Action Einstein-Hilbert - Einstein–Hilbert action

Relativité générale
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$
introduction Histoire Formulation mathématique Essais
Concepts fondamentaux Principe d'équivalence Relativité restreinte Ligne mondiale Variété pseudo-riemannienne
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Scientifiques Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Rouleur Robertson Bardeen Marcheur Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Colportage Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Homme nouveau Yau Thorne autres
v t e

L' action d'Einstein-Hilbert (également appelée action de Hilbert ) en relativité générale est l' action qui produit les équations du champ d'Einstein grâce au principe de moindre action . Avec la signature métrique (− + + +) , la partie gravitationnelle de l'action est donnée par

${\displaystyle S={1 \over 2\kappa }\int R{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x,}$

où est le déterminant de la matrice du tenseur métrique , est le scalaire de Ricci , et est la constante gravitationnelle d'Einstein ( est la constante gravitationnelle et est la vitesse de la lumière dans le vide). S'il converge, l'intégrale est prise sur tout l' espace-temps . Si elle ne converge pas, elle n'est plus bien définie, mais une définition modifiée où l'on intègre sur des domaines arbitrairement grands et relativement compacts, donne toujours l'équation d'Einstein comme l'équation d' Euler-Lagrange de l'action d'Einstein-Hilbert. ${\displaystyle g=\det(g_{\mu \nu })}$${\style d'affichage R}$${\displaystyle \kappa =8\pi Gc^{-4}}$${\style d'affichage G}$${\style d'affichage c}$${\style d'affichage S}$

L'action a été proposée pour la première fois par David Hilbert en 1915.

Discussion

Dériver des équations de mouvement à partir d'une action présente plusieurs avantages. Premièrement, cela permet une unification facile de la relativité générale avec d'autres théories des champs classiques (telles que la théorie de Maxwell ), qui sont également formulées en termes d'action. Dans le processus, la dérivation identifie un candidat naturel pour le terme source couplant la métrique aux champs de matière. De plus, les symétries de l'action permettent d'identifier facilement les quantités conservées grâce au théorème de Noether .

En relativité générale, l'action est généralement supposée être une fonctionnelle de la métrique (et des champs de matière), et la connexion est donnée par la connexion Levi-Civita . La formulation Palatini de la relativité générale suppose que la métrique et la connexion sont indépendantes, et varie par rapport aux deux indépendamment, ce qui permet d'inclure des champs de matière fermionique avec un spin non entier.

Les équations d'Einstein en présence de matière sont données en ajoutant l'action de la matière à l'action d'Einstein-Hilbert.

Dérivation des équations de champ d'Einstein

Supposons que l'action complète de la théorie soit donnée par le terme d'Einstein-Hilbert plus un terme décrivant tout champ de matière apparaissant dans la théorie. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$

${\displaystyle S=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}R+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right]{\sqrt {-g}}\ ,\mathrm {d} ^{4}x}$.

( 1 )

Le principe d'action nous dit alors que pour retrouver une loi physique, il faut exiger que la variation de cette action par rapport à la métrique inverse soit nulle, ce qui donne

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\delta S\\&=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}} R)}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{ \delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }\,\mathrm {d} ^{4}x\\&=\int \left[{\frac { 1}{2\kappa }}\gauche({\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\ frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right)+{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\ delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}}$.

Puisque cette équation devrait être valable pour toute variation , elle implique que ${\displaystyle \delta g^{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt { -g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2\kappa {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {- g}}{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}}$

( 2 )

est l' équation du mouvement pour le champ métrique. Le membre de droite de cette équation est (par définition) proportionnel au tenseur contrainte-énergie ,

${\displaystyle T_{\mu \nu }:={\frac {-2}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta ({\sqrt {-g}}{\mathcal {L}} _{\mathrm {M} })}{\delta g^{\mu \nu }}}=-2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\ delta g^{\mu \nu }}}+g_{\mu \nu }{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}$.

Pour calculer le membre gauche de l'équation, nous avons besoin des variations du scalaire de Ricci et du déterminant de la métrique. Ceux-ci peuvent être obtenus par des calculs manuels standard tels que celui donné ci-dessous, qui est fortement basé sur celui donné dans Carroll 2004 . ${\style d'affichage R}$erreur harvnb : pas de cible : CITEREFCarroll2004 ( aide )

Variation du tenseur de Riemann, du tenseur de Ricci et du scalaire de Ricci

Pour calculer la variation du scalaire de Ricci, nous calculons d'abord la variation du tenseur de courbure de Riemann , puis la variation du tenseur de Ricci. Ainsi, le tenseur de courbure de Riemann est défini comme

${\displaystyle {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _{\nu } \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }}$.

Étant donné que la courbure de Riemann ne dépend que de la connexion Levi-Civita , la variation du tenseur de Riemann peut être calculée comme ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$

${\displaystyle \delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-\partial _ {\nu }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }+\delta \Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\delta \Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\ Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }}$.

