Polynôme cyclotomique - Cyclotomic polynomial

En mathématiques , le n ème polynôme cyclotomique , pour tout entier positif n , est l' unique polynôme irréductible à coefficients entiers qui est un diviseur de et n'est pas un diviseur de pour tout k < n . Ses racines sont toutes les n ème racines primitives de l'unité , où k s'étend sur les entiers positifs non supérieurs à n et premiers à n (et i est l' unité imaginaire ). En d'autres termes, le n ième polynôme cyclotomique est égal à ${\style d'affichage x^{n}-1}$${\style d'affichage x^{k}-1}$ ${\displaystyle e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\left(xe^{2i\pi { \frac {k}{n}}}\droit).}$

Il peut également être défini comme le polynôme monique à coefficients entiers qui est le polynôme minimal sur le corps des nombres rationnels de toute racine primitive n -ième de l'unité ( est un exemple d'une telle racine). ${\displaystyle e^{2i\pi /n}}$

Une relation importante liant les polynômes cyclotomiques et les racines primitives de l'unité est

${\displaystyle \prod _{d\mid n}\Phi _{d}(x)=x^{n}-1,}$

montrant que x est une racine de si et seulement si c'est une d ième racine primitive de l'unité pour un d qui divise n . ${\style d'affichage x^{n}-1}$ 

Exemples

Si n est un nombre premier , alors

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}x^ {k}.}$

Si n = 2 p où p est un nombre premier impair , alors

${\displaystyle \Phi _{2p}(x)=1-x+x^{2}-\cdots +x^{p-1}=\sum _{k=0}^{p-1}(- x)^{k}.}$

Pour n jusqu'à 30, les polynômes cyclotomiques sont :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{1}(x)&=x-1\\\Phi _{2}(x)&=x+1\\\Phi _{3}(x) &=x^{2}+x+1\\\Phi _{4}(x)&=x^{2}+1\\\Phi _{5}(x)&=x^{4}+ x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{6}(x)&=x^{2}-x+1\\\Phi _{7}(x)&= x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{8}(x)&=x^{4 }+1\\\Phi _{9}(x)&=x^{6}+x^{3}+1\\\Phi _{10}(x)&=x^{4}-x^ {3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{11}(x)&=x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+ x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{12}(x)&=x^{4 }-x^{2}+1\\\Phi _{13}(x)&=x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8 }+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{14}( x)&=x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{15}(x)&= x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1\\\Phi _{16}(x)&=x^{8 }+1\\\Phi _{17}(x)&=x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11 }+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+ x^{2}+x+1\\\Phi _{18}(x)&=x^{6}-x^{3}+1\\\Phi _{19}(x)&=x^ {18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10 }+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+ x+1\\\Phi _{20}(x)&=x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1\\\Phi _{21}( x)&=x^{12}-x^{11}+x^{9}-x^{8}+x^{ 6}-x^{4}+x^{3}-x+1\\\Phi _{22}(x)&=x^{10}-x^{9}+x^{8}-x ^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{23}(x)& =x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x ^{14}+x^{13}+x^{12}\\&\qquad \quad +x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^ {7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{24}(x)&= x^{8}-x^{4}+1\\\Phi _{25}(x)&=x^{20}+x^{15}+x^{10}+x^{5}+ 1\\\Phi _{26}(x)&=x^{12}-x^{11}+x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+ x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi _{27}(x)&=x^{18 }+x^{9}+1\\\Phi _{28}(x)&=x^{12}-x^{10}+x^{8}-x^{6}+x^{4 }-x^{2}+1\\\Phi _{29}(x)&=x^{28}+x^{27}+x^{26}+x^{25}+x^{24 }+x^{23}+x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+ x^{15}\\&\qquad \quad +x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x ^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi _{ 30}(x)&=x^{8}+x^{7}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1.\end{aligned}}}$

Le cas du 105e polynôme cyclotomique est intéressant car 105 est le plus petit entier qui est le produit de trois nombres premiers impairs distincts (3*5*7) et ce polynôme est le premier qui a un coefficient autre que 1, 0, ou -1 :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{105}(x)&=x^{48}+x^{47}+x^{46}-x^{43}-x^{42}- 2x^{41}-x^{40}-x^{39}+x^{36}+x^{35}+x^{34}+x^{33}+x^{32}+x^ {31}-x^{28}-x^{26}\\&\qquad \quad -x^{24}-x^{22}-x^{20}+x^{17}+x^{ 16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}-x^{9}-x^{8}-2x^{7}-x^{6} -x^{5}+x^{2}+x+1.\end{aligned}}}$

Propriétés

Outils fondamentaux

Les polynômes cyclotomiques sont des polynômes moniques à coefficients entiers irréductibles sur le corps des nombres rationnels. A l'exception de n égal à 1 ou 2, ce sont des palindromiques de degré pair.

