Courbure scalaire - Scalar curvature

En géométrie riemannienne , la courbure scalaire (ou le scalaire de Ricci ) est l' invariant de courbure le plus simple d'une variété riemannienne . À chaque point d'une variété riemannienne, il attribue un seul nombre réel déterminé par la géométrie intrinsèque de la variété à proximité de ce point. Plus précisément, la courbure scalaire représente la quantité par laquelle le volume d'une petite boule géodésique dans une variété riemannienne s'écarte de celui de la boule standard dans l' espace euclidien . En deux dimensions, la courbure scalaire est le double de la courbure de Gauss, et caractérise complètement la courbure d'une surface. Dans plus de deux dimensions, cependant, la courbure des variétés riemanniennes implique plus d'une quantité fonctionnellement indépendante.

En relativité générale , la courbure scalaire est la densité lagrangienne pour l' action d'Einstein-Hilbert . Les équations d'Euler-Lagrange pour ce Lagrangien sous variations de la métrique constituent les équations du champ d'Einstein dans le vide , et les métriques stationnaires sont appelées métriques d'Einstein . La courbure scalaire d'une n- variété est définie comme la trace du tenseur de Ricci , et elle peut être définie comme n ( n  − 1) fois la moyenne des courbures sectionnelles en un point.

A première vue, la courbure scalaire en dimension au moins 3 semble être un invariant faible avec peu d'influence sur la géométrie globale d'une variété, mais en fait certains théorèmes profonds montrent la puissance de la courbure scalaire. Un tel résultat est le théorème de masse positive de Schoen , Yau et Witten . Les résultats associés donnent une compréhension presque complète des variétés qui ont une métrique riemannienne avec une courbure scalaire positive.

Définition

La courbure scalaire S (communément aussi R , ou Sc ) est définie comme la trace du tenseur de courbure de Ricci par rapport à la métrique :

${\displaystyle S=\operatorname {tr} _{g}\operatorname {Ric} .}$

La trace dépend de la métrique puisque le tenseur de Ricci est un tenseur (0,2)-valent ; il faut d'abord lever un indice pour obtenir un tenseur (1,1)-valent afin de prendre la trace. En termes de coordonnées locales, on peut écrire

${\displaystyle S=g^{ij}R_{ij}=R_{j}^{j}}$

où R _ij sont les composantes du tenseur de Ricci dans la base de coordonnées :

${\displaystyle \operatorname {Ric} =R_{ij}\,dx^{i}\otimes dx^{j}.}$

Étant donné un système de coordonnées et un tenseur métrique, la courbure scalaire peut être exprimée comme suit :

${\displaystyle S=g^{ab}\left({\Gamma ^{c}}_{ab,c}-{\Gamma ^{c}}_{ac,b}+{\Gamma ^{d} }_{ab}{\Gamma ^{c}}_{cd}-{\Gamma ^{d}}_{ac}{\Gamma ^{c}}_{bd}\right)=2g^{ab }\gauche({\Gamma ^{c}}_{a[b,c]}+{\Gamma ^{d}}_{a[b}{\Gamma ^{c}}_{c]d} \droite)}$

où sont les symboles de Christoffel de la métrique, et est la dérivée partielle de dans la i ème direction des coordonnées. ${\displaystyle {\Gamma ^{a}}_{bc}}$${\displaystyle {\Gamma ^{l}}_{jk,i}}$${\displaystyle {\Gamma ^{l}}_{jk}}$

Contrairement au tenseur de courbure de Riemann ou au tenseur de Ricci, qui peuvent tous deux être définis pour n'importe quelle connexion affine , la courbure scalaire nécessite une métrique quelconque. La métrique peut être pseudo-riemannienne au lieu de riemannienne. En effet, une telle généralisation est vitale pour la théorie de la relativité. Plus généralement, le tenseur de Ricci peut être défini dans une classe plus large de géométries métriques (au moyen de l'interprétation géométrique directe, ci-dessous) qui comprend la géométrie de Finsler .

