Quotient de différence - Difference quotient

Dans le calcul à variable unique , le quotient de différence est généralement le nom de l'expression

${\ Displaystyle {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}$

qui, lorsqu'elle est portée à la limite lorsque h tend vers 0, donne la dérivée de la fonction f . Le nom de l'expression vient du fait qu'elle est le quotient de la différence des valeurs de la fonction par la différence des valeurs correspondantes de son argument (ce dernier est ( x + h ) - x = h dans ce cas). Le quotient de différence est une mesure du taux moyen de changement de la fonction sur un intervalle (dans ce cas, un intervalle de longueur h ). La limite du quotient de différence (c'est-à-dire la dérivée) est donc le taux de variation instantané .

Par un léger changement de notation (et de point de vue), pour un intervalle [ a , b ], le quotient de différence

${\style d'affichage {\frac {f(b)-f(a)}{ba}}}$

est appelée la valeur moyenne (ou moyenne) de la dérivée de f sur l'intervalle [ a , b ]. Ce nom est justifié par le théorème de la valeur moyenne , qui stipule que pour une fonction différentiable f , sa dérivée f ' atteint sa valeur moyenne à un certain point de l'intervalle. Géométriquement, ce quotient de différence mesure la pente de la ligne sécante passant par les points de coordonnées ( a , f ( a )) et ( b , f ( b )).

Les quotients de différence sont utilisés comme approximations dans la différenciation numérique , mais ils ont également fait l'objet de critiques dans cette application.

Le quotient différentiel est parfois aussi appelé quotient de Newton (d'après Isaac Newton ) ou quotient différentiel de Fermat (d'après Pierre de Fermat ).

Aperçu

La notion typique du quotient de différence discutée ci-dessus est un cas particulier d'un concept plus général. Le principal véhicule du calcul et d'autres mathématiques supérieures est la fonction . Sa "valeur d'entrée" est son argument , généralement un point ("P") exprimable sur un graphe. La différence entre deux points, eux-mêmes, est connue sous le nom de leur Delta (Δ P ), tout comme la différence dans leur résultat de fonction, la notation particulière étant déterminée par la direction de formation:

• Différence directe: Δ F ( P ) = F ( P + Δ P ) - F ( P );
• Différence centrale : δF(P) = F(P + ½ΔP) − F(P − ½ΔP);
• Différence en arrière: ∇F (P) = F (P) - F (P - ΔP).

La préférence générale est l'orientation vers l'avant, car F (P) est la base, à laquelle des différences (c'est-à-dire, "AP") y sont ajoutées. Par ailleurs,

• Si | ΔP | est fini (signifiant mesurable), alors ΔF (P) est connu comme une différence finie , avec des dénotations spécifiques de DP et DF (P);
• Si | ΔP | est infinitésimale (une quantité infiniment petite - - généralement exprimée dans l'analyse standard comme une limite:) , alors ΔF (P) est connu comme une différence infinitésimale , avec des dénotations spécifiques de dP et dF (P) (dans le graphique de calcul, le point est presque exclusivement identifié comme « x » et F(x) comme « y »).${\ displaystyle \ iota}$${\ displaystyle \ lim _ {\ Delta P \ rightarrow 0} \, \!}$

La différence de fonction divisée par la différence de points est appelée « quotient de différence » :

${\displaystyle {\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {F(P+\Delta P)-F(P)}{\Delta P}}={\frac {\ nabla F (P + \ Delta P)} {\ Delta P}}. \, \!}$

Si ΔP est infinitésimal, alors le quotient de différence est une dérivée , sinon c'est une différence divisée :

${\ displaystyle {\ text {If}} | \ Delta P | = {\ mathit {\ iota}}: \ quad {\ frac {\ Delta F (P)} {\ Delta P}} = {\ frac {dF (P)} {dP}} = F '(P) = G (P); \, \!}$

${\displaystyle {\text{If }}|\Delta P|>{\mathit {\iota }}:\quad {\frac {\Delta F(P)}{\Delta P}}={\frac {DF (P)} {DP}} = F [P, P + \ Delta P]. \, \!}$