Le degré de , ou en d'autres termes le nombre de racines primitives de l'unité n ième, est , où est la fonction totient d'Euler . ${\displaystyle \Phi _{n}}$${\style d'affichage \varphi (n)}$${\displaystyle \varphi }$

Le fait que soit un polynôme de degré irréductible dans l' anneau est un résultat non trivial dû à Gauss . Selon la définition choisie, c'est soit la valeur du degré soit l'irréductibilité qui est un résultat non trivial. Le cas de n premier est plus facile à prouver que le cas général, grâce au critère d' Eisenstein . ${\displaystyle \Phi _{n}}$${\style d'affichage \varphi (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$

Une relation fondamentale impliquant des polynômes cyclotomiques est

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{n}-1&=\prod _{1\leqslant k\leqslant n}\left(xe^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\ right)\\&=\prod _{d\mid n}\prod _{1\leqslant k\leqslant n \atop \gcd(k,n)=d}\left(xe^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right)\\&=\prod _{d\mid n}\Phi _{\frac {n}{d}}(x)=\prod _{d\mid n} \Phi _{d}(x).\end{aligned}}}$

ce qui signifie que chaque racine n- ième de l'unité est une racine d- ième primitive de l'unité pour un unique d divisant n .

La formule d'inversion de Möbius permet d'exprimer comme fraction rationnelle explicite : ${\style d'affichage \Phi _{n}(x)}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{d\mid n}(x^{d}-1)^{\mu \left({\frac {n}{d}}\right )},}$

où est la fonction de Möbius . ${\style d'affichage \mu }$

Le polynôme cyclotomique peut être calculé en divisant (exactement) par les polynômes cyclotomiques des diviseurs propres de n précédemment calculés récursivement par la même méthode : ${\style d'affichage \Phi _{n}(x)}$${\style d'affichage x^{n}-1}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {x^{n}-1}{\prod _{\stackrel {d|n}{{}_{d<n}}}\Phi _{d}(x)}}}$

(Rappelez-vous cela .) ${\displaystyle \Phi _{1}(x)=x-1}$

Cette formule permet le calcul de sur un ordinateur pour tout n , dès que la factorisation en nombres entiers et la division des polynômes sont disponibles. De nombreux systèmes de calcul formel , tels que SageMath , Maple , Mathematica et PARI/GP , ont une fonction intégrée pour calculer les polynômes cyclotomiques. ${\style d'affichage \Phi _{n}(x)}$

Cas faciles pour le calcul

Comme indiqué ci-dessus, si n est un nombre premier, alors

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}=\sum _{k=0}^{n-1}x^ {k}.}$

Si n est un entier impair supérieur à un, alors

${\displaystyle \Phi _{2n}(x)=\Phi _{n}(-x).}$

En particulier, si n = 2 p est deux fois un nombre premier impair, alors (comme indiqué ci-dessus)

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=1-x+x^{2}-\cdots +x^{p-1}=\sum _{k=0}^{p-1}(- x)^{k}.}$

Si n = p ^m est une puissance première (où p est premier), alors

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\Phi _{p}(x^{p^{m-1}})=\sum _{k=0}^{p-1}x^{ kp^{m-1}}.}$

Plus généralement, si n = p ^m r avec r relativement premier à p , alors

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\Phi _{pr}(x^{p^{m-1}}).}$

Ces formules peuvent être appliquées à plusieurs reprises pour obtenir une expression simple pour tout polynôme cyclotomique en terme d'un polynôme cyclotomique d' indice libre carré : Si q est le produit des diviseurs premiers de n (son radical ), alors ${\style d'affichage \Phi _{n}(x)}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\Phi _{q}(x^{n/q}).}$

Cela permet de donner des formules pour le n ième polynôme cyclotomique lorsque n a au plus un facteur premier impair : Si p est un nombre premier impair, et h et k sont des entiers positifs, alors :

