, la métrique 5 sur 5 de Kaluza-Klein se réduit à une métrique 4 sur 4 et à un seul scalaire. Donc, si le 5ème élément est traité comme un champ gravitationnel scalaire au lieu d'un champ électromagnétique, alors Kaluza-Klein peut être considéré comme l'ancêtre des théories scalaires-tenseurs de la gravité. Cela a été reconnu par Thiry.

Les théories scalaire-tenseur incluent Thiry, Jordan, Brans et Dicke, Bergman, Nordtveldt (1970), Waggoner, Bekenstein et Barker.

L'action est basée sur l'intégrale du Lagrangien . ${\style d'affichage S\;}$${\displaystyle L_{\varphi }\;}$

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}L_{\varphi }+S_{m}\;}$

${\displaystyle L_{\varphi }=\varphi R-{\omega (\varphi ) \over \varphi }g^{\mu \nu }\,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{ \nu }\varphi +2\varphi \lambda (\varphi )\;}$

${\displaystyle S_{m}=\int d^{4}x\,{\sqrt {g}}\,G_{N}L_{m}\;}$

${\displaystyle T^{\mu \nu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {2 \over {\sqrt {g}}}{\delta S_{m} \over \delta g_{\mu \nu }}}$

où est une fonction sans dimension différente pour chaque théorie du tenseur scalaire différente. La fonction joue le même rôle que la constante cosmologique en relativité générale. est une constante de normalisation sans dimension qui fixe la valeur actuelle de . Un potentiel arbitraire peut être ajouté pour le scalaire. ${\displaystyle \omega (\varphi )\;}$${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$${\style d'affichage G_{N}\;}$${\style d'affichage G\;}$

La version complète est conservée dans Bergman et Waggoner. Les cas particuliers sont :

Nordtvedt, ${\style d'affichage \lambda =0\;}$

Comme on pensait être nul à l'époque de toute façon, cela n'aurait pas été considéré comme une différence significative. Le rôle de la constante cosmologique dans les travaux plus modernes est discuté sous Constante cosmologique . ${\style d'affichage \lambda }$

Brans-Dicke, est constant ${\displaystyle \omega \;}$

Théorie de la masse variable de Bekenstein En partant des paramètres et , trouvé à partir d'une solution cosmologique, détermine la fonction puis ${\style d'affichage r\;}$${\style d'affichage q\;}$${\displaystyle \varphi =[1-qf(\varphi )]f(\varphi )^{-r}\;}$${\style d'affichage f\;}$

${\displaystyle \omega (\varphi )=-\textstyle {\frac {3}{2}}-\textstyle {\frac {1}{4}}f(\varphi )[(1-6q)qf(\ varphi )-1][r+(1-r)qf(\varphi )]^{-2}\;}$

Théorie de la constante de Barker G

${\displaystyle \omega (\varphi )={\frac {4-3\varphi }{2\varphi -2}}}$

L'ajustement de permet aux théories du tenseur scalaire de tendre vers la relativité générale dans la limite de à l'époque actuelle. Cependant, il pourrait y avoir des différences significatives par rapport à la relativité générale dans l'univers primitif. ${\displaystyle \omega (\varphi )\;}$${\displaystyle \omega \rightarrow \infty \;}$

Tant que la relativité générale est confirmée par l'expérience, les théories générales du scalaire-tenseur (y compris Brans-Dicke) ne peuvent jamais être totalement exclues, mais comme les expériences continuent de confirmer la relativité générale avec plus de précision et que les paramètres doivent être affinés afin que le les prédictions correspondent plus étroitement à celles de la relativité générale.

Les exemples ci-dessus sont des cas particuliers de la théorie de Horndeski , le lagrangien le plus général construit à partir du tenseur métrique et d'un champ scalaire conduisant à des équations de mouvement du second ordre dans un espace à 4 dimensions. Des théories viables au-delà de Horndeski (avec des équations de mouvement d'ordre supérieur) ont été démontrées.

Théories des vecteurs-tenseurs

Avant de commencer, Will (2001) a déclaré : « De nombreuses théories métriques alternatives développées au cours des années 1970 et 1980 pourraient être considérées comme des théories de l'"homme de paille", inventées pour prouver que de telles théories existent ou pour illustrer des propriétés particulières. être considérées comme des théories bien motivées du point de vue, disons, de la théorie des champs ou de la physique des particules. Des exemples sont les théories vecteur-tenseur étudiées par Will, Nordtvedt et Hellings.

Hellings et Nordtvedt et Will et Nordtvedt sont tous deux des théories du tenseur vectoriel. En plus du tenseur métrique, il existe un champ vectoriel temporel. L'action gravitationnelle est : ${\displaystyle K_{\mu }.}$

${\displaystyle S={\frac {1}{16\pi G}}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\left[R+\omega K_{\mu }K^{\mu }R+\eta K^{\mu }K^{\nu }R_{\mu \nu }-\epsilon F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+\tau K_{\mu ;\ nu }K^{\mu ;\nu }\right]+S_{m}}$

où sont les constantes et ${\displaystyle \omega ,\eta ,\epsilon ,\tau }$

${\displaystyle F_{\mu \nu }=K_{\nu ;\mu }-K_{\mu ;\nu }.}$(Voir Will pour les équations de champ pour et )${\displaystyle T^{\mu \nu }}$${\displaystyle K_{\mu }.}$

Will et Nordtvedt est un cas particulier où

${\displaystyle \omega =\eta =\epsilon =0;\quad \tau =1}$

Hellings et Nordtvedt est un cas particulier où

${\displaystyle \tau =0;\quad \epsilon =1;\quad \eta =-2\omega }$

Ces théories vecteur-tenseur sont semi-conservatrices, ce qui signifie qu'elles satisfont aux lois de conservation du moment et du moment angulaire mais peuvent avoir des effets de cadre préférentiels. Lorsqu'elles se réduisent ainsi à la relativité générale, tant que la relativité générale est confirmée par l'expérience, les théories générales vecteur-tenseur ne peuvent jamais être exclues. ${\displaystyle \omega =\eta =\epsilon =\tau =0}$

Autres théories métriques

D'autres théories métriques ont été proposées ; celle de Bekenstein est discutée sous les théories modernes.