Définir la plage de points

Que ΔP soit infinitésimal ou fini, il y a (au moins - dans le cas de la dérivée - théoriquement) une plage de points, où les frontières sont P ± (0,5) ΔP (en fonction de l'orientation - ΔF (P), δF ( P) ou F(P)) :

LB = limite inférieure ; UB = limite supérieure;

Les dérivés peuvent être considérés comme des fonctions elles-mêmes, abritant leurs propres dérivés. Ainsi, chaque fonction héberge des degrés séquentiels («ordres supérieurs») de dérivation ou de différenciation . Cette propriété peut être généralisée à tous les quotients différentiels.
Comme ce séquençage nécessite un éclatement de frontière correspondant, il est pratique de diviser la plage de points en sections plus petites et de taille égale, chaque section étant marquée par un point intermédiaire ( P _i ), où LB = P ₀ et UB = P _ń , le n ième point, égal au degré/ordre :

  LB =  P0  = P0 + 0Δ1P     = Pń − (Ń-0)Δ1P;
        P1  = P0 + 1Δ1P     = Pń − (Ń-1)Δ1P;
        P2  = P0 + 2Δ1P     = Pń − (Ń-2)Δ1P;
        P3  = P0 + 3Δ1P     = Pń − (Ń-3)Δ1P;
            ↓      ↓        ↓       ↓
       Pń-3 = P0 + (Ń-3)Δ1P = Pń − 3Δ1P;
       Pń-2 = P0 + (Ń-2)Δ1P = Pń − 2Δ1P;
       Pń-1 = P0 + (Ń-1)Δ1P = Pń − 1Δ1P;
  UB = Pń-0 = P0 + (Ń-0)Δ1P = Pń − 0Δ1P = Pń;

  ΔP = Δ1P = P1 − P0 = P2 − P1 = P3 − P2 = ... = Pń − Pń-1;

  ΔB = UB − LB = Pń − P0 = ΔńP = ŃΔ1P.

Le quotient différentiel primaire ( Ń = 1)

${\ displaystyle {\ frac {\ Delta F (P_ {0})} {\ Delta P}} = {\ frac {F (P _ {\ sharp {n}}) - F (P_ {0})} {\ Delta _ {\ aigu {n}} P}} = {\ frac {F (P_ {1}) - F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}} = {\ frac {F ( P_ {1}) - F (P_ {0})} {P_ {1} -P_ {0}}}. \, \!}$

En tant que dérivé

Le quotient de différence en tant que dérivé n'a pas besoin d'explication, si ce n'est de souligner que, puisque P _{0 est} essentiellement égal à P ₁ = P ₂ = ... = P _ń (car les différences sont infinitésimales), la notation de Leibniz et les expressions dérivées ne le sont pas. distinguer P à P ₀ ou P _ń :

${\ displaystyle {\ frac {dF (P)} {dP}} = {\ frac {F (P_ {1}) - F (P_ {0})} {dP}} = F '(P) = G ( P). \, \!}$

Il existe d' autres notations dérivées , mais ce sont les désignations standard les plus reconnues.

En tant que différence divisée

Une différence divisée, cependant, nécessite des éclaircissements supplémentaires, car elle équivaut à la dérivée moyenne entre et y compris LB et UB:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} P _ {(tn)} & = LB + {\ frac {TN-1} {UT-1}} \ Delta B \ = UB - {\ frac {UT-TN} {UT- 1}}\Delta B;\\[10pt]&{}\qquad {\color {white}.}(P_{(1)}=LB,\ P_{(ut)}=UB){\color {white }.}\\[10pt]F'(P_{\tilde {a}})&=F'(LB<P<UB)=\sum _{TN=1}^{UT=\infty }{\frac {F '(P _ {(tn)})} {UT}}. \ End {aligné}}}$

Dans cette interprétation, P _ã représente une fonction extraite, la valeur moyenne de P (milieu de gamme, mais généralement pas exactement le point médian), la valorisation particulière dépendant de la fonction dont elle est extraite. Plus formellement, P _ã se trouve dans le théorème de la valeur moyenne du calcul, qui dit :

Pour toute fonction continue sur [LB, UB] et différentiable sur (LB, UB), il existe un P _ã dans l'intervalle (LB, UB) tel que la sécante joignant les extrémités de l'intervalle [LB, UB] soit parallèle à la tangente en P _ã .