Interprétation géométrique directe

Lorsque la courbure scalaire est positive en un point, le volume d'une petite boule autour du point a un volume plus petit qu'une boule de même rayon dans l'espace euclidien. D'autre part, lorsque la courbure scalaire est négative en un point, le volume d'une petite boule est plus grand qu'il ne le serait dans l'espace euclidien.

Ceci peut être rendu plus quantitative, afin de caractériser la valeur précise de la courbure scalaire S en un point p d'un riemannien n -manifold . À savoir, le rapport du volume n- dimensionnel d'une boule de rayon ε dans la variété à celui d'une boule correspondante dans l'espace euclidien est donné, pour ε petit, par ${\style d'affichage (M,g)}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Vol} (B_{\varepsilon }(p)\subset M)}{\operatorname {Vol} \left(B_{\varepsilon }(0)\subset {\mathbb {R } }^{n}\right)}}=1-{\frac {S}{6(n+2)}}\varepsilon ^{2}+O\left(\varepsilon ^{4}\right). }$

Ainsi, la dérivée seconde de ce rapport, évaluée au rayon ε  = 0, est exactement moins la courbure scalaire divisée par 3( n  + 2).

Limites de ces billes sont ( n  - 1) de dimension des sphères de rayon ; leurs mesures d'hypersurface (« aires ») satisfont à l'équation suivante : ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Area} (\partial B_{\varepsilon }(p)\subset M)}{\operatorname {Area} (\partial B_{\varepsilon }(0)\subset {\mathbb {R} }^{n})}}=1-{\frac {S}{6n}}\varepsilon ^{2}+O\left(\varepsilon ^{4}\right).}$

Cas spéciaux

Surfaces

En deux dimensions, la courbure scalaire est exactement le double de la courbure de Gauss. Pour une surface enfoncée dans l'espace euclidien R ³ , cela signifie que

${\displaystyle S={\frac {2}{\rho _{1}\rho _{2}}}\,}$

où sont les rayons principaux de la surface. Par exemple, la courbure scalaire de la 2-sphère de rayon r est égale à 2/ r ² . ${\displaystyle \rho _{1},\,\rho _{2}}$

Le tenseur de courbure de Riemann à 2 dimensions n'a qu'une seule composante indépendante, et il peut être exprimé en termes de courbure scalaire et de forme d'aire métrique. A savoir, dans tout système de coordonnées, on a

${\displaystyle 2R_{1212}\,=S\det(g_{ij})=S\left[g_{11}g_{22}-(g_{12})^{2}\right].}$

Formes spatiales

Une forme spatiale est par définition une variété riemannienne à courbure sectionnelle constante. Les formes spatiales sont localement isométriques à l'un des types suivants :

Espace euclidien

Le tenseur de Riemann d'un espace euclidien à n dimensions s'annule de manière identique, de même que la courbure scalaire.

n -sphères

La courbure en section d'une n- sphère de rayon r est K  = 1/ r ² . La courbure scalaire est donc S  =  n ( n  − 1)/ r ² .

Espace hyperbolique

Par le modèle hyperboloïde , un espace hyperbolique de dimension n peut être identifié avec le sous - ensemble de  l' espace de Minkowski de dimension ( n + 1)

${\displaystyle x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}=r^{2},\quad x_{0}>0.}$

Le paramètre r est un invariant géométrique de l'espace hyperbolique, et la courbure en section est K  = −1/ r ² . La courbure scalaire est donc S  = − n ( n  − 1)/ r ² .

Des produits

La courbure scalaire d'un produit M × N de variétés riemanniennes est la somme des courbures scalaires de M et N . Par exemple, pour toute variété fermée lisse M , M × S ² a une métrique de courbure scalaire positive, simplement en prenant la 2-sphère petite par rapport à M (de sorte que sa courbure est grande). Cet exemple pourrait suggérer que la courbure scalaire a peu de relation avec la géométrie globale d'une variété. En fait, il a une certaine importance mondiale, comme nous le verrons ci - dessous .