Théories non métriques

La théorie de Cartan est particulièrement intéressante à la fois parce que c'est une théorie non métrique et parce qu'elle est si ancienne. Le statut de la théorie de Cartan est incertain. Will prétend que toutes les théories non métriques sont éliminées par le principe d'équivalence d'Einstein. Will (2001) tempère cela en expliquant les critères expérimentaux pour tester les théories non métriques par rapport au principe d'équivalence d'Einstein. Misner et al. affirme que la théorie de Cartan est la seule théorie non métrique à avoir survécu à tous les tests expérimentaux jusqu'à cette date et Turyshev énumère la théorie de Cartan parmi les rares qui ont survécu à tous les tests expérimentaux jusqu'à cette date. Ce qui suit est une esquisse rapide de la théorie de Cartan telle que reformulée par Trautman.

Cartan a suggéré une simple généralisation de la théorie de la gravitation d'Einstein. Il a proposé un modèle d'espace-temps avec un tenseur métrique et une "connexion" linéaire compatible avec la métrique mais pas nécessairement symétrique. Le tenseur de torsion de la connexion est lié à la densité de moment cinétique intrinsèque. Indépendamment de Cartan, des idées similaires ont été avancées par Sciama, par Kibble dans les années 1958 à 1966, aboutissant à une revue de 1976 par Hehl et al.

La description originale est en termes de formes différentielles, mais pour le présent article, elle est remplacée par le langage plus familier des tenseurs (risquant de perdre en précision). Comme en relativité générale, le lagrangien est composé d'une partie sans masse et d'une partie massive. Le lagrangien de la partie sans masse est :

${\displaystyle {\begin{aligned}L&={1 \over 32\pi G}\Omega _{\nu }^{\mu }g^{\nu \xi }x^{\eta }x^{\ zeta }\varepsilon _{\xi \mu \eta \zeta }\\[5pt]\Omega _{\nu }^{\mu }&=d\omega _{\nu }^{\mu }+\omega _{\xi }^{\eta }\\[5pt]\nabla x^{\mu }&=-\omega _{\nu }^{\mu }x^{\nu }\end{aligned}} }$

C'est la connexion linéaire. est le pseudo-tenseur complètement antisymétrique ( symbole de Levi-Civita ) avec , et est le tenseur métrique comme d'habitude. En supposant que la connexion linéaire est métrique, il est possible de supprimer la liberté indésirable inhérente à la théorie non métrique. Le tenseur contrainte-énergie est calculé à partir de : ${\displaystyle \omega _{\nu }^{\mu }\;}$${\displaystyle \varepsilon _{\xi \mu \eta \zeta }\;}$${\displaystyle \varepsilon _{0123}={\sqrt {-g}}\;}$${\displaystyle g^{\nu \xi }\,}$

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 16\pi G}(g^{\mu \nu }\eta _{\eta }^{\xi }-g^{\xi \mu }\eta _{\eta }^{\nu }-g^{\xi \nu }\eta _{\eta }^{\mu })\Omega _{\xi }^{\eta }\;}$

La courbure de l'espace n'est pas riemannienne, mais sur un espace-temps riemannien le lagrangien se réduirait au lagrangien de la relativité générale.

Certaines équations de la théorie non métrique de Belinfante et Swihart ont déjà été discutées dans la section sur les théories bimétriques .

Une théorie distinctement non métrique est donnée par la théorie de jauge gravité , qui remplace la métrique dans ses équations de champ par une paire de champs de jauge dans un espace-temps plat. D'une part, la théorie est assez conservatrice car elle est substantiellement équivalente à la théorie d'Einstein-Cartan (ou la relativité générale dans la limite du spin nul), différant principalement par la nature de ses solutions globales. En revanche, elle est radicale car elle remplace la géométrie différentielle par l'algèbre géométrique .

Théories modernes des années 1980 à nos jours

Cette section comprend des alternatives à la relativité générale publiées après les observations de la rotation des galaxies qui ont conduit à l'hypothèse de la « matière noire ». Il n'y a pas de liste fiable connue de comparaison de ces théories. Ceux considérés ici incluent : Bekenstein, Moffat, Moffat, Moffat. Ces théories sont présentées avec une constante cosmologique ou un potentiel scalaire ou vectoriel ajouté.

Motivations

Les motivations pour les alternatives les plus récentes à la relativité générale sont presque toutes cosmologiques, associées ou remplaçant des constructions telles que "l'inflation", "la matière noire" et "l'énergie noire". L'idée de base est que la gravité est en accord avec la relativité générale à l'époque actuelle, mais peut avoir été très différente dans l'univers primitif.

Dans les années 1980, le monde de la physique s'est lentement rendu compte qu'il y avait plusieurs problèmes inhérents au scénario du big-bang alors en cours, y compris le problème de l' horizon et l'observation qu'au début de la formation des quarks, il n'y en avait pas assez. l'espace sur l'univers pour contenir ne serait-ce qu'un seul quark. La théorie de l'inflation a été développée pour surmonter ces difficultés. Une autre alternative consistait à construire une alternative à la relativité générale dans laquelle la vitesse de la lumière était plus élevée dans l'univers primitif. La découverte de courbes de rotation inattendues pour les galaxies a pris tout le monde par surprise. Pourrait-il y avoir plus de masse dans l'univers que nous ne le pensons, ou la théorie de la gravité elle-même est-elle fausse ? Le consensus est maintenant que la masse manquante est "de la matière noire froide", mais ce consensus n'a été atteint qu'après avoir essayé des alternatives à la relativité générale, et certains physiciens croient toujours que des modèles alternatifs de gravité peuvent détenir la réponse.

