Pente - Slope

Pente: ${\displaystyle m=\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)=\tan(\theta )}$

En mathématiques, la pente ou le gradient d'une ligne est un nombre qui décrit à la fois la direction et la pente de la ligne. La pente est souvent désignée par la lettre m ; il n'y a pas de réponse claire à la question pourquoi la lettre m est utilisée pour la pente, mais sa première utilisation en anglais apparaît dans O'Brien (1844) qui a écrit l'équation d'une ligne droite comme " y = mx + b " et il peut se trouve également dans Todhunter (1888) qui l'a écrit comme " y = mx + c ".

La pente est calculée en trouvant le rapport du "changement vertical" au "changement horizontal" entre (n'importe quels) deux points distincts sur une ligne. Parfois, le rapport est exprimé sous la forme d'un quotient (« augmentation par rapport à la course »), donnant le même nombre pour chaque deux points distincts sur la même ligne. Une ligne décroissante a une "montée" négative. La ligne peut être pratique - telle qu'elle est définie par un arpenteur-géomètre, ou dans un diagramme qui modélise une route ou un toit, soit comme une description, soit comme un plan.

La pente , l'inclinaison ou la pente d'une ligne est mesurée par la valeur absolue de la pente. Une pente avec une valeur absolue plus élevée indique une ligne plus raide. La direction d'une ligne est croissante, décroissante, horizontale ou verticale.

• Une ligne est de plus en plus si elle va jusqu'à de gauche à droite. La pente est positive , c'est à dire .${\style d'affichage m>0}$
• Une ligne est décroissante si elle descend de gauche à droite. La pente est négative , c'est à dire .${\style d'affichage m<0}$
• Si une ligne est horizontale, la pente est nulle . C'est une fonction constante .
• Si une ligne est verticale, la pente n'est pas définie (voir ci-dessous).

L'élévation d'une route entre deux points est la différence entre l'altitude de la route à ces deux points, disons y ₁ et y ₂ , ou en d'autres termes, l'élévation est ( y ₂ − y ₁ ) = Δ y . Pour des distances relativement courtes, où la courbure de la terre peut être négligée, la course est la différence de distance à partir d'un point fixe mesurée le long d'un niveau, une ligne horizontale, ou en d'autres termes, la course est ( x ₂ − x ₁ ) = Δ x . Ici, la pente de la route entre les deux points est simplement décrite comme le rapport du changement d'altitude à la distance horizontale entre deux points quelconques sur la ligne.

En langage mathématique, la pente m de la droite est

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

Le concept de pente s'applique directement aux grades ou gradients en géographie et en génie civil . Par trigonométrie , la pente m d' une droite est liée à son angle d' inclinaison θ par la fonction tangente

${\displaystyle m=\tan(\theta )}$

Ainsi, une droite montante à 45° a une pente de +1 et une droite descendante à 45° a une pente de -1.

En tant que généralisation de cette description pratique, les mathématiques du calcul différentiel définissent la pente d'une courbe en un point comme la pente de la ligne tangente en ce point. Lorsque la courbe est donnée par une série de points dans un diagramme ou dans une liste de coordonnées de points, la pente peut être calculée non pas en un point mais entre deux points quelconques. Lorsque la courbe est donnée comme une fonction continue, peut-être comme une formule algébrique, alors le calcul différentiel fournit des règles donnant une formule pour la pente de la courbe en tout point au milieu de la courbe.

Cette généralisation du concept de pente permet de planifier et de construire des constructions très complexes qui vont bien au-delà des structures statiques horizontales ou verticales, mais peuvent changer dans le temps, se déplacer en courbes et changer en fonction du taux de changement d'autres facteurs . Ainsi, la simple idée de pente devient l'une des principales bases du monde moderne en termes de technologie et d'environnement bâti.

Définition

Pente illustrée pour y  = (3/2) x  − 1. Cliquez sur pour agrandir

Pente d'une droite en système de coordonnées, de f(x)=-12x+2 à f(x)=12x+2

La pente d'une droite dans le plan contenant les axes x et y est généralement représentée par la lettre m , et est définie comme la variation de la coordonnée y divisée par la variation correspondante de la coordonnée x , entre deux points distincts sur la droite. Ceci est décrit par l'équation suivante :

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {{\text{vertical}}\,{\text{change}}}{{\text{horizontal}}\ ,{\text{change}}}}={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}.}$

(La lettre grecque delta , , est couramment utilisée en mathématiques pour signifier "différence" ou "changement".)

Étant donné deux points et , le changement de l'un à l'autre est ( run ), tandis que le changement de est ( rise ). La substitution des deux quantités dans l'équation ci-dessus génère la formule : ${\style d'affichage (x_{1},y_{1})}$${\style d'affichage (x_{2},y_{2})}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage x_{2}-x_{1}}$${\style d'affichage y}$${\displaystyle y_{2}-y_{1}}$

${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}$

La formule échoue pour une ligne verticale, parallèle à l' axe (voir Division par zéro ), où la pente peut être considérée comme infinie , de sorte que la pente d'une ligne verticale est considérée comme indéfinie. ${\style d'affichage y}$

Exemples

Supposons qu'une droite passe par deux points : P  = (1, 2) et Q  = (13, 8). En divisant la différence de -coordonnées par la différence de -coordonnées, on peut obtenir la pente de la droite : ${\style d'affichage y}$${\style d'affichage x}$

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {8-2}{13-1}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}}$.

Comme la pente est positive, la direction de la ligne est croissante. Depuis |m|<1, la pente n'est pas très forte (pente <45°).

