Équations de Bargmann-Wigner - Bargmann–Wigner equations
- Cet article utilise la convention de sommation d'Einstein pour les indices de tenseur / spinor et utilise des chapeaux pour les opérateurs quantiques .
Théorie quantique des champs |
---|
Histoire |
En mécanique quantique relativiste et en théorie quantique des champs , les équations de Bargmann-Wigner décrivent des particules libres de spin arbitraire j , entier pour les bosons ( j = 1, 2, 3 ... ) ou demi-entier pour les fermions ( j = 1 ⁄ 2 , trois / deux , cinq / 2 ... ). Les solutions des équations sont des fonctions d'onde , mathématiquement sous la forme de champs spineurs à plusieurs composants .
Ils portent le nom de Valentine Bargmann et Eugene Wigner .
Histoire
Paul Dirac a publié l' équation de Dirac pour la première fois en 1928, et plus tard (1936) l'a étendue aux particules de n'importe quel spin demi-entier avant que Fierz et Pauli ne trouvent par la suite les mêmes équations en 1939, et environ une décennie avant Bargman et Wigner. Eugène Wigner a écrit un article en 1937 sur les représentations unitaires du groupe inhomogène de Lorentz ou du groupe de Poincaré . Wigner note qu'Ettore Majorana et Dirac ont utilisé des opérateurs infinitésimaux appliqués aux fonctions. Wigner classe les représentations comme irréductibles, factorielles et unitaires.
En 1948, Valentine Bargmann et Wigner ont publié les équations qui portent désormais leur nom dans un article sur une discussion théorique de groupe sur les équations d'onde relativistes.
Énoncé des équations
Pour une particule libre de spin j sans charge électrique , les équations BW sont un ensemble de 2 j équations aux dérivées partielles linéaires couplées , chacune avec une forme mathématique similaire à l' équation de Dirac . L'ensemble complet des équations est
qui suivent le modèle;
-
( 1 )
pour r = 1, 2, ... 2 j . (Certains auteurs, par exemple Loide et Saar, utilisent n = 2 j pour supprimer les facteurs de 2. De plus, le nombre quantique de spin est généralement noté s en mécanique quantique, mais dans ce contexte, j est plus typique dans la littérature). La fonction d' onde entière ψ = ψ ( r , t ) a des composantes
et est un champ spinor à 4 composantes de rang 2 j . Chaque indice prend les valeurs 1, 2, 3 ou 4, donc il y a 4 2 j composants de l'ensemble du champ de spineurs ψ , bien qu'une fonction d' onde complètement symétrique réduit le nombre de composants indépendants de deux (2 j + 1) . De plus, γ μ = (γ 0 , γ ) sont les matrices gamma , et
est l' opérateur à 4 impulsions .
L'opérateur constituant chaque équation, (−γ μ P μ + mc ) = (− iħ γ μ ∂ μ + mc ) , est une matrice 4 × 4 , à cause des matrices γ μ , et le terme mc multiplie scalairement le 4 × 4 matrice d'identité (généralement pas écrite pour plus de simplicité). Explicitement, dans la représentation de Dirac des matrices gamma :
où σ = (σ 1 , σ 2 , σ 3 ) = (σ x , σ y , σ z ) est un vecteur des matrices de Pauli , E est l' opérateur énergie , p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) = ( p x , p y , p z ) est l' opérateur 3-momentum , I 2 désigne la matrice identité 2 × 2 , les zéros (dans la deuxième ligne) sont en fait 2 × 2 blocs de matrices zéro .
L'opérateur de la matrice ci - dessus contrats avec un indice bispinor de ψ à la fois (voir la multiplication de la matrice ), de sorte que certaines propriétés de l'équation de Dirac sont également applicables aux équations BW:
- les équations sont covariantes de Lorentz,
- toutes les composantes des solutions ψ satisfont également l' équation de Klein-Gordon , et donc remplissent la relation relativiste énergie-impulsion ,
- deuxième quantification est encore possible.
Contrairement à l'équation de Dirac, qui peut incorporer le champ électromagnétique via un couplage minimal , le formalisme B-W comprend des contradictions et des difficultés intrinsèques lorsque l'interaction du champ électromagnétique est incorporée. En d'autres termes, il n'est pas possible de faire le changement P μ → P μ − eA μ , où e est la charge électrique de la particule et A μ = ( A 0 , A ) est le quatre-potentiel électromagnétique . Une approche indirecte pour étudier les influences électromagnétiques de la particule consiste à dériver les quatre courants électromagnétiques et les moments multipolaires de la particule, plutôt que d'inclure les interactions dans les équations d'onde elles-mêmes.
Structure du groupe Lorentz
La représentation du groupe de Lorentz pour les équations BW est
où chaque D r est une représentation irréductible. Cette représentation n'a pas de spin défini à moins que j soit égal à 1/2 ou 0. On peut effectuer une décomposition de Clebsch-Gordan pour trouver les termes irréductibles ( A , B ) et donc le contenu de spin. Cette redondance nécessite qu'une particule de spin défini j qui se transforme sous la représentation D BW satisfasse les équations de champ.
Les représentations D ( j , 0) et D (0, j ) peuvent chacune représenter séparément des particules de spin j . Un état ou un champ quantique dans une telle représentation ne satisferait aucune équation de champ à l'exception de l'équation de Klein-Gordon.
Formulation dans l'espace-temps courbe
D'après M. Kenmoku, dans l'espace de Minkowski local, les matrices gamma satisfont aux relations d' anticommutation :
où η ij = diag(−1, 1, 1, 1) est la métrique de Minkowski . Pour les indices latins ici, i, j = 0, 1, 2, 3 . Dans l'espace-temps courbe, ils sont similaires :
où les matrices gamma spatiales sont contractées avec le vierbein b i μ pour obtenir γ μ = b i μ γ i , et g μν = b i μ b i ν est le tenseur métrique . Pour les indices grecs ; , = 0, 1, 2, 3 .