Essentiellement, P _ã désigne une certaine valeur de P entre LB et UB - d'où,

${\ displaystyle P _ {\ tilde {a}}: = LB <P <UB = P_ {0} <P <P _ {\ aigu {n}} \, \!}$

qui relie le résultat de la valeur moyenne à la différence divisée:

${\ displaystyle {\ begin {aligné} {\ frac {DF (P_ {0})} {DP}} & = F [P_ {0}, P_ {1}] = {\ frac {F (P_ {1} ) -F (P_ {0})} {P_ {1} -P_ {0}}} = F '(P_ {0} <P <P_ {1}) = \ sum _ {TN = 1} ^ {UT = \ infty} {\ frac {F '(P _ {(tn)})} {UT}}, \\ [8pt] & = {\ frac {DF (LB)} {DB}} = {\ frac {\ Delta F (LB)} {\ Delta B}} = {\ frac {\ nabla F (UB)} {\ Delta B}}, \\ [8pt] & = F [LB, UB] = {\ frac {F (UB) -F (LB)} {UB-LB}}, \\ [8pt] & = F '(LB <P <UB) = G (LB <P <UB). \ End {aligné}}}$

Comme il est, par définition, une différence tangible entre LB / P ₀ et UB / P _ñ , Leibniz et expressions dérivées ne nécessitent divarication de l'argument de la fonction.

Quotients de différence d'ordre supérieur

Deuxième ordre

${\ displaystyle {\ begin {aligné} {\ frac {\ Delta ^ {2} F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P ^ {2}}} & = {\ frac {\ Delta F '(P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}} = {\ frac {{\ frac {\ Delta F (P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {\ Delta F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [10pt] & = {\ frac {{\ frac {F (P_{2})-F(P_{1})}{\Delta _{1}P}}-{\frac {F(P_{1})-F(P_{0})}{\Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [10pt] & = {\ frac {F (P_ {2}) - 2F (P_ {1}) + F (P_ {0 })} {\ Delta _ {1} P ^ {2}}}; \ end {aligné}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}F(P)}{dP^{2}}}&={\frac {dF'(P)}{dP}}={\ frac {F'(P_{1})-F'(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&=\ {\frac {dG(P)}{dP}}={\frac {G(P_{1})-G(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+F (P_ {0})} {dP ^ {2}}}, \\ [10pt] & = F '' (P) = G '(P) = H (P) \ end {aligné}}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} {\ frac {D ^ {2} F (P_ {0})} {DP ^ {2}}} & = {\ frac {DF '(P_ {0})} { DP}}={\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}-P_{0} }}, \\ [10pt] & {\ color {blanc}.} \ Qquad \ neq {\ frac {F '(P_ {1}) - F' (P_ {0})} {P_ {1} -P_ {0}}}, \\ [10pt] & = F [P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}] = {\ frac {F (P_ {2}) - 2F (P_ {1}) + F (P_ {0})} {(P_ {1} -P_ {0}) ^ {2}}}, \\ [10pt] & = F '' (P_ {0} <P <P_ {2} ) = \ sum _ {TN = 1} ^ {\ infty} {\ frac {F '' (P _ {(tn)})} {UT}}, \\ [10pt] & = G '(P_ {0} <P<P_{2})=H(P_{0}<P<P_{2}).\end{aligned}}}$