Dans les années 1990, des études de supernova ont découvert l'expansion accélérée de l'univers, désormais généralement attribuée à l'énergie noire . Cela a conduit à la restauration rapide de la constante cosmologique d'Einstein, et la quintessence est arrivée comme alternative à la constante cosmologique. Au moins une nouvelle alternative à la relativité générale a tenté d'expliquer les résultats des études de supernova d'une manière complètement différente. La mesure de la vitesse de la gravité avec l'événement d'onde gravitationnelle GW170817 a exclu de nombreuses théories alternatives de la gravité comme explications de l'expansion accélérée. Une autre observation qui a suscité un intérêt récent pour les alternatives à la Relativité Générale est l' anomalie Pioneer . Il a été rapidement découvert que des alternatives à la relativité générale pouvaient expliquer cette anomalie. On pense maintenant que cela s'explique par un rayonnement thermique non uniforme.

Constante cosmologique et quintessence

La constante cosmologique est une idée très ancienne, remontant à Einstein en 1917. Le succès du modèle de Friedmann de l'univers dans lequel a conduit à l'acceptation générale qu'elle est nulle, mais l'utilisation d'une valeur non nulle est revenue avec un vengeance lorsque les données des supernovae ont indiqué que l'expansion de l'univers s'accélère ${\style d'affichage \Lambda \;}$${\style d'affichage \Lambda =0\;}$

Voyons d'abord comment cela influence les équations de la gravité newtonienne et de la relativité générale. En gravité newtonienne, l'ajout de la constante cosmologique modifie l'équation de Newton-Poisson de :

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi =4\pi \rho \ G;}$

à

${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi +{\frac {1}{2}}\Lambda c^{2}=4\pi \rho \ G;}$

En relativité générale, cela change l'action d'Einstein-Hilbert de

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\,+S_{m}\;}$

à

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int (R-2\Lambda ){\sqrt {-g}}\,d^{4}x\,+S_{m}\;}$

ce qui change l'équation du champ

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R\droit)\;}$

à

${\displaystyle T^{\mu \nu }={1 \over 8\pi G}\left(R^{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }R+g^{\mu \nu }\Lambda \right)\;}$

Dans les théories alternatives de la gravité, une constante cosmologique peut être ajoutée à l'action exactement de la même manière.

La constante cosmologique n'est pas le seul moyen d'obtenir une expansion accélérée de l'univers dans des alternatives à la relativité générale. Nous avons déjà vu comment le potentiel scalaire peut être ajouté aux théories du tenseur scalaire. Cela peut également être fait dans toutes les variantes de la relativité générale qui contient un champ scalaire en ajoutant le terme à l'intérieur du lagrangien pour la partie gravitationnelle de l'action, la partie de ${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$${\displaystyle \varphi \;}$${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$${\displaystyle L_{\varphi }\;}$

${\displaystyle S={1 \over 16\pi G}\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,L_{\varphi }+S_{m}\;}$

Parce que c'est une fonction arbitraire du champ scalaire, il peut être réglé pour donner une accélération qui est grande dans l'univers primitif et petite à l'époque actuelle. C'est ce qu'on appelle la quintessence. ${\displaystyle \lambda (\varphi )\;}$

Une méthode similaire peut être utilisée dans des alternatives à la relativité générale qui utilisent des champs vectoriels, y compris les théories de Rastall et des tenseurs vectoriels. Un terme proportionnel à

${\displaystyle K^{\mu }K^{\nu }g_{\mu \nu }\;}$

est ajouté au Lagrangien pour la partie gravitationnelle de l'action.

Les théories de Farnes

En décembre 2018, l'astrophysicien Jamie Farnes de l' Université d'Oxford a proposé une théorie des fluides sombres , liée aux notions de masses négatives gravitationnellement répulsives qui ont été présentées plus tôt par Albert Einstein . La théorie peut aider à mieux comprendre les quantités considérables de matière noire inconnue et d' énergie noire dans l' univers .

La théorie s'appuie sur le concept de masse négative et réintroduit le tenseur de création de Fred Hoyle afin de permettre la création de matière uniquement pour les particules de masse négative. De cette façon, les particules de masse négative entourent les galaxies et appliquent une pression sur elles, ressemblant ainsi à la matière noire. Comme ces particules supposées se repoussent mutuellement, elles séparent l'Univers, ressemblant ainsi à l'énergie noire. La création de matière permet à la densité des particules de masse négatives exotiques de rester constante en fonction du temps, et apparaît ainsi comme une constante cosmologique . Les équations de champ d'Einstein sont modifiées pour :

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\left(T_ {\mu \nu }^{+}+T_{\mu \nu }^{-}+C_{\mu \nu }\right)}$

Selon le rasoir d'Occam, la théorie de Farnes est une alternative plus simple au modèle LambdaCDM conventionnel, car l'énergie noire et la matière noire (deux hypothèses) sont résolues à l'aide d'un seul fluide de masse négative (une hypothèse). La théorie sera directement testable à l'aide du plus grand radiotélescope du monde, le Square Kilometer Array, qui devrait être mis en ligne en 2022.

MOND relativiste

La théorie originale de MOND par Milgrom a été développée en 1983 comme alternative à la "matière noire". Les écarts par rapport à la loi de la gravitation de Newton sont régis par une échelle d'accélération et non par une échelle de distance. MOND explique avec succès l'observation de Tully-Fisher selon laquelle la luminosité d'une galaxie devrait correspondre à la quatrième puissance de la vitesse de rotation. Cela explique également pourquoi l'écart de rotation dans les galaxies naines est particulièrement important.

Il y avait plusieurs problèmes avec MOND au début.