Une dérivée covariante pour les spineurs est donnée par
avec la connexion Ω donnée en termes de connexion de spin ω par :
La dérivée covariante se transforme comme ψ :
Avec cette configuration, l'équation ( 1 ) devient :
Voir également
- Équation de Dirac à deux corps
- Généralisations des matrices de Pauli
- Matrice D de Wigner
- Matrices de Weyl-Brauer
- Matrices gamma de dimension supérieure
- Équation de Joos-Weinberg , équations alternatives qui décrivent des particules libres de n'importe quel spin
- Théorie du spin supérieur
Les références
Remarques
Lectures complémentaires
Livres
- Weinberg, S, La théorie quantique des champs, vol II
- Weinberg, S, La théorie quantique des champs, vol III
- R. Penrose (2007). Le chemin de la réalité . Livres anciens. ISBN 978-0-679-77631-4.
Papiers sélectionnés
- FR Lorenz (1941). « Une généralisation des équations de Dirac » . PNAS . 27 (6) : 317-322. Bibcode : 1941PNAS ... 27..317L . doi : 10.1073/pnas.27.6.317 . PMC 1078329 . PMID 16588466 .
- VV Dvoeglazov (2011). « Le formalisme de Bargmann-Wigner modifié pour les champs de spin plus élevés et la mécanique quantique relativiste ». doi : 10.1142/S2010194511001218 .
- DN Williams (1965). "L'algèbre de Dirac pour toute rotation" (PDF) . Cours de physique théorique . 7A . Presses universitaires du Colorado. p. 139-172.
- H. Shi-Zhong ; Z. Peng-Fei ; R. Tu-Nan ; Z. Yu-Can ; Z. Zhi-Peng (2004). "Opérateur de projection et propagateur Feynman pour une particule massive libre de spin arbitraire" . Communications en physique théorique . 41 (3) : 405-418. Bibcode : 2004CoTPh..41..405H . doi : 10.1088/0253-6102/41/3/405 .
- Vice-président Neznamov (2006). « Sur la théorie des champs en interaction dans la représentation de Foldy-Wouthuysen ». Phys. Partie. Nucl . 37 (2006) : 86-103. arXiv : hep-th/0411050 . Bibcode : 2004hep.th ... 11050N . doi : 10.1134/S1063779606010023 . S2CID 16681061 .
- H. Stumpf (2004). "Équations généralisées de Broglie-Bargmann-Wigner, une formulation moderne de la théorie de la fusion de Broglie" (PDF) . Annales de la Fondation Louis de Broglie . 29 (Supplément). p. 785.
- DGC McKeon; TN Sherry (2004). "Les équations de Bargmann-Wigner dans l'espace sphérique". arXiv : hep-th/0411090 .
- R. Clarkson; DGC McKeon (2003). « Théorie des champs quantiques » (PDF) . p. 61-69. Archivé de l'original (PDF) le 2009-05-30 . Récupéré le 2016-10-27 .
- H. Stumpf (2002). « États propres des équations généralisées de Broglie-Bargmann-Wigner pour les photons avec sous-structure partonique » (PDF) . Z. Naturforsch . 57 . p. 726-736.
- B. Schroer (1997). « Théorie des représentations de Wigner du groupe de Poincaré, localisation, statistiques et S-Matrix ». Physique nucléaire B . 499 (3) : 519-546. arXiv : hep-th/9608092 . Bibcode : 1997NuPhB.499..519S . doi : 10.1016/S0550-3213(97)00358-1 . S2CID 18003852 .
- E. Elizalde ; JA Lobo (1980). « De galiléen-invariant aux équations d'onde relativistes » (PDF) . Examen physique D . 22 (4). p. 884. bibcode : 1980PhRvD..22..884E . doi : 10.1103/physrevd.22.884 .
- DV Ahluwalia (1997). "Revue de livre : La Théorie Quantique des Champs Vol. I et II par S. Weinberg". Trouvé. Phys . 10 (3) : 301-304. arXiv : physique/9704002 . Bibcode : 1997FoPhL..10..301A . doi : 10.1007/bf02764211 . S2CID 189940978 .
- JA Morgan (2005). « La parité et la connexion Spin-Statistics ». Pramana . 65 (3) : 513-516. arXiv : physique/0410037 . Bibcode : 2005Prama..65..513M . doi : 10.1007/BF02704208 . S2CID 119416196 .
Liens externes
Equations d'ondes relativistes :
- Matrices de Dirac en dimensions supérieures , Wolfram Demonstrations Project
- En savoir plus sur les champs de spin-1 , P. Cahill, K. Cahill, Université du Nouveau-Mexique
- Équations de champ pour les bosons sans masse d'un formalisme de Dirac-Weinberg , RW Davies, KTR Davies, P. Zory, DS Nydick, American Journal of Physics
- Théorie quantique des champs I , Martin Mojžiš
- L'équation de Bargmann-Wigner : équation de champ pour un spin arbitraire , FarzadQassemi, IPM School and Workshop on Cosmology, IPM, Téhéran, Iran
Groupes de Lorentz en physique quantique relativiste :
- Représentations du Groupe Lorentz , indiana.edu
- Annexe C : Groupe de Lorentz et l'algèbre de Dirac , mcgill.ca
- The Lorentz Group, Relativistic Particles, and Quantum Mechanics , DE Soper, University of Oregon, 2011
- Représentations des groupes de Lorentz et Poincaré , J. Maciejko, Stanford University
- Représentations du groupe de symétrie de l'espace-temps , K. Drake, M. Feinberg, D. Guild, E. Turetsky, 2009