Troisième ordre

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{3}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{3}}}&={\frac {\Delta ^ {2}F'(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}={\frac {\Delta F''(P_{0})}{\Delta _{1} P}} = {\ frac {{\ frac {\ Delta F '(P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {\ Delta F' (P_ {0})} { \Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {{\frac {{\frac {\Delta F(P_{2})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {\ Delta F '(P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {{\ frac {\ Delta F '(P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {\ Delta F' (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [10pt] & = {\ frac {{\ frac {F (P_ {3}) - 2F (P_{2})+F(P_{1})}{\Delta _{1}P^{2}}}-{\frac {F(P_{2})-2F(P_{1})+ F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{2}}}}{\Delta _{1}P}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{3 }) - 3F (P_ {2}) + 3F (P_ {1}) - F (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P ^ {3}}}; \ end {aligné}}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} {\ frac {d ^ {3} F (P)} {dP ^ {3}}} & = {\ frac {d ^ {2} F '(P)} {dP ^ {2}}} = {\ frac {dF '' (P)} {dP}} = {\ frac {F '' (P_ {1}) - F '' (P_ {0})} {dP} }, \\ [10pt] & = {\ frac {d ^ {2} G (P)} {dP ^ {2}}} \ = {\ frac {dG '(P)} {dP}} \ = { \frac {G'(P_{1})-G'(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \qquad \ \ ={\frac {dH(P)}{dP}}\ ={\frac {H(P_{1})-H(P_{0})}{dP}},\\[10pt]&={\frac {G( P_{2})-2G(P_{1})+G(P_{0})}{dP^{2}}},\\[10pt]&={\frac {F(P_{3})- 3F (P_ {2}) + 3F (P_ {1}) - F (P_ {0})} {dP ^ {3}}}, \\ [10pt] & = F '' '(P) = G' '(P) = H' (P) = I (P); \ end {aligné}}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} {\ frac {D ^ {3} F (P_ {0})} {DP ^ {3}}} & = {\ frac {D ^ {2} F '(P_ { 0})} {DP ^ {2}}} = {\ frac {DF '' (P_ {0})} {DP}} = {\ frac {F '' (P_ {1} <P <P_ {3 })-F''(P_{0}<P<P_{2})}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&{\color {white}.}\qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ \ \ neq {\ frac {F '' (P_ {1}) - F '' (P_ {0})} {P_ {1} -P_ {0}}}, \\ [10pt] & = {\ frac {{\ frac {F '(P_ {2} <P <P_ {3}) - F' (P_ {1} <P <P_ {2})} {P_ {1} -P_{0}}}-{\frac {F'(P_{1}<P<P_{2})-F'(P_{0}<P<P_{1})}{P_{1}- P_{0}}}}{P_{1}-P_{0}}},\\[10pt]&={\frac {F'(P_{2}<P<P_{3})-2F'( P_ {1} <P <P_ {2}) + F '(P_ {0} <P <P_ {1})} {(P_ {1} -P_ {0}) ^ {2}}}, \\ [10pt] & = F [P_ {0}, P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}] = {\ frac {F (P_ {3}) - 3F (P_ {2}) + 3F ( P_ {1}) - F (P_ {0})} {(P_ {1} -P_ {0}) ^ {3}}}, \\ [10pt] & = F '' '(P_ {0} < P <P_ {3}) = \ sum _ {TN = 1} ^ {UT = \ infty} {\ frac {F '' '(P _ {(tn)})} {UT}}, \\ [10pt] & = G '' (P_ {0} <P <P_ {3}) \ = H '(P_ {0} <P <P_ {3}) = I (P_ {0} <P <P_ {3}) . \ end {aligné}}}$