1. Il n'incluait pas les effets relativistes
2. Il a violé la conservation de l'énergie, de la quantité de mouvement et du moment angulaire
3. Il était incohérent en ce sens qu'il donne des orbites galactiques différentes pour le gaz et pour les étoiles
4. Il n'a pas indiqué comment calculer la lentille gravitationnelle à partir des amas de galaxies.

En 1984, les problèmes 2 et 3 avaient été résolus en introduisant un lagrangien ( AQUAL ). Une version relativiste basée sur la théorie du tenseur scalaire a été rejetée car elle permettait aux ondes du champ scalaire de se propager plus rapidement que la lumière. Le lagrangien de la forme non relativiste est :

${\displaystyle L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}f\left\lbrack {\frac {|\nabla \varphi |^{2}}{a_{0}^{2 }}}\right\rbrack -\rho \varphi }$

La version relativiste de ceci a :

${\displaystyle L=-{a_{0}^{2} \over 8\pi G}{\tilde {f}}\left(\ell _{0}^{2}g^{\mu \nu } \,\partial _{\mu }\varphi \,\partial _{\nu }\varphi \right)}$

avec une action de masse non standard. Voici et sont des fonctions arbitraires sélectionnées pour donner un comportement newtonien et MOND dans les limites correctes, et est l'échelle de longueur MOND. En 1988, un deuxième champ scalaire (PCC) a résolu les problèmes de la version précédente du tenseur scalaire, mais est en conflit avec la précession du périhélie de Mercure et la lentille gravitationnelle des galaxies et des amas. En 1997, MOND avait été incorporé avec succès dans une théorie relativiste stratifiée [Sanders], mais comme il s'agit d'une théorie de cadre préférée, elle a ses propres problèmes. Bekenstein a introduit un modèle tenseur-vecteur-scalaire (TeVeS). Cela a deux champs scalaires et et un champ vectoriel . L'action est divisée en parties pour la gravité, les scalaires, le vecteur et la masse. ${\style d'affichage f}$${\displaystyle {\tilde {f}}}$${\displaystyle l_{0}=c^{2}/a_{0}\;}$${\displaystyle \varphi }$${\style d'affichage \sigma \;}$${\displaystyle U_{\alpha }}$

${\style d'affichage S=S_{g}+S_{s}+S_{v}+S_{m}}$

La partie gravitationnelle est la même qu'en relativité générale.

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{s}&=-{\frac {1}{2}}\int \left[\sigma ^{2}h^{\alpha \beta }\varphi _{, \alpha }\varphi _{,\beta }+{\frac {1}{2}}G\ell _{0}^{-2}\sigma ^{4}F(kG\sigma ^{2}) \right]{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\\[5pt]S_{v}&=-{\frac {K}{32\pi G}}\int \left[g ^{\alpha \beta }g^{\mu \nu }U_{[\alpha ,\mu ]}U_{[\beta ,\nu ]}-{\frac {2\lambda }{K}}\left (g^{\mu \nu }U_{\mu }U_{\nu }+1\right)\right]{\sqrt {-g}}\,d^{4}x\\[5pt]S_{ m}&=\int L\left({\tilde {g}}_{\mu \nu },f^{\alpha },f_{|\mu }^{\alpha },\ldots \right){ \sqrt {-g}}\,d^{4}x\end{aligned}}}$

où

${\displaystyle h^{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }-U^{\alpha }U^{\beta }}$

${\displaystyle {\tilde {g}}^{\alpha \beta }=e^{2\varphi }g^{\alpha \beta }+2U^{\alpha }U^{\beta }\sinh(2 \varphi )}$

${\style d'affichage k,K}$sont des constantes, les crochets dans les indices représentent l'anti-symétrisation, est un multiplicateur de Lagrange (calculé ailleurs) et L est un Lagrangien traduit de l'espace-temps plat sur la métrique . Notez que G n'a pas besoin d'être égal à la constante gravitationnelle observée . F est une fonction arbitraire, et ${\displaystyle U_{[\alpha ,\mu ]}}$${\style d'affichage \lambda }$${\displaystyle {\tilde {g}}^{\alpha \beta }}$${\displaystyle G_{Newton}}$

${\displaystyle F(\mu )={\frac {3}{4}}{\mu ^{2}(\mu -2)^{2} \over 1-\mu }}$

est donné à titre d'exemple avec le bon comportement asymptotique ; notez comment il devient indéfini quand${\style d'affichage \mu =1}$

Les paramètres paramétriques post-newtoniens de cette théorie sont calculés dans, ce qui montre que tous ses paramètres sont égaux à ceux de la relativité générale, à l'exception de

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {4G}{K}}\left((2K-1)e^{-4\varphi _{0}}-e^ {4\varphi _{0}}+8\right)-8\\[5pt]\alpha _{2}&={\frac {6G}{2-K}}-{\frac {2G(K+ 4)e^{4\varphi _{0}}}{(2-K)^{2}}}-1\end{aligned}}}$

les deux exprimés en unités géométriques où ; donc ${\displaystyle c=G_{Newtonien}=1}$

${\displaystyle G^{-1}={\frac {2}{2-K}}+{\frac {k}{4\pi }}.}$

Les théories de Moffat

JW Moffat a développé une théorie de la gravitation non symétrique . Ce n'est pas une théorie métrique. Il a d'abord été affirmé qu'il ne contenait pas d'horizon de trou noir, mais Burko et Ori ont découvert que la théorie gravitationnelle non symétrique peut contenir des trous noirs. Plus tard, Moffat a affirmé qu'il avait également été appliqué pour expliquer les courbes de rotation des galaxies sans invoquer la « matière noire ». Damour, Deser et MaCarthy ont critiqué la théorie gravitationnelle non symétrique, affirmant qu'elle a un comportement asymptotique inacceptable.