Notation traditionnelle

Parmi ceux qui utilisent la notation d'index pour les tenseurs, il est courant d'utiliser la lettre R pour représenter trois choses différentes :

1. le tenseur de courbure de Riemann : ou${\displaystyle R_{ijk}^{l}}$${\displaystyle R_{abcd}}$
2. le tenseur de Ricci : ${\style d'affichage R_{ij}}$
3. la courbure scalaire : ${\style d'affichage R}$

Ces trois se distinguent alors les uns des autres par leur nombre d'indices : le tenseur de Riemann a quatre indices, le tenseur de Ricci a deux indices et le scalaire de Ricci a zéro indices. Ceux qui n'utilisent pas de notation d'index réservent généralement R pour le tenseur de courbure de Riemann complet. Alternativement, dans une notation sans coordonnées, on peut utiliser Riem pour le tenseur de Riemann, Ric pour le tenseur de Ricci et R pour le scalaire de courbure.

problème de Yamabe

Le problème de Yamabe a été résolu par Trudinger , Aubin et Schoen. À savoir, chaque métrique riemannienne sur une variété fermée peut être multipliée par une fonction positive lisse pour obtenir une métrique à courbure scalaire constante. En d'autres termes, chaque métrique sur une variété fermée est conforme à une à courbure scalaire constante.

Courbure scalaire positive

Pour une 2-variété riemannienne fermée M , la courbure scalaire a une relation claire avec la topologie de M , exprimée par le théorème de Gauss-Bonnet : la courbure scalaire totale de M est égale à 4 π fois la caractéristique d'Euler de M . Par exemple, les seules surfaces fermées à métrique de courbure scalaire positive sont celles à caractéristique d'Euler positive : la sphère S ² et RP ² . De plus, ces deux surfaces n'ont pas de métrique avec une courbure scalaire 0.

Le signe de la courbure scalaire a une relation plus faible avec la topologie dans les dimensions supérieures. Étant donné une variété fermée lisse M de dimension au moins 3, Kazdan et Warner ont résolu le problème de la courbure scalaire prescrite , décrivant quelles fonctions lisses sur M apparaissent comme la courbure scalaire d'une métrique riemannienne sur M . À savoir, M doit être exactement de l'un des trois types suivants :

1. Chaque fonction sur M est la courbure scalaire d'une métrique sur M .
2. Une fonction sur M est la courbure scalaire d'une métrique sur M si et seulement si elle est soit identiquement nulle, soit négative quelque part.
3. Une fonction sur M est la courbure scalaire d'une métrique sur M si et seulement si elle est négative quelque part.

Ainsi toute variété de dimension au moins 3 a une métrique à courbure scalaire négative, en fait à courbure scalaire négative constante. Le résultat de Kazdan-Warner focalise l'attention sur la question de savoir quelles variétés ont une métrique à courbure scalaire positive, qui équivaut à la propriété (1). Le cas limite (2) peut être décrit comme la classe des variétés avec une métrique fortement scalaire-plate , c'est -à- dire une métrique avec une courbure scalaire nulle telle que M n'a pas de métrique avec une courbure scalaire positive.

On sait beaucoup de choses sur les variétés fermées lisses qui ont des métriques avec une courbure scalaire positive. En particulier, par Gromov et Lawson , chaque variété simplement connexe de dimension au moins 5 qui n'est pas de spin a une métrique à courbure scalaire positive. En revanche, Lichnerowicz a montré qu'une variété de spin avec une courbure scalaire positive doit avoir un genre égal à zéro. Hitchin a montré qu'une version plus raffinée du genre Â, l' invariant , disparaît également pour les variétés de spin à courbure scalaire positive. Ce n'est que non trivial dans certaines dimensions, car le α-invariant d'une n- variété prend des valeurs dans le groupe KO _n , répertorié ici :

n (mod 8)	0	1	2	3	4	5	6	7
KO n	Z	Z /2	Z /2	0	Z	0	0	0

Inversement, Stolz a montré que chaque variété de spin simplement connectée de dimension au moins 5 avec zéro α-invariant a une métrique avec une courbure scalaire positive.

