Somme connectée - Connected sum

En mathématiques , plus précisément en topologie , l'opération de somme connectée est une modification géométrique sur les variétés . Son effet est de joindre deux variétés données ensemble près d'un point choisi sur chacune. Cette construction joue un rôle clé dans la classification des surfaces fermées .

Plus généralement, on peut également réunir des collecteurs le long de sous-variétés identiques; cette généralisation est souvent appelée la somme des fibres . Il existe également une notion étroitement liée d'une somme connexe sur les nœuds , appelée somme des nœuds ou composition des nœuds.

Illustration de la somme connectée.

Somme connectée en un point

Une somme connectée de deux variétés m- dimensionnelles est une variété formée en supprimant une bille à l'intérieur de chaque variété et en collant ensemble les sphères limites résultantes .

Si les deux variétés sont orientées , il existe une somme connectée unique définie par l'orientation inverse de la carte de collage. Bien que la construction utilise le choix des boules, le résultat est unique jusqu'à l' homéomorphisme . On peut également faire fonctionner cette opération dans la catégorie lisse , puis le résultat est unique jusqu'au difféomorphisme . Il y a des problèmes subtils dans le cas lisse: tous les difféomorphismes entre les frontières des sphères ne donnent pas la même variété composite, même si les orientations sont choisies correctement. Par exemple, Milnor a montré que deux 7 cellules peuvent être collées le long de leur frontière de sorte que le résultat est une sphère exotique homéomorphe mais pas difféomorphe à une 7 sphère.

Cependant, il existe une manière canonique de choisir le collage de et qui donne une somme connectée unique bien définie. Choisissez des incorporations et de manière à conserver l'orientation et à inverser l'orientation. Maintenant, obtenez de la somme disjointe ${\ displaystyle M_ {1}}$ ${\ displaystyle M_ {2}}$ ${\ displaystyle i_ {1}: D_ {n} \ rightarrow M_ {1}}$ ${\ displaystyle i_ {2}: D_ {n} \ rightarrow M_ {2}}$ ${\ displaystyle i_ {1}}$ ${\ displaystyle i_ {2}}$ ${\ displaystyle M_ {1} \ # M_ {2}}$

{\ displaystyle (M_ {1} -i_ {1} (0)) \ sqcup (M_ {2} -i_ {2} (0))}

en identifiant avec pour chaque vecteur unitaire et chacun . Choisissez l'orientation pour laquelle est compatible avec et . Le fait que cette construction soit bien définie dépend essentiellement du théorème du disque , ce qui n'est pas du tout évident. Pour plus de détails, voir ${\ displaystyle i_ {1} (tu)}$ ${\ displaystyle i_ {2} ((1-t) u)}$ ${\ displaystyle u \ in S ^ {n-1}}$ ${\ displaystyle 0 <t <1}$ ${\ displaystyle M_ {1} \ # M_ {2}}$ ${\ displaystyle M_ {1}}$ ${\ displaystyle M_ {2}}$

L'opération de somme connectée est désignée par ; par exemple désigne la somme connectée de et . ${\ displaystyle \ #}$ ${\ displaystyle A \ #B}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

L'opération de somme connectée a la sphère comme identité ; autrement dit, est homéomorphe (ou difféomorphe) à . ${\ displaystyle S ^ {m}}$ ${\ displaystyle M \ # S ^ {m}}$ ${\ displaystyle M}$

La classification des surfaces fermées, résultat fondamental et historiquement significatif de la topologie, stipule que toute surface fermée peut être exprimée comme la somme connectée d'une sphère avec un certain nombre de tores et un certain nombre de plans projectifs réels . ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle k}$

Somme connectée le long d'une sous-variété

Soit et soit deux variétés lisses, orientées de dimension égale et une variété lisse, fermée et orientée, noyées comme une sous-variété dans les deux et Supposons en outre qu'il existe un isomorphisme de faisceaux normaux ${\ displaystyle M_ {1}}$ ${\ displaystyle M_ {2}}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle M_ {1}}$ ${\ displaystyle M_ {2}.}$