Les mathématiques ne sont pas difficiles mais sont étroitement liées, ce qui suit n'est qu'une brève esquisse. En partant d'un tenseur non symétrique , la densité lagrangienne est décomposée en ${\displaystyle g_{\mu \nu }\;}$

${\style d'affichage L=L_{R}+L_{M}\;}$

où est le même que pour la matière en relativité générale. ${\style d'affichage L_{M}\;}$

${\displaystyle L_{R}={\sqrt {-g}}\left[R(W)-2\lambda -{\frac {1}{4}}\mu ^{2}g^{\mu \ nu }g_{[\mu \nu ]}\right]-{\frac {1}{6}}g^{\mu \nu }W_{\mu }W_{\nu }\;}$

où est un terme de courbure analogue mais non égal à la courbure de Ricci en relativité générale, et sont des constantes cosmologiques, est la partie antisymétrique de . est une connexion, et est un peu difficile à expliquer car elle est définie de manière récursive. Cependant,${\style d'affichage R(W)\;}$${\style d'affichage \lambda \;}$${\displaystyle \mu ^{2}\;}$${\displaystyle g_{[\nu \mu ]}\;}$${\displaystyle g_{\nu \mu }\;}$${\displaystyle W_{\mu }\;}$${\displaystyle W_{\mu }\approx -2g_{[\mu \nu ]}^{,\nu }\;}$

Haugan et Kauffmann ont utilisé des mesures de polarisation de la lumière émise par les galaxies pour imposer des contraintes strictes sur la magnitude de certains des paramètres de la théorie gravitationnelle non symétrique. Ils ont également utilisé des expériences de Hughes-Drever pour contraindre les degrés de liberté restants. Leur contrainte est de huit ordres de grandeur plus nette que les estimations précédentes.

La théorie de la métrique-inclinaison-tenseur-gravité (MSTG) de Moffat est capable de prédire les courbes de rotation des galaxies sans matière noire ni MOND, et prétend qu'elle peut également expliquer la lentille gravitationnelle des amas de galaxies sans matière noire. Il a une valeur variable , augmentant jusqu'à une valeur constante finale environ un million d'années après le big bang. ${\style d'affichage G\;}$

La théorie semble contenir un champ de tenseur asymétrique et un vecteur de courant source . L'action est divisée en : ${\displaystyle A_{\mu \nu }\;}$${\displaystyle J_{\mu }\;}$

${\style d'affichage S=S_{G}+S_{F}+S_{FM}+S_{M}\;}$

Les termes de gravité et de masse correspondent à ceux de la relativité générale avec une constante cosmologique. L'action de champ asymétrique et le couplage matière de champ asymétrique sont :

${\displaystyle S_{F}=\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\left({\frac {1}{12}}F_{\mu \nu \rho }F^ {\mu \nu \rho }-{\frac {1}{4}}\mu ^{2}A_{\mu \nu }A^{\mu \nu }\right)\;}$

${\displaystyle S_{FM}=\int d^{4}x\,\epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }A_{\alpha \beta }\partial _{\mu }J_{\nu } \;}$

où

${\displaystyle F_{\mu \nu \rho }=\partial _{\mu }A_{\nu \rho }+\partial _{\rho }A_{\mu \nu }}$

et est le symbole Levi-Civita. Le couplage de champ asymétrique est un couplage de Pauli et est invariant de jauge pour tout courant de source. Le courant source ressemble à un champ de fermions de matière associé au nombre de baryons et de leptons. ${\displaystyle \epsilon ^{\alpha \beta \mu \nu }\;}$

Gravité scalaire-tenseur-vecteur

La gravité scalaire-tenseur-vecteur de Moffat contient un tenseur, un vecteur et trois champs scalaires. Mais les équations sont assez simples. L'action est divisée en : avec des termes pour la gravité, les champs scalaires de champ vectoriel et la masse. est le terme de gravité standard à l'exception qui est déplacé à l'intérieur de l'intégrale. ${\style d'affichage S=S_{G}+S_{K}+S_{S}+S_{M}}$${\displaystyle K_{\mu },}$${\displaystyle G,\omega ,\mu }$${\style d'affichage S_{G}}$${\style d'affichage G}$

${\displaystyle S_{K}=-\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\omega \left({\frac {1}{4}}B_{\mu \nu }B ^{\mu \nu }+V(K)\right),\qquad {\text{where }}\quad B_{\mu \nu }=\partial _{\mu }K_{\nu }-\partial _{\nu }K_{\mu }.}$

${\displaystyle S_{S}=-\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}{\frac {1}{G^{3}}}\left({\frac {1} {2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }G\,\nabla _{\nu }GV(G)\right)+{\frac {1}{G}}\ left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }\omega \,\nabla _{\nu }\omega -V(\omega )\right )+{1 \over \mu ^{2}G}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\,\nabla _{\mu }\mu \,\nabla _{\nu }\mu -V(\mu )\right).}$

La fonction de potentiel pour le champ vectoriel est choisie pour être :

${\displaystyle V(K)=-{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{\mu }\varphi _{\mu }-{\frac {1}{4}} g\gauche(\varphi ^{\mu }\varphi _{\mu }\right)^{2}}$

où est une constante de couplage. Les fonctions supposées pour les potentiels scalaires ne sont pas indiquées. ${\style d'affichage g}$

Gravité dérivée infinie

Afin d'éliminer les fantômes dans le propagateur modifié, ainsi que d'obtenir la liberté asymptotique, Biswas, Mazumdar et Siegel (2005) ont considéré un ensemble infini inspiré des chaînes de termes dérivés supérieurs

${\displaystyle S=\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-g}}\left({\frac {R}{2}}+RF(\Box )R\right)}$

où est l'exponentielle d'une fonction entière de l' opérateur d'Alembertian . Cela évite une singularité de trou noir près de l'origine, tout en récupérant la chute 1/r du potentiel de relativité générale à grande distance. Lousto et Mazzitelli (1997) ont trouvé une solution exacte à cette théorie représentant une onde de choc gravitationnelle. ${\style d'affichage F(\Box )}$

Test d'alternatives à la relativité générale

Toute alternative putative à la relativité générale devrait répondre à une variété de tests pour être acceptée. Pour une couverture approfondie de ces tests, voir Misner et al. Ch.39, Will Tableau 2.1, et Ni. La plupart de ces tests peuvent être classés comme dans les sous-sections suivantes.