N ème ordre

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ Delta ^ {\ aigu {n}} F (P_ {0}) & = F ^ {({\ sharp {n}} - 1)} (P_ {1}) - F ^ {({\ aigu {n}} - 1)} (P_ {0}), \\ [10pt] & = {\ frac {F ^ {({\ aigu {n}} - 2)} (P_ {2}) - F ^ {({\ sharp {n}} - 2)} (P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {F ^ {({\ sharp { n}} - 2)} (P_ {1}) - F ^ {({\ aigu {n}} - 2)} (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [ 10pt] & = {\ frac {{\ frac {F ^ {({\ aigu {n}} - 3)} (P_ {3}) - F ^ {({\ aigu {n}} - 3)} ( P_ {2})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {F ^ {({\ aigu {n}} - 3)} (P_ {2}) - F ^ {({\ aigu {n}}-3)}(P_{1})}{\Delta _{1}P}}}{\Delta _{1}P}}\\[10pt]&{\color {white}.} \ qquad - {\ frac {{\ frac {F ^ {({\ aigu {n}} - 3)} (P_ {2}) - F ^ {({\ aigu {n}} - 3)} (P_ {1})} {\ Delta _ {1} P}} - {\ frac {F ^ {({\ sharp {n}} - 3)} (P_ {1}) - F ^ {({\ sharp { n}} - 3)} (P_ {0})} {\ Delta _ {1} P}}} {\ Delta _ {1} P}}, \\ [10pt] & = \ cdots \ end {aligné} }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta ^{\acute {n}}F(P_{0})}{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}}& ={\frac {\sum _{I=0}^{\aigu {N}}{-1 \choisissez {\aigu {N}}-I}{{\acute {N}} \choisissez I}F( P_ {0} + I \ Delta _ {1} P)} {\ Delta _ {1} P ^ {\ sharp {n}}}}; \\ [10pt] & {\ frac {\ nabla ^ {\ sharp {n}} F (P _ {\ aigue {n}})} {\ Delta _ {1} P ^ {\ aigue {n}}}} \\ [10pt] & = {\ frac {\ sum _ {I =0}^{\aigu {N}}{-1 \choisissez I}{{\aigu {N}} \choisissez I}F(P_{\aigu {n}}-I\Delta _{1}P) }{\Delta _{1}P^{\acute {n}}}};\end{aligned}}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} {\ frac {d ^ {\ aigu {n}} F (P_ {0})} {dP ^ {\ aigu {n}}}} & = {\ frac {d ^ {{\ sharp {n}} - 1} F '(P_ {0})} {dP ^ {{\ sharp {n}} - 1}}} = {\ frac {d ^ {{\ sharp {n} }-2}F''(P_{0})}{dP^{{\aigu {n}}-2}}}={\frac {d^{{\aigu {n}}-3}F' ''(P_{0})}{dP^{{\aigu {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\aigu {n}}-r}F^{( r)}(P_{0})}{dP^{{\aigu {n}}-r}}},\\[10pt]&={\frac {d^{{\aigu {n}}-1 } G (P_ {0})} {dP ^ {{\ sharp {n}} - 1}}} \\ [10pt] & = {\ frac {d ^ {{\ sharp {n}} - 2} G '(P_ {0})} {dP ^ {{\ sharp {n}} - 2}}} = \ {\ frac {d ^ {{\ sharp {n}} - 3} G' '(P_ {0 })} {dP ^ {{\ aigue {n}} - 3}}} = \ cdots = {\ frac {d ^ {{\ aigue {n}} - r} G ^ {(r-1)} ( P_ {0})} {dP ^ {{\ sharp {n}} - r}}}, \\ [10pt] & {\ color {white}.} \ Qquad \ qquad \ qquad = {\ frac {d ^ {{\aigu {n}}-2}H(P_{0})}{dP^{{\aigu {n}}-2}}}=\ {\frac {d^{{\aigu {n} }-3}H'(P_{0})}{dP^{{\aigu {n}}-3}}}=\cdots ={\frac {d^{{\aigu {n}}-r} H ^ {(r-2)} (P_ {0})} {dP ^ {{\ sharp {n}} - r}}}, \\ & {\ color {blanc}.} \ Qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ = \ {\ frac {d ^ {{\ sharp {n}} - 3} I (P_ {0})} {dP ^ {{\ sharp {n}} - 3}}} =\cdots ={\frac {d^{{\aigu { n}} - r} I ^ {(r-3)} (P_ {0})} {dP ^ {{\ aigu {n}} - r}}}, \\ [10pt] & = F ^ {( {\aigu {n}})}(P)=G^{({\aigu {n}}-1)}(P)=H^{({\aigu {n}}-2)}(P) = I ^ {({\ aigu {n}} - 3)} (P) = \ cdots \ end {aligné}}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} {\ frac {D ^ {\ sharp {n}} F (P_ {0})} {DP ^ {\ sharp {n}}}} & = F [P_ {0} , P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}, \ ldots, P _ {{\ sharp {n}} - 3}, P _ {{\ sharp {n}} - 2}, P _ {{\ sharp {n}} - 1}, P _ {\ aigu {n}}], \\ [10pt] & = F ^ {({\ aigu {n}})} (P_ {0} <P <P _ {\ aigu {n}}) = \ sum _ {TN = 1} ^ {UT = \ infty} {\ frac {F ^ {({\ sharp {n}})} (P _ {(tn)})} {UT} } \\ [10pt] & = F ^ {({\ aigu {n}})} (LB <P <UB) = G ^ {({\ aigu {n}} - 1)} (LB <P <UB )=\cdots \end{aligned}}}$