{\ displaystyle \ psi: N_ {M_ {1}} V \ à N_ {M_ {2}} V}

qui inverse l'orientation sur chaque fibre. Puis induit un difféomorphisme préservant l'orientation ${\ displaystyle \ psi}$

{\ displaystyle N_ {1} \ setminus V \ cong N_ {M_ {1}} V \ setminus V \ to N_ {M_ {2}} V \ setminus V \ cong N_ {2} \ setminus V,}

où chaque faisceau normal est identifié de manière difféomorphique avec un voisinage de in , et la carte ${\ displaystyle N_ {M_ {i}} V}$ ${\ displaystyle N_ {i}}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle M_ {i}}$

{\ displaystyle N_ {M_ {2}} V \ setminus V \ to N_ {M_ {2}} V \ setminus V}

est l'involution difféomorphique inversant l'orientation

{\ displaystyle v \ mapsto v / | v | ^ {2}}

sur des vecteurs normaux . La somme connectée de et le long est alors l'espace ${\ displaystyle M_ {1}}$ ${\ displaystyle M_ {2}}$ ${\ displaystyle V}$

{\ displaystyle (M_ {1} \ setminus V) \ bigcup _ {N_ {1} \ setminus V = N_ {2} \ setminus V} (M_ {2} \ setminus V)}

obtenu en collant les voisinages supprimés ensemble par le difféomorphisme de préservation de l'orientation. La somme est souvent notée

{\ displaystyle (M_ {1}, V) \ # (M_ {2}, V).}

Son type de difféomorphisme dépend du choix des deux plongements et du choix de . ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ psi}$

En gros, chaque fibre normale de la sous-variété contient un seul point de , et la somme connectée le long est simplement la somme connectée comme décrit dans la section précédente, effectuée le long de chaque fibre. Pour cette raison, la somme connectée est souvent appelée somme des fibres . ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V}$

Le cas particulier d' un point récupère la somme connexe de la section précédente. ${\ displaystyle V}$

Somme connectée le long d'une sous-variété de codimension deux

Un autre cas particulier important se produit lorsque la dimension de est inférieure de deux à celle de . Alors l'isomorphisme des faisceaux normaux existe chaque fois que leurs classes d'Euler sont opposées: ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle M_ {i}}$ ${\ displaystyle \ psi}$

{\ displaystyle e (N_ {M_ {1}} V) = - e (N_ {M_ {2}} V).}

De plus, dans ce cas, le groupe de structure des faisceaux normaux est le groupe de cercles ; il s'ensuit que le choix des plongements peut être identifié canoniquement avec le groupe de classes d' homotopie des cartes de au cercle, qui à son tour est égal au premier groupe de cohomologie intégrale . Le type de difféomorphisme de la somme dépend donc du choix et du choix de l'élément . ${\ displaystyle SO (2)}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle H ^ {1} (V)}$ ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle H ^ {1} (V)}$

Une somme connexe le long d'une codimension-deux peut également être effectuée dans la catégorie des variétés symplectiques ; cette élaboration s'appelle la somme symplectique . ${\ displaystyle V}$

Fonctionnement local

La somme connexe est une opération locale sur les variétés, ce qui signifie qu'elle ne modifie les sommations que dans un voisinage de . Cela implique, par exemple, que la somme peut être effectuée sur une seule variété contenant deux copies disjointes de , avec pour effet de se coller à elle-même. Par exemple, la somme connexe d'une sphère à deux en deux points distincts de la sphère produit le deux tore. ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle M}$

Somme de nœuds connectés

Il existe une notion étroitement liée de la somme connexe de deux nœuds. En fait, si l'on considère un nœud simplement comme une variété unidimensionnelle, alors la somme connexe de deux nœuds n'est que leur somme connexe en tant que variété unidimensionnelle. Cependant, la propriété essentielle d'un nœud n'est pas sa structure multiple (sous laquelle chaque nœud équivaut à un cercle) mais plutôt son ancrage dans l' espace ambiant . Ainsi, la somme des nœuds connectés a une définition plus élaborée qui produit un encastrement bien défini, comme suit.