Auto-cohérence

L'auto-cohérence entre les théories non métriques comprend l'élimination des théories autorisant les tachyons , les pôles fantômes et les pôles d'ordre supérieur, et celles qui ont des problèmes de comportement à l'infini. Parmi les théories métriques, l'auto-cohérence est mieux illustrée en décrivant plusieurs théories qui échouent à ce test. L'exemple classique est la théorie des champs à spin deux de Fierz et Pauli ; les équations de champ impliquent que les corps gravitants se déplacent en ligne droite, tandis que les équations du mouvement insistent sur le fait que la gravité dévie les corps du mouvement en ligne droite. Yilmaz (1971) contient un tenseur de champ gravitationnel utilisé pour construire une métrique ; il est mathématiquement incohérent car la dépendance fonctionnelle de la métrique sur le champ de tenseur n'est pas bien définie.

Intégralité

Pour être complète, une théorie de la gravité doit être capable d'analyser le résultat de chaque expérience d'intérêt. Il doit donc s'imbriquer avec l'électromagnétisme et toute autre physique. Par exemple, toute théorie qui ne peut prédire à partir de principes premiers le mouvement des planètes ou le comportement des horloges atomiques est incomplète.

De nombreuses premières théories sont incomplètes en ce sens qu'il n'est pas clair si la densité utilisée par la théorie doit être calculée à partir du tenseur contrainte-énergie as ou as , où est la quatre vitesses , et est le delta de Kronecker . Les théories de Thirry (1948) et de Jordan sont incomplètes à moins que le paramètre de Jordan ne soit fixé à -1, auquel cas elles correspondent à la théorie de Brans-Dicke et méritent donc un examen plus approfondi. Milne est incomplet car il ne fait aucune prédiction gravitationnelle de décalage vers le rouge. Les théories de Whitrow et Morduch, Kustaanheimo et Kustaanheimo et Nuotio sont soit incomplètes soit incohérentes. L'incorporation des équations de Maxwell est incomplète à moins qu'il ne soit supposé qu'elles sont imposées sur l'espace-temps de fond plat, et lorsque cela est fait, elles sont incohérentes, car elles prédisent un décalage vers le rouge gravitationnel nul lorsque la version ondulatoire de la lumière (théorie de Maxwell) est utilisée , et un redshift non nul lorsque la version particule (photon) est utilisée. Un autre exemple plus évident est la gravité newtonienne avec les équations de Maxwell ; la lumière sous forme de photons est déviée par les champs gravitationnels (de moitié par rapport à la relativité générale) mais la lumière sous forme d'ondes ne l'est pas. ${\style d'affichage \rho }$${\style d'affichage T}$${\displaystyle \rho =T_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }}$${\displaystyle \rho =T_{\mu \nu }\delta ^{\mu \nu }}$${\mode d'affichage u}$${\style d'affichage \delta }$${\displaystyle \eta \;}$

Essais classiques

Il existe trois tests « classiques » (datant des années 1910 ou avant) de la capacité des théories de la gravité à gérer les effets relativistes ; ce sont le décalage vers le rouge gravitationnel , la lentille gravitationnelle (généralement testée autour du Soleil) et l'avance anormale du périhélie des planètes. Chaque théorie devrait reproduire les résultats observés dans ces domaines, qui ont à ce jour toujours aligné avec les prédictions de la relativité générale. En 1964, Irwin I. Shapiro a trouvé un quatrième test, appelé le délai de Shapiro . Il est également généralement considéré comme un test "classique".

Accord avec la mécanique newtonienne et la relativité restreinte

À titre d'exemple de désaccord avec les expériences newtoniennes, la théorie de Birkhoff prédit les effets relativistes de manière assez fiable, mais exige que les ondes sonores se déplacent à la vitesse de la lumière. C'était la conséquence d'une hypothèse faite pour simplifier la gestion de la collision de masses.

Le principe d'équivalence d'Einstein

Le principe d'équivalence d'Einstein comporte trois éléments. Le premier est l'unicité de la chute libre, également connue sous le nom de principe d'équivalence faible. Ceci est satisfait si la masse inertielle est égale à la masse gravitationnelle. η est un paramètre utilisé pour tester la violation maximale admissible du principe d'équivalence faible. Les premiers tests du principe d'équivalence faible ont été effectués par Eötvös avant 1900 et ont limité η à moins de 5 × 10 ^{− 9} . Les tests modernes ont réduit ce chiffre à moins de 5 × 10 ^{− 13} . La seconde est l'invariance de Lorentz. En l'absence d'effets gravitationnels, la vitesse de la lumière est constante. Le paramètre de test pour c'est δ . Les premiers essais de l' invariance de Lorentz ont été faites par Michelson et Morley avant 1890 et limité δ à moins de 5 × 10 ^{- 3} . Les tests modernes ont réduit ce chiffre à moins de 1 × 10 ^{− 21} . Le troisième est l'invariance de position locale, qui comprend l'invariance spatiale et temporelle. Le résultat de toute expérience locale non gravitationnelle est indépendant de l'endroit et du moment où elle est réalisée. L'invariance spatiale de la position locale est testée en utilisant des mesures de redshift gravitationnel. Le paramètre de test pour ceci est α . Les limites supérieures trouvées par Pound et Rebka en 1960 limitaient α à moins de 0,1. Les tests modernes ont réduit ce chiffre à moins de 1 × 10 ^{− 4} .