${\displaystyle \Phi _{2^{h}}(x)=x^{2^{h-1}}+1}$

${\displaystyle \Phi _{p^{k}}(x)=\sum _{j=0}^{p-1}x^{jp^{k-1}}}$

${\displaystyle \Phi _{2^{h}p^{k}}(x)=\sum _{j=0}^{p-1}(-1)^{j}x^{j2^{ h-1}p^{k-1}}}$

Pour les autres valeurs de n , le calcul du n ème polynôme cyclotomique se réduit de la même manière à celui de où q est le produit des diviseurs premiers impairs distincts de n . Pour traiter ce cas, on a que, pour p premier et ne divisant pas n , ${\displaystyle \Phi _{q}(x),}$

${\displaystyle \Phi _{np}(x)=\Phi _{n}(x^{p})/\Phi _{n}(x).}$

Entiers apparaissant sous forme de coefficients

Le problème de la limitation de la grandeur des coefficients des polynômes cyclotomiques a fait l'objet d'un certain nombre de travaux de recherche.

Si n a au plus deux facteurs premiers impairs distincts, alors Migotti a montré que les coefficients de sont tous dans l'ensemble {1, −1, 0}. ${\displaystyle \Phi _{n}}$

Le premier polynôme cyclotomique pour un produit de trois facteurs premiers impairs différents est qu'il a un coefficient -2 (voir son expression ci-dessus ). L'inverse n'est pas vrai : n'a que des coefficients dans {1, −1, 0}. ${\style d'affichage \Phi _{105}(x);}$${\displaystyle \Phi _{231}(x)=\Phi _{3\fois 7\fois 11}(x)}$

Si n est un produit de facteurs premiers impairs plus différents, les coefficients peuvent augmenter jusqu'à des valeurs très élevées. Par exemple, a des coefficients allant de -22 à 23, , le plus petit n avec 6 nombres premiers impairs différents, a des coefficients de grandeur jusqu'à 532. ${\displaystyle \Phi _{15015}(x)=\Phi _{3\fois 5\fois 7\fois 11\fois 13}(x)}$${\displaystyle \Phi _{255255}(x)=\Phi _{3\times 5\times 7\times 11\times 13\times 17}(x)}$

Soit A ( n ) la valeur absolue maximale des coefficients de _n . On sait que pour tout k positif , le nombre de n jusqu'à x avec A ( n ) > n ^k est d'au moins c ( k )⋅ x pour un c ( k ) positif dépendant de k et x suffisamment grand. Dans le sens inverse, pour toute fonction ψ( n ) tendant vers l'infini avec n nous avons A ( n ) borné ci-dessus par n ^{ψ( n )} pour presque tout n .

la formule de Gauss

Soit n impair, sans carré et supérieur à 3. Alors :

${\displaystyle 4\Phi _{n}(z)=A_{n}^{2}(z)-(-1)^{\frac {n-1}{2}}nz^{2}B_{ n}^{2}(z)}$

où A _n ( z ) et B _n ( z ) ont des coefficients entiers, A _n ( z ) a le degré φ ( n )/2, et B _n ( z ) a le degré φ ( n )/2 − 2. De plus, Un _n ( z ) est palindrome lorsque son degré est pair ; si son degré est impair, il est antipalindromique. De même, B _n ( z ) est palindrome sauf si n est composite et 3 (mod 4), auquel cas il est antipalindrome.

Les premiers cas sont

${\displaystyle {\begin{aligned}4\Phi _{5}(z)&=4(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=( 2z^{2}+z+2)^{2}-5z^{2}\\[6pt]4\Phi _{7}(z)&=4(z^{6}+z^{5} +z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{3}+z^{2}-z-2)^{2}+7z ^{2}(z+1)^{2}\\[6pt]4\Phi _{11}(z)&=4(z^{10}+z^{9}+z^{8}+ z^{7}+z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{5} +z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-z-2)^{2}+11z^{2}(z^{3}+1)^{2}\end{aligned }}}$

La formule de Lucas

Soit n impair, sans carré et supérieur à 3. Alors

${\displaystyle \Phi _{n}(z)=U_{n}^{2}(z)-(-1)^{\frac {n-1}{2}}nzV_{n}^{2} (z)}$

où U _n ( z ) et V _n ( z ) ont des coefficients entiers, U _n ( z ) a le degré φ ( n )/2, et V _n ( z ) a le degré φ ( n )/2 − 1. Cela peut aussi être écrit

${\displaystyle \Phi _{n}\left((-1)^{\frac {n-1}{2}}z\right)=C_{n}^{2}(z)-nzD_{n} ^{2}(z).}$

Si n est pair, sans carré et supérieur à 2 (cela force n /2 à être impair),

${\displaystyle \Phi _{\frac {n}{2}}\left(-z^{2}\right)=\Phi _{2n}(z)=C_{n}^{2}(z) -nzD_{n}^{2}(z)}$

où C _n ( z ) et D _n ( z ) ont des coefficients entiers, C _n ( z ) a le degré φ ( n ) et D _n ( z ) a le degré φ ( n ) − 1. C _n ( z ) et D _n ( z ) sont tous deux palindromes.