Considérez les projections planes disjointes de chaque nœud.

Trouvez un rectangle dans le plan où une paire de côtés sont des arcs le long de chaque nœud, mais est sinon disjointe des nœuds.

Joignez maintenant les deux nœuds ensemble en supprimant ces arcs des nœuds et en ajoutant les arcs qui forment l'autre paire de côtés du rectangle.

Cette procédure aboutit à la projection d'un nouveau nœud, une somme connexe (ou somme de nœuds , ou composition ) des nœuds d'origine. Pour que la somme des nœuds connectés soit bien définie, il faut considérer les nœuds orientés dans l'espace 3. Pour définir la somme connectée pour deux nœuds orientés:

Considérons une projection plane de chaque nœud et supposons que ces projections sont disjointes.
Trouvez un rectangle dans le plan où une paire de côtés sont des arcs le long de chaque nœud mais est par ailleurs disjoint des nœuds et de sorte que les arcs des nœuds sur les côtés du rectangle soient orientés autour de la limite du rectangle dans la même direction .
Joignez maintenant les deux nœuds ensemble en supprimant ces arcs des nœuds et en ajoutant les arcs qui forment l'autre paire de côtés du rectangle.

Le nœud de somme connexe résultant hérite d'une orientation cohérente avec les orientations des deux nœuds d'origine, et la classe d'isotopie ambiante orientée du résultat est bien définie, en fonction uniquement des classes d'isotopie ambiante orientées des deux nœuds d'origine.

Dans le cadre de cette opération, les nœuds orientés dans l'espace 3 forment un monoïde commutatif avec une factorisation première unique , ce qui nous permet de définir ce que l'on entend par nœud premier . La preuve de la commutativité peut être vue en laissant une sommation rétrécir jusqu'à ce qu'elle soit très petite, puis en la tirant le long de l'autre nœud. Le dénouement est l'unité. Les deux nœuds de trèfle sont les nœuds principaux les plus simples . Des nœuds de plus grande dimension peuvent être ajoutés en épissant les sphères. ${\ displaystyle n}$

En trois dimensions, le dénouement ne peut pas être écrit comme la somme de deux nœuds non triviaux. Ce fait découle de l'additivité du genre noeud ; une autre preuve s'appuie sur une construction infinie parfois appelée escroquerie Mazur . Dans les dimensions supérieures (avec codimension au moins trois), il est possible d'obtenir un dénouement en ajoutant deux nœuds non triviaux.

Si l'on ne prend pas en compte les orientations des nœuds, l'opération somme connexe n'est pas bien définie sur les classes d'isotopie des nœuds (non orientés). Pour voir cela, considérons deux nœuds non inversibles K, L qui ne sont pas équivalents (en tant que nœuds non orientés); par exemple, prenez les deux nœuds bretzel K = P (3,5,7) et L = P (3,5,9). Laissez K ₊ et K _- être K avec ses deux orientations inéquivalentes, et que L ₊ et L _- être L avec ses deux orientations inéquivalentes. Il existe quatre sommes connectées orientées que nous pouvons former:

A = K ₊ # L ₊
B = K _- # L _-
C = K ₊ # L _-
D = K _- # L ₊

Les classes d'isotopie ambiante orientée de ces quatre nœuds orientés sont toutes distinctes. Et, quand on considère l'isotopie ambiante des nœuds sans égard à l'orientation, il existe deux classes d'équivalence distinctes : { A ~ B } et { C ~ D }. Pour voir que A et B sont équivalents non orientés, notez simplement qu'ils peuvent tous deux être construits à partir de la même paire de saillies de nœuds disjoints que ci-dessus, la seule différence étant les orientations des nœuds. De même, on voit que C et D peuvent être construits à partir de la même paire de projections de nœuds disjoints.

Voir également

Lectures complémentaires

Robert Gompf : Une nouvelle construction de variétés symplectiques, Annals of Mathematics 142 (1995), 527-595
William S. Massey, un cours de base en topologie algébrique , Springer-Verlag, 1991. ISBN 0-387-97430-X .

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