La conjecture de Schiff énonce que toute théorie de la gravité complète et cohérente qui incarne le principe d'équivalence faible incarne nécessairement le principe d'équivalence d'Einstein. Cela est susceptible d'être vrai si la théorie a une conservation complète de l'énergie. Les théories métriques satisfont au principe d'équivalence d'Einstein. Extrêmement peu de théories non métriques satisfont cela. Par exemple, la théorie non métrique de Belinfante & Swihart est éliminée par le formalisme THεμ pour tester le principe d'équivalence d'Einstein. La gravité de la théorie de jauge est une exception notable, où le principe d'équivalence forte est essentiellement le couplage minimal de la dérivée covariante de jauge .

Formalisme paramétrique post-newtonien

Voir aussi Tests de relativité générale , Misner et al. et Will pour plus d'informations.

Les travaux sur le développement d'un ensemble de tests standardisés plutôt qu'ad hoc pour évaluer des modèles de gravitation alternatifs ont commencé avec Eddington en 1922 et ont abouti à un ensemble standard de nombres paramétriques post-newtoniens dans Nordtvedt et Will et Will et Nordtvedt. Chaque paramètre mesure un aspect différent de l'écart entre une théorie et la gravité newtonienne. Parce que nous parlons ici d'écart par rapport à la théorie newtonienne, ceux-ci ne mesurent que les effets de champ faible. Les effets des champs gravitationnels forts sont examinés plus tard.

Ces dix sont : ${\displaystyle \gamma ,\beta ,\eta ,\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\zeta _{1},\zeta _{2},\zeta _ {3},\zeta _{4}.}$

• ${\style d'affichage \gamma }$ est une mesure de la courbure de l'espace, étant zéro pour la gravité newtonienne et un pour la relativité générale.
• ${\displaystyle \beta }$ est une mesure de non-linéarité dans l'addition de champs gravitationnels, une pour la relativité générale.
• ${\style d'affichage \eta }$ est une vérification des effets d'emplacement préférés.
• ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}}$mesurer l'étendue et la nature des « effets de cadre préféré ». Toute théorie de la gravité dans laquelle au moins l'un des trois est différent de zéro est appelée théorie du cadre préféré.
• ${\displaystyle \zeta _{1},\zeta _{2},\zeta _{3},\zeta _{4},\alpha _{3}}$mesurer l'étendue et la nature des défaillances des lois mondiales sur la conservation. Une théorie de la gravité possède 4 lois de conservation pour l'énergie-impulsion et 6 pour le moment angulaire seulement si toutes les cinq sont nulles.

Forte gravité et ondes gravitationnelles

Le post-newtonien paramétrique n'est qu'une mesure des effets de champ faibles. De forts effets de gravité peuvent être observés dans des objets compacts tels que les naines blanches, les étoiles à neutrons et les trous noirs. Des tests expérimentaux tels que la stabilité des naines blanches, le taux de spin-down des pulsars, les orbites des pulsars binaires et l'existence d'un horizon de trou noir peuvent être utilisés comme tests d'alternative à la relativité générale. La relativité générale prédit que les ondes gravitationnelles se déplacent à la vitesse de la lumière. De nombreuses alternatives à la relativité générale disent que les ondes gravitationnelles se déplacent plus rapidement que la lumière, ce qui peut rompre la causalité. Après la détection multi-messages de la coalescence GW170817 d'étoiles à neutrons, où les ondes lumineuses et gravitationnelles ont été mesurées pour se déplacer à la même vitesse avec une erreur de 1/10 ¹⁵ , bon nombre de ces théories modifiées de la gravité ont été exclues.

Essais cosmologiques

Beaucoup d'entre eux ont été développés récemment. Pour les théories qui visent à remplacer la matière noire , la courbe de rotation des galaxies , la relation de Tully-Fisher , la vitesse de rotation plus rapide des galaxies naines et la lentille gravitationnelle due aux amas galactiques agissent comme des contraintes. Pour les théories qui visent à remplacer l' inflation , la taille des ondulations dans le spectre du rayonnement de fond cosmique micro-ondes est le test le plus strict. Pour les théories qui incorporent ou visent à remplacer l'énergie noire , les résultats de la luminosité de la supernova et l'âge de l'univers peuvent être utilisés comme tests. Un autre test est la planéité de l'univers. Avec la relativité générale, la combinaison de matière baryonique, de matière noire et d'énergie noire s'additionne pour rendre l'univers exactement plat. Au fur et à mesure que la précision des tests expérimentaux s'améliore, les alternatives à la relativité générale qui visent à remplacer la matière noire ou l'énergie noire devront expliquer pourquoi.

Résultats des tests de théories

Paramètres paramétriques post-newtoniens pour une gamme de théories

(Voir Will et Ni pour plus de détails. Misner et al. donne un tableau pour traduire les paramètres de la notation de Ni à celle de Will)

La relativité générale a maintenant plus de 100 ans, au cours desquels une théorie alternative de la gravité après l'autre n'a pas réussi à s'accorder avec des observations toujours plus précises. Un exemple illustratif est le formalisme post-newtonien paramétré . Le tableau suivant répertorie les valeurs post-newtoniennes paramétriques pour un grand nombre de théories. Si la valeur d'une cellule correspond à celle de l'en-tête de colonne, la formule complète est trop compliquée à inclure ici.