Maintenant, puisque est la différence de deux connexions, c'est un tenseur et on peut donc calculer sa dérivée covariante , ${\displaystyle \delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}$

${\displaystyle \nabla _{\mu }\left(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }\right)=\partial _{\mu }(\delta \Gamma _{\nu \ sigma }^{\rho })+\Gamma _{\mu \lambda }^{\rho }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\lambda }-\Gamma _{\mu \nu }^ {\lambda }\delta \Gamma _{\lambda \sigma }^{\rho }-\Gamma _{\mu \sigma }^{\lambda }\delta \Gamma _{\nu \lambda }^{\rho }}$.

Nous pouvons maintenant observer que l'expression de la variation du tenseur de courbure de Riemann ci-dessus est égale à la différence de deux de ces termes,

${\displaystyle \delta {R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=\nabla _{\mu }\left(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }\ right)-\nabla _{\nu }\left(\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\rho }\right)}$.

On peut maintenant obtenir la variation du tenseur de courbure de Ricci en contractant simplement deux indices de variation du tenseur de Riemann, et obtenir l' identité de Palatini :

${\displaystyle \delta R_{\sigma \nu }\equiv \delta {R^{\rho }}_{\sigma \rho \nu }=\nabla _{\rho }\left(\delta \Gamma _{ \nu \sigma }^{\rho }\right)-\nabla _{\nu }\left(\delta \Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }\right)}$.

Le scalaire de Ricci est défini comme

${\displaystyle R=g^{\sigma \nu }R_{\sigma \nu }}$.

Par conséquent, sa variation par rapport à la métrique inverse est donnée par ${\displaystyle g^{\sigma \nu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta R&=R_{\sigma \nu }\delta g^{\sigma \nu }+g^{\sigma \nu }\delta R_{\sigma \nu }\\ &=R_{\sigma \nu }\delta g^{\sigma \nu }+\nabla _{\rho }\left(g^{\sigma \nu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^ {\rho }-g^{\sigma \rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\mu }\right)\end{aligned}}}$

Dans la deuxième ligne nous avons utilisé la compatibilité métrique de la dérivée covariante, , et le résultat obtenu précédemment pour la variation de la courbure de Ricci (dans le deuxième terme, renommer les indices factices et to et respectivement). ${\displaystyle \nabla _{\sigma }g^{\mu \nu }=0}$${\style d'affichage \rho }$${\style d'affichage \nu }$${\style d'affichage \mu }$${\style d'affichage \rho }$

Le dernier terme,

${\displaystyle \nabla _{\rho }\left(g^{\sigma \nu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-g^{\sigma \rho }\delta \Gamma _{\mu \sigma }^{\mu }\right)}$, c'est- à- dire avec ,${\displaystyle \nabla _{\rho }A^{\rho }\equiv A^{\lambda }{}_{;\lambda }}$${\displaystyle A^{\rho }=g^{\sigma \nu }\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }-g^{\sigma \rho }\delta \Gamma _{\ mu \sigma }^{\mu }}$

multiplié par , devient une dérivée totale , puisque pour tout vecteur et toute densité de tenseurs on a : ${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$ ${\displaystyle A^{\lambda }}$ ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,A^{\lambda }}$

${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,A_{;\lambda }^{\lambda }=({\sqrt {-g}}\,A^{\lambda })_{;\lambda }= ({\sqrt {-g}}\,A^{\lambda })_{,\lambda }}$ ou alors ${\displaystyle {\sqrt {-g}}\,\nabla _{\mu }A^{\mu }=\nabla _{\mu }\left({\sqrt {-g}}\,A^{ \mu }\right)=\partial _{\mu }\left({\sqrt {-g}}\,A^{\mu }\right)}$

et donc par le théorème de Stokes ne donne qu'un terme limite lorsqu'il est intégré. Le terme frontière est en général non nul, car l'intégrande dépend non seulement de mais aussi de ses dérivées partielles ; voir l'article terme de limite Gibbons-Hawking-York pour plus de détails. Cependant lorsque la variation de la métrique s'annule au voisinage de la frontière ou lorsqu'il n'y a pas de frontière, ce terme ne contribue pas à la variation de l'action. Et on obtient ainsi ${\displaystyle \delta g^{\mu \nu },}$${\displaystyle \partial _{\lambda }\,\delta g^{\mu \nu }\equiv \delta \,\partial _{\lambda }g^{\mu \nu }}$${\displaystyle \delta g^{\mu \nu }}$

${\displaystyle {\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}=R_{\mu \nu }}$.

( 3 )

lors d' événements non liés à la fermeture de la frontière.

Variation du déterminant

La formule de Jacobi , la règle pour différencier un déterminant , donne :

${\displaystyle \delta g=\delta \det(g_{\mu \nu })=gg^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }}$,

ou on pourrait se transformer en un système de coordonnées où est diagonale, puis appliquer la règle du produit pour différencier le produit des facteurs sur la diagonale principale. En utilisant cela, nous obtenons ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$

${\displaystyle \delta {\sqrt {-g}}=-{\frac {1}{2{\sqrt {-g}}}}\delta g={\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}\left(g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }\right)=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-g}}\left (g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }\right)}$

Dans la dernière égalité, nous avons utilisé le fait que

${\displaystyle g_{\mu \nu }\delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \nu }\delta g_{\mu \nu }}$

qui découle de la règle pour différencier l'inverse d'une matrice

${\displaystyle \delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \alpha }\left(\delta g_{\alpha \beta }\right)g^{\beta \nu }}$.