Les premiers cas sont :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{3}(-z)&=\Phi _{6}(z)=z^{2}-z+1\\&=(z+1)^ {2}-3z\\[6pt]\Phi _{5}(z)&=z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1\\&=(z^{ 2}+3z+1)^{2}-5z(z+1)^{2}\\[6pt]\Phi _{6/2}(-z^{2})&=\Phi _{12 }(z)=z^{4}-z^{2}+1\\&=(z^{2}+3z+1)^{2}-6z(z+1)^{2}\end {aligné}}}$

Polynômes cyclotomiques sur un corps fini et sur les entiers p -adiques

Sur un corps fini avec un nombre premier p d'éléments, pour tout entier n qui n'est pas un multiple de p , le polynôme cyclotomique se factorise en polynômes irréductibles de degré d , où est la fonction totient d'Euler et d est l' ordre multiplicatif de p modulo n . En particulier, est irréductible si et seulement si p est une racine primitive modulo n , c'est-à-dire que p ne divise pas n , et son ordre multiplicatif modulo n est , le degré de . ${\displaystyle \Phi _{n}}$${\displaystyle {\frac {\varphi (n)}{d}}}$${\style d'affichage \varphi (n)}$${\displaystyle \Phi _{n}}$ ${\style d'affichage \varphi (n)}$${\displaystyle \Phi _{n}}$

Ces résultats sont également vrais sur les entiers p -adiques , puisque le lemme de Hensel permet de passer d'une factorisation sur le corps à p éléments à une factorisation sur les entiers p -adiques.

Valeurs polynomiales

Si x prend une valeur réelle, alors pour tout n 3 (cela découle du fait que les racines d'un polynôme cyclotomique sont toutes non réelles, pour n ≥ 3 ). ${\displaystyle \Phi _{n}(x)>0}$

Pour étudier les valeurs que peut prendre un polynôme cyclotomique lorsqu'on donne à x une valeur entière, il suffit de ne considérer que le cas n 3 , car les cas n = 1 et n = 2 sont triviaux (on a et ). ${\displaystyle \Phi _{1}(x)=x-1}$${\displaystyle \Phi _{2}(x)=x+1}$

Pour n 2 , on a

${\displaystyle \Phi _{n}(0)=1,}$

${\displaystyle \Phi _{n}(1)=1}$si n n'est pas une puissance première ,

${\displaystyle \Phi _{n}(1)=p}$si est une puissance première avec k 1 .${\style d'affichage n=p^{k}}$

Les valeurs qu'un polynôme cyclotomique peut prendre pour d'autres valeurs entières de x sont fortement liées à l' ordre multiplicatif modulo un nombre premier. ${\style d'affichage \Phi _{n}(x)}$

Plus précisément, étant donné un nombre premier p et un entier b premier avec p , l'ordre multiplicatif de b modulo p , est le plus petit entier positif n tel que p est un diviseur de For b > 1 , l'ordre multiplicatif de b modulo p est aussi la période la plus courte de la représentation de 1/ p dans la base numérique b (voir Premier unique ; ceci explique le choix de la notation). ${\style d'affichage b^{n}-1.}$

La définition de l'ordre multiplicatif implique que, si n est l'ordre multiplicatif de b modulo p , alors p est un diviseur de L'inverse n'est pas vrai, mais on a ce qui suit. ${\displaystyle \Phi _{n}(b).}$

Si n > 0 est un entier positif et b > 1 est un entier, alors (voir ci-dessous pour une preuve)

${\displaystyle \Phi _{n}(b)=2^{k}gh,}$

où

• k est un entier non négatif, toujours égal à 0 lorsque b est pair. (En fait, si n n'est ni 1 ni 2, alors k vaut 0 ou 1. De plus, si n n'est pas une puissance de 2 , alors k est toujours égal à 0)
• g vaut 1 ou le plus grand facteur premier impair de n .
• h est impair, premier avec n , et ses facteurs premiers sont exactement les nombres premiers impairs p tels que n est l'ordre multiplicatif de b modulo p .