	${\style d'affichage \gamma }$	${\displaystyle \beta }$	${\style d'affichage \xi }$	${\displaystyle \alpha _{1}}$	${\displaystyle \alpha _{2}}$	${\displaystyle \alpha _{3}}$	${\displaystyle \zeta _{1}}$	${\displaystyle \zeta _{2}}$	${\displaystyle \zeta _{3}}$	${\displaystyle \zeta _{4}}$
Relativité générale d'Einstein	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0
Théories du tenseur scalaire
Bergmann, Wagoner	${\displaystyle \textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}}$	${\displaystyle \beta }$	0	0	0	0	0	0	0	0
Nordtvedt, Bekenstein	${\displaystyle \textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}}$	${\displaystyle \beta }$	0	0	0	0	0	0	0	0
Brans–Dicke	${\displaystyle \textstyle {\frac {1+\omega }{2+\omega }}}$	1	0	0	0	0	0	0	0	0
Théories des vecteurs-tenseurs
Hellings-Nordtvedt	${\style d'affichage \gamma }$	${\displaystyle \beta }$	0	${\displaystyle \alpha _{1}}$	${\displaystyle \alpha _{2}}$	0	0	0	0	0
Will-Nordtvedt	1	1	0	0	${\displaystyle \alpha _{2}}$	0	0	0	0	0
Théories bimétriques
Rosen	1	1	0	0	${\displaystyle c_{0}/c_{1}-1}$	0	0	0	0	0
Rastall	1	1	0	0	${\displaystyle \alpha _{2}}$	0	0	0	0	0
Lightman–Lee	${\style d'affichage \gamma }$	${\displaystyle \beta }$	0	${\displaystyle \alpha _{1}}$	${\displaystyle \alpha _{2}}$	0	0	0	0	0
Théories stratifiées
Lee-Lightman-Ni	${\displaystyle ac_{0}/c_{1}}$	${\displaystyle \beta }$	${\style d'affichage \xi }$	${\displaystyle \alpha _{1}}$	${\displaystyle \alpha _{2}}$	0	0	0	0	0
Ni	${\displaystyle ac_{0}/c_{1}}$	${\style d'affichage bc_{0}}$	0	${\displaystyle \alpha _{1}}$	${\displaystyle \alpha _{2}}$	0	0	0	0	0
Théories des champs scalaires
Einstein (1912) {Pas de relativité générale}	0	0		-4	0	-2	0	-1	0	0†
Whitrow–Morduch	0	-1		-4	0	0	0	-3	0	0†
Rosen	${\style d'affichage \lambda }$	${\displaystyle \textstyle {\frac {3}{4}}+\textstyle {\frac {\lambda }{4}}}$		${\displaystyle -4-4\lambda }$	0	-4	0	-1	0	0
Papapétro	1	1		-8	-4	0	0	2	0	0
Ni (stratifié)	1	1		-8	0	0	0	2	0	0
Yilmaz (1962)	1	1		-8	0	-4	0	-2	0	-1†
Page-Tupper	${\style d'affichage \gamma }$	${\displaystyle \beta }$		${\style d'affichage -4-4\gamma }$	0	${\style d'affichage -2-2\gamma }$	0	${\displaystyle \zeta _{2}}$	0	${\displaystyle \zeta _{4}}$
Nordström	${\style d'affichage -1}$	${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}$		0	0	0	0	0	0	0†
Nordström, Einstein-Fokker	${\style d'affichage -1}$	${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}$		0	0	0	0	0	0	0
Ni (plat)	${\style d'affichage -1}$	${\style d'affichage 1-q}$		0	0	0	0	${\displaystyle \zeta _{2}}$	0	0†
Whitrow–Morduch	${\style d'affichage -1}$	${\style d'affichage 1-q}$		0	0	0	0	q	0	0†
Littlewood, Bergman	${\style d'affichage -1}$	${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}$		0	0	0	0	-1	0	0†

La théorie est incomplète et peut prendre l'une des deux valeurs. La valeur la plus proche de zéro est répertoriée. ${\displaystyle \zeta _{4}}$

Tous les tests expérimentaux sont jusqu'à présent en accord avec la relativité générale, et donc l'analyse paramétrique post-newtonienne élimine immédiatement toutes les théories des champs scalaires dans le tableau. Une liste complète des paramètres paramétriques post-newtoniens n'est pas disponible pour Whitehead, Deser-Laurent, Bollini-Giambiagi-Tiomino, mais dans ces trois cas , ce qui est en fort conflit avec la relativité générale et les résultats expérimentaux. En particulier, ces théories prédisent des amplitudes incorrectes pour les marées terrestres. (Une modification mineure de la théorie de Whitehead évite ce problème. Cependant, la modification prédit l' effet Nordtvedt , qui a été contraint expérimentalement.) ${\displaystyle \beta =\xi }$

Théories qui échouent à d'autres tests

Les théories stratifiées de Ni, Lee Lightman et Ni sont sans fondement car elles n'expliquent pas toutes l'avancée du périhélie de Mercure. Les théories bimétriques de Lightman et Lee, Rosen, Rastall échouent toutes à certains des tests associés aux champs gravitationnels puissants. Les théories du tenseur scalaire incluent la relativité générale comme cas particulier, mais ne concordent avec les valeurs paramétriques post-newtoniennes de la relativité générale que lorsqu'elles sont égales à la relativité générale à l'erreur expérimentale près. À mesure que les tests expérimentaux deviennent plus précis, l'écart des théories du tenseur scalaire par rapport à la relativité générale est réduit à zéro. La même chose est vraie pour les théories vectorielles-tenseurs, la déviation des théories vectorielles-tenseurs par rapport à la relativité générale est réduite à zéro. De plus, les théories vecteur-tenseur sont semi-conservatrices ; ils ont une valeur non nulle qui peut avoir un effet mesurable sur les marées terrestres. Les théories non métriques, telles que Belinfante et Swihart, ne parviennent généralement pas à s'accorder avec les tests expérimentaux du principe d'équivalence d'Einstein. Et cela ne laisse, comme alternative vraisemblablement valable à la relativité générale, rien sauf peut-être Cartan. C'était la situation jusqu'à ce que les découvertes cosmologiques poussent le développement d'alternatives modernes. ${\displaystyle \alpha _{2}}$

Notes de bas de page

Les références