Ainsi nous concluons que

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}=-{\ frac {1}{2}}g_{\mu \nu }}$.

( 4 )

Équation du mouvement

Maintenant que nous avons toutes les variations nécessaires à notre disposition, nous pouvons insérer ( 3 ) et ( 4 ) dans l'équation du mouvement ( 2 ) pour le champ métrique pour obtenir

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\ mu \nu }}$,

( 5 )

qui sont les équations de champ d'Einstein , et

${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$

a été choisi de telle sorte que la limite non relativiste donne la forme habituelle de la loi de gravité de Newton , où est la constante gravitationnelle (voir ici pour plus de détails). ${\style d'affichage G}$

Constante cosmologique

Lorsqu'une constante cosmologique Λ est incluse dans le lagrangien , l'action :

${\displaystyle S=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}(R-2\Lambda )+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right]{\ sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x}$

Prenant des variations par rapport à la métrique inverse :

${\displaystyle {\begin{aligned}&\delta S=\int \left[{\frac {\sqrt {-g}}{2\kappa }}{\frac {\delta R}{\delta g^{ \mu \nu }}}+{\frac {R}{2\kappa }}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}-{ \frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\sqrt {-g}}{\ frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }{ \frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\right]\delta g^{\mu \nu }\mathrm {d} ^{4}x =\\&=\int \left[{\frac {1}{2\kappa }}{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {R} {2\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}- {\frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {{\mathcal { L}}_{\mathrm {M} }}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}\ right]\delta g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,\mathrm {d} ^{4}x\end{aligned}}}$

En utilisant le principe d'action :

${\displaystyle {\begin{aligned}&\delta S=0\\&{\frac {1}{2\kappa }}{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }} }+{\frac {R}{2\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{ \mu \nu }}}-{\frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}} {\delta g^{\mu \nu }}}+{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+ {\frac {{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{ \mu \nu }}}=0\\\end{aligned}}}$

En combinant cette expression avec les résultats obtenus auparavant :

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\delta R}{\delta g^{\mu \nu }}}=R_{\mu \nu }\\&{\frac {1}{\ sqrt {-g}}}{\frac {\delta {\sqrt {-g}}}{\delta g^{\mu \nu }}}={\frac {-g_{\mu \nu }}{ 2}}\\&T_{\mu \nu }={\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }g_{\mu \nu }-2{\frac {\delta {\mathcal {L}} _{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}\\\end{aligned}}}$

On peut obtenir :

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2\kappa }}R_{\mu \nu }+{\frac {R}{2\kappa }}{\frac {-g_{\ mu \nu }}{2}}-{\frac {\Lambda }{\kappa }}{\frac {-g_{\mu \nu }}{2}}+\left({\frac {\delta { \mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }{\frac {-g_ {\mu \nu }}{2}}\right)=0\\&R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }+\kappa \left(2{\frac {\delta {\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }}{\delta g^{\mu \nu }}}-{\mathcal { L}}_{\mathrm {M} }g_{\mu \nu }\right)=0\\&R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}g_{\mu \nu } +\Lambda g_{\mu \nu }-\kappa T_{\mu \nu }=0\end{aligned}}}$

Avec , l'expression devient les équations du champ avec une constante cosmologique : ${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}}$

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c ^{4}}}T_{\mu \nu }.}$

Voir également

• Tenseur de Belinfante–Rosenfeld
• Théorie de Brans-Dicke (dans laquelle la constante k est remplacée par un champ scalaire).
• Théorie d'Einstein-Cartan
• f(R) gravité (dans laquelle le scalaire de Ricci est remplacé par une fonction de la courbure de Ricci)
• Terme limite Gibbons–Hawking–York
• Théorie de Kaluza-Klein
• Komar superpotentiel
• Action Palatine
• Téléparallélisme
• Action palatine tétradique
• Méthodes variationnelles en relativité générale
• Le théorème de Vermeil

Remarques

Bibliographie

• Misner, Charles W. ; Thorne, Kip. S. ; Wheeler, John A. (1973), Gravitation , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
• Wald, Robert M. (1984), Relativité générale , University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-87033-5
• Carroll, Sean M. (2004), Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity , San Francisco: Addison-Wesley, ISBN 978-0-8053-8732-2
• Hilbert, D. (1915) Die Grundlagen der Physik (original allemand gratuit) (traduction anglaise pour 25 $) , Konigl. Gesell. ré. Wiss. Göttingen, Nachr. Math.-Phys. Kl. 395-407
• Sokolov, DD (2001) [1994], "Constante cosmologique" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press
• Feynman, Richard P. (1995), Feynman Lectures on Gravitation , Addison-Wesley, ISBN 0-201-62734-5
• Christopher M. Hirata Conférence 33 : Formulation lagrangienne des RG (27 avril 2012).