Cela implique que, si p est un diviseur premier impair de alors n est un diviseur de p − 1 ou p est un diviseur de n . Dans ce dernier cas, ne divise pas${\displaystyle \Phi _{n}(b),}$${\style d'affichage p^{2}}$${\displaystyle \Phi _{n}(b).}$

Le théorème de Zsigmondy implique que les seuls cas où b > 1 et h = 1 sont

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{1}(2)&=1\\\Phi _{2}\left(2^{k}-1\right)&=2^{k}&&k >0\\\Phi _{6}(2)&=3\end{aligned}}}$

Il résulte de la factorisation ci-dessus que les facteurs premiers impairs de

${\displaystyle {\frac {\Phi _{n}(b)}{\gcd(n,\Phi _{n}(b))}}}$

sont exactement les nombres premiers impairs p tels que n est l'ordre multiplicatif de b modulo p . Cette fraction ne peut être paire que lorsque b est impair. Dans ce cas, l'ordre multiplicatif de b modulo 2 est toujours 1 .

Il existe de nombreux couples ( n , b ) avec b > 1 tel qu'il soit premier. En fait, la conjecture de Bunyakovsky implique que, pour tout n , il existe une infinité de b > 1 tel que soit premier. Voir OEIS :  A085398 pour la liste des plus petits b > 1 tel qu'il est premier (le plus petit b > 1 tel qu'il est premier est d'environ , où est la constante d'Euler–Mascheroni , et est la fonction totient d'Euler ). Voir aussi OEIS :  A206864 pour la liste des plus petits nombres premiers de la forme avec n > 2 et b > 1 , et, plus généralement, OEIS :  A206942 , pour les plus petits entiers positifs de cette forme. ${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$${\displaystyle \lambda \cdot \varphi (n)}$${\style d'affichage \lambda }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$

Applications

En utilisant , on peut donner une preuve élémentaire de l'infinité des nombres premiers congrus à 1 modulo n , ce qui est un cas particulier du théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques . ${\displaystyle \Phi _{n}}$

Voir également

• Champ cyclotomique
• Factorisation aurifeuilleenne
• Racine de l'unité

Remarques

Les références

Le livre de Gauss Disquisitiones Arithmeticae a été traduit du latin en anglais et en allemand. L'édition allemande comprend tous ses articles sur la théorie des nombres : toutes les preuves de réciprocité quadratique, la détermination du signe de la somme de Gauss, les enquêtes sur la réciprocité biquadratique et des notes inédites.

• Gauss, Carl Friedrich (1986) [1801]. Disquisitiones Arithmeticae . Traduit en anglais par Clarke, Arthur A. (2e éd. corr.). New York : Springer . ISBN 0387962549.
• Gauss, Carl Friedrich (1965) [1801]. Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae et autres articles sur la théorie des nombres) . Traduit en allemand par Maser, H. (2e éd.). New-York : Chelsea. ISBN 0-8284-0191-8.
• Lemmermeyer, Franz (2000). Lois de réciprocité : d'Euler à Eisenstein . Berlin : Springer . doi : 10.1007/978-3-662-12893-0 . ISBN 978-3-642-08628-1.
• Maier, Helmut (2008), "Anatomie des entiers et polynômes cyclotomiques", in De Koninck, Jean-Marie ; Granville, André ; Luca, Florian (éd.), Anatomie des entiers. Basé sur l'atelier CRM, Montréal, Canada, 13-17 mars 2006 , CRM Proceedings and Lecture Notes, 46 , Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 89-95, ISBN 978-0-8218-4406-9, Zbl  118611010
• Riesel, Hans (1994). Nombres premiers et méthodes informatiques pour la factorisation (2e éd.). Boston : Birkhäuser. ISBN 0-8176-3743-5.

Liens externes

• Weisstein, Eric W. "Polynôme cyclotomique" . MathWorld .
• "Polynômes cyclotomiques" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
• Séquence OEIS A013595 (Triangle des coefficients du polynôme cyclotomique Phi_n(x) (exposants en ordre croissant))
• Séquence OEIS A013594 (plus petit ordre du polynôme cyclotomique contenant n ou −n comme coefficient)