Équation biharmonique - Biharmonic equation

En mathématiques , l' équation biharmonique est une équation aux dérivées partielles du quatrième ordre qui se pose dans les domaines de la mécanique des milieux continus , y compris la théorie de l' élasticité linéaire et la solution des écoulements de Stokes . Plus précisément, il est utilisé dans la modélisation de structures minces qui réagissent élastiquement aux forces externes.

Notation

Il est écrit comme

${\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =0}$

ou

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}\varphi =0}$

ou

${\displaystyle \Delta ^{2}\varphi =0}$

où , qui est la quatrième puissance de l' opérateur del et le carré de l' opérateur laplacien (ou ), est appelé opérateur biharmonique ou opérateur bilaplacien . En coordonnées cartésiennes , il peut s'écrire en dimensions comme : ${\displaystyle \nabla ^{4}}$${\displaystyle \nabla ^{2}}$${\style d'affichage \Delta }$${\style d'affichage n}$

${\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\partial _{i}\partial _{i}\partial _{j}\partial _{j}\varphi =\left(\sum _{i=1}^{n}\partial _{i}\partial _{i}\right)\left(\sum _{ j=1}^{n}\partial _{j}\partial _{j}\right)\varphi .}$

Parce que la formule ici contient une somme d'indices, de nombreux mathématiciens préfèrent la notation sur parce que les premières marques claires des indices des quatre opérateurs de nabla sont contractés plus. ${\displaystyle \Delta ^{2}}$${\displaystyle \nabla ^{4}}$

Par exemple, dans les coordonnées cartésiennes tridimensionnelles l'équation biharmonique a la forme

${\displaystyle {\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{4}}+{\partial ^{4} \varphi \over \partial z^{4}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial y^{2}}+2{\partial ^{4}\ varphi \over \partial y^{2}\partial z^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial z^{2}}=0.}$

Comme autre exemple, dans l' espace de coordonnées réel à n dimensions sans l'origine , ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n}\setminus \mathbf {0} \right)}$

${\displaystyle \nabla ^{4}\left({1 \over r}\right)={3(15-8n+n^{2}) \over r^{5}}}$

où

${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$

ce qui montre, pour n=3 et n=5 seulement, est une solution de l'équation biharmonique. ${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$

Une solution à l'équation biharmonique s'appelle une fonction biharmonique . Toute fonction harmonique est biharmonique, mais l'inverse n'est pas toujours vrai.

En coordonnées polaires à deux dimensions , l'équation biharmonique est

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac { 1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)\right)\right)+{\ frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1} {r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}\ varphi }{\partial \theta ^{2}}}=0}$

qui peut être résolu par séparation de variables. Le résultat est la solution de Michell .

Espace à 2 dimensions

La solution générale au cas bidimensionnel est

${\style d'affichage xv(x,y)-yu(x,y)+w(x,y)}$

où , et sont des fonctions harmoniques et est un conjugué harmonique de . ${\style d'affichage u(x,y)}$${\style d'affichage v(x,y)}$${\style d'affichage w(x,y)}$${\style d'affichage v(x,y)}$${\style d'affichage u(x,y)}$

Tout comme les fonctions harmoniques à 2 variables sont étroitement liées aux fonctions analytiques complexes, les fonctions biharmoniques à 2 variables le sont également. La forme générale d'une fonction biharmonique à 2 variables peut également s'écrire sous la forme

${\displaystyle \operatorname {Im} ({\bar {z}}f(z)+g(z))}$

où et sont des fonctions analytiques . ${\style d'affichage f(z)}$${\style d'affichage g(z)}$

Voir également

• Fonction harmonique

Les références

• Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , CRC Press, 2002. ISBN  1-58488-347-2 .
• SI Hayek, Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering , Marcel Dekker, 2000. ISBN  0-8247-0466-5 .
• JP Den Hartog (1 juillet 1987). Résistance avancée des matériaux . Courrier Dover Publications. ISBN 0-486-65407-9.

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Équation biharmonique" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Opérateur biharmonique" . MathWorld .