Appliquer la différence divisée

L'application par excellence de la différence divisée est dans la présentation de l'intégrale définie, qui n'est rien de plus qu'une différence finie:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{LB}^{UB}G(p)\,dp&=\int _{LB}^{UB}F'(p)\,dp=F(UB) -F(LB),\\[10pt]&=F[LB,UB]\Delta B,\\[10pt]&=F'(LB<P<UB)\Delta B,\\[10pt]&= \ G(LB<P<UB)\Delta B.\end{aligned}}}$

Étant donné que la forme d'expression dérivée de la valeur moyenne fournit toutes les mêmes informations que la notation intégrale classique, la forme de la valeur moyenne peut être l'expression préférable, comme dans les lieux d'écriture qui ne prennent en charge/acceptent que le texte ASCII standard , ou dans les cas qui seulement nécessitent la dérivée moyenne (comme lors de la recherche du rayon moyen dans une intégrale elliptique). Cela est particulièrement vrai pour les intégrales définies qui ont techniquement (par exemple) 0 et soit ou comme limites, avec la même différence divisée trouvée que celle avec des limites de 0 et (nécessitant ainsi moins d'effort de moyenne): ${\style d'affichage \pi \,\!}$${\ displaystyle 2 \ pi \, \!}$${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\pi }{2}}\end{matrix}}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligné} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} F '(p) \, dp & = 4 \ int _ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} F '(p)\,dp=F(2\pi )-F(0)=4(F({\begin{matrice}{\frac {\pi }{2}}\end{matrice}})-F (0)),\\[10pt]&=2\pi F[0,2\pi ]=2\pi F'(0<P<2\pi ),\\[10pt]&=2\pi F [0, {\ begin {matrice} {\ frac {\ pi} {2}} \ end {matrice}}] = 2 \ pi F '(0 <P <{\ begin {matrice} {\ frac {\ pi } {2}} \ end {matrice}}). \ End {aligné}}}$

Cela devient aussi particulièrement utile pour traiter itérée et multiple entier s (= AU AA - AL, = BU AB - BL, CU = AC - CL):

${\ displaystyle {\ begin {aligné} & {} \ qquad \ int _ {CL} ^ {CU} \ int _ {BL} ^ {BU} \ int _ {AL} ^ {AU} F '(r, q , p) \, dp \, dq \, dr \\ [10pt] & = \ sum _ {T \! C = 1} ^ {U \! C = \ infty} \ left (\ sum _ {T \! B = 1} ^ {U \! B = \ infty} \ left (\ sum _ {T \! A = 1} ^ {U \! A = \ infty} F ^ {'} (R _ {(tc)} :Q_{(tb)}:P_{(ta)}){\frac {\Delta A}{U\!A}}\right){\frac {\Delta B}{U\!B}}\right ){\frac {\Delta C}{U\!C}},\\[10pt]&=F'(C\!L<R<CU:BL<Q<BU:AL<P<\!AU) \ Delta A \, \ Delta B \, \ Delta C. \ end {aligné}}}$

D'où,

${\ displaystyle F '(R, Q: AL <P <AU) = \ sum _ {T \! A = 1} ^ {U \! A = \ infty} {\ frac {F' (R, Q: P_ {(ta)})} {U \! A}}; \, \!}$

et

${\displaystyle F'(R:BL<Q<BU:AL<P<AU)=\sum _{T\!B=1}^{U\!B=\infty }\left(\sum _{T \! A = 1} ^ {U \! A = \ infty} {\ frac {F '(R: Q _ {(tb)}: P _ {(ta)})} {U \! A}} \ right) {\ frac {1} {U \! B}}. \, \!}$

Voir également

• Différences divisées
• Théorie de Fermat
• polynôme de Newton
• Méthode rectangle
• Règle de quotient
• Quotient différentiel symétrique

Les références

Liens externes

• Collège Saint Vincent: Fr. David Carlson, OSB - MA109 Le quotient de différence
• Université de Birmingham : Dirk Hermans— Différences divisées
• Mathworld:
  • Différence divisée
  • Théorème de la valeur moyenne
• Université du Wisconsin: Thomas W. Reps et Louis B. Rall - Différence divisée par calcul et arithmétique par différence divisée
• Simulateur interactif sur le quotient de différence pour expliquer la dérivée