L'argument de Lichnerowicz utilisant l' opérateur de Dirac a été étendu pour donner de nombreuses restrictions sur les variétés non simplement connectées avec une courbure scalaire positive, via la K-théorie des C*-algèbres . Par exemple, Gromov et Lawson ont montré qu'une variété fermée qui admet une métrique avec une courbure sectionnelle 0, comme un tore , n'a pas de métrique avec une courbure scalaire positive. Plus généralement, la partie injectivité de la conjecture de Baum-Connes pour un groupe G , qui est connue dans de nombreux cas, impliquerait qu'une variété asphérique fermée avec le groupe fondamental G n'a pas de métrique à courbure scalaire positive.

Il y a des résultats particuliers en dimensions 3 et 4. Après les travaux de Schoen, Yau, Gromov et Lawson, la preuve de Perelman du théorème de géométrisation a conduit à une réponse complète en dimension 3 : une 3-variété fermée orientable a une métrique à courbure scalaire si et seulement si c'est une somme connexe de 3-variétés sphériques et de copies de S ²  ×  S ¹ . En dimension 4, la courbure scalaire positive a des implications plus fortes que dans les dimensions supérieures (même pour les variétés simplement connectées), en utilisant les invariants de Seiberg-Witten . Par exemple, si X est une variété de Kähler compacte de dimension complexe 2 qui n'est ni rationnelle ni réglée , alors X (en tant que variété 4 lisse) n'a pas de métrique riemannienne à courbure scalaire positive.

Enfin, Akito Futaki a montré que les métriques fortement scalaires plates (telles que définies ci-dessus) sont extrêmement spéciales. Pour une variété riemannienne simplement connexe M de dimension au moins 5 qui est fortement scalaire-plat, M doit être un produit de variétés riemanniennes de groupe d' holonomie SU( n ) ( variétés Calabi-Yau ), Sp( n ) ( variétés hyperkähler ), ou Spin(7). En particulier, ces métriques sont Ricci-flat, pas seulement scalaires-flat. Inversement, il existe des exemples de variétés avec ces groupes d'holonomie, comme la surface K3 , qui sont de spin et ont un -invariant non nul, donc fortement scalaire-plat.

Voir également

• Introduction de base aux mathématiques de l'espace-temps courbe
• Invariant de Yamabe
• Scalaire de Kretschmann
• Le théorème de Vermeil

Remarques

Les références

• Besse, Arthur L. (1987), Einstein Manifolds , Springer , ISBN 3-540-15279-2, MR  0867684
• Jost, Jürgen (2011) [1995], Géométrie riemannienne et analyse géométrique , Springer , ISBN 978-3-642-21297-0, MR  2829653
• Lawson, H. Blaine ; Michelsohn, Marie-Louise (1989), Spin Geometry , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08542-5, MR  1031992
• LeBrun, Claude (1999), "La dimension de Kodaira et le problème de Yamabe", Communications in Analysis and Geometry , 7 : 133–156, arXiv : dg-ga/9702012 , doi : 10.4310/CAG.1999.v7.n1.a5 , MR  1674105 , S2CID  7223836
• Marques, Fernando Codá (2012), "Deforming three-manifolds with positive scalar curvature", Annals of Mathematics , 176 (2) : 815-863, arXiv : 0907.2444 , doi : 10.4007/annals.2012.176.2.3 , MR  2950765 , S2CID  16528231
• Petersen, Peter (2016) [1998], Géométrie Riemannienne , Springer , ISBN 978-3-319-26652-7, MR  3469435
• Ricci, G. (1903-1904), « Direzioni e invarianti principali in una varietà qualunque » , Atti R. Inst. Vénétie , 63 (2) : 1233-1239, JFM  35.0145.01
• Stolz, Stephen (2002), "Manifolds of positive scalar curvature" (PDF) , Topology of High-Dimensional Manifolds , Trieste: ICTP , pp. 661-709, MR  1937026