Comme autre exemple, considérons une ligne qui passe par les points (4, 15) et (3, 21). Alors, la pente de la droite est

${\displaystyle m={\frac {21-15}{3-4}}={\frac {6}{-1}}=-6.}$

Comme la pente est négative, la direction de la ligne est décroissante. Depuis |m|>1, cette baisse est assez forte (baisse >45°).

Algèbre et géométrie

• Si ' est une fonction linéaire de ', alors le coefficient de est la pente de la ligne créée en traçant la fonction. Par conséquent, si l'équation de la droite est donnée sous la forme${\style d'affichage y}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage x}$

${\style d'affichage y=mx+b}$

alors est la pente. Cette forme d'équation d'une ligne est appelée forme d'intersection de pente , car elle peut être interprétée comme l' ordonnée à l'origine de la ligne, c'est-à-dire la coordonnée où la ligne coupe l' axe.${\style d'affichage m}$${\style d'affichage b}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage y}$

• Si la pente d'une ligne et d'un point sur la ligne sont tous deux connus, alors l'équation de la ligne peut être trouvée en utilisant la formule point-pente :${\style d'affichage m}$${\style d'affichage (x_{1},y_{1})}$

${\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1}).}$

• La pente de la droite définie par l' équation linéaire

${\displaystyle hache+by+c=0}$

est

${\displaystyle -{\frac {a}{b}}}$.

• Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ne sont pas la même droite (coïncidence) et que soit leurs pentes sont égales, soit elles sont toutes les deux verticales et ont donc toutes deux des pentes indéfinies. Deux droites sont perpendiculaires si le produit de leurs pentes est -1 ou si l'une a une pente de 0 (une droite horizontale) et l'autre a une pente indéfinie (une droite verticale).
• L'angle θ entre -90° et 90° que fait une droite avec l' axe des x est lié à la pente m comme suit :

${\displaystyle m=\tan(\theta )}$

et

${\displaystyle \theta =\arctan(m)}$   (c'est la fonction inverse de la tangente ; voir fonctions trigonométriques inverses ).

Exemples

Par exemple, considérons une ligne passant par les points (2,8) et (3,20). Cette droite a une pente, m , de

${\style d'affichage {\frac {(20-8)}{(3-2)}}\;=12.}$

On peut alors écrire l'équation de la droite, sous forme point-pente :

${\style d'affichage y-8=12(x-2)=12x-24}$

ou:

${\style d'affichage y=12x-16.}$

L'angle entre -90° et 90° que fait cette droite avec l' axe x est

${\displaystyle \theta =\arctan(12)\approx 85.2^{\circ }\,.}$

Considérons les deux droites : y = −3 x + 1 et y = −3 x − 2 . Les deux droites ont une pente m = −3 . Ce n'est pas la même ligne. Ce sont donc des droites parallèles.

Considérons les deux droites y = -3 x + 1 et y = X/3− 2 . La pente de la première droite est m ₁ = −3 . La pente de la deuxième droite est m ₂ =1/3. Le produit de ces deux pentes est -1. Ces deux droites sont donc perpendiculaires.

Statistiques

Dans les statistiques , le gradient de la droite la mieux ajustée de la régression des moindres carrés pour un échantillon de données donné peut s'écrire comme suit :

${\displaystyle m={\frac {rs_{y}}{s_{x}}}}$,

Cette quantité m est appelée pente de régression de la droite . La quantité est le coefficient de corrélation de Pearson , est l' écart type des valeurs y et est l' écart type des valeurs x. Cela peut aussi s'écrire comme un rapport de covariances : ${\style d'affichage y=mx+c}$${\style d'affichage r}$${\style d'affichage s_{y}}$${\style d'affichage s_{x}}$

${\displaystyle m={\frac {\nom_opérateur {cov} (Y,X)}{\nom_opérateur {cov} (X,X)}}}$

Pente d'une route ou d'une voie ferrée

Articles principaux: Grade (pente) , Dénivelé

Il existe deux manières courantes de décrire la pente d'une route ou d'une voie ferrée . L'un est par l'angle entre 0° et 90° (en degrés), et l'autre par la pente en pourcentage. Voir aussi chemin de fer à pente raide et chemin de fer à crémaillère .

Les formules pour convertir une pente donnée en pourcentage en un angle en degrés et vice versa sont :

${\displaystyle {\text{angle}}=\arctan \left({\frac {\text{slope}}{100\%}}\right)}$  , (c'est la fonction inverse de la tangente ; voir trigonométrie )

et

${\displaystyle {\mbox{pente}}=100\%\cdot \tan({\mbox{angle}}),}$

où l' angle est en degrés et les fonctions trigonométriques fonctionnent en degrés. Par exemple, une pente de 100 % ou 1000 ‰ est un angle de 45 °.

Une troisième façon consiste à donner une unité d'élévation en 10, 20, 50 ou 100 unités horizontales, par exemple 1:10. 1:20, 1:50 ou 1:100 (ou "1 sur 10" , "1 sur 20" etc.) Notez que 1:10 est plus raide que 1:20. Par exemple, une pente de 20% signifie 1:5 ou une pente avec un angle de 11,3°.

Les routes et les voies ferrées ont à la fois des pentes longitudinales et des pentes transversales.

• 

  Panneau d'avertissement de pente aux Pays - Bas

• 

  Panneau d'avertissement de pente en Pologne

• 

  Une distance 1371 mètres d'une voie ferrée avec un 20 ‰ pente. République Tchèque

• 

  Poste de gradient ferroviaire de l'âge de la vapeur indiquant une pente dans les deux sens à la gare de Meols , Royaume-Uni

Calcul

A chaque point, le dérivé est la pente d'une ligne qui est tangente à la courbe en ce point. Remarque : la dérivée au point A est positive où vert et tiret-point, négative où rouge et tiret, et zéro où noir et solide.

Le concept de pente est au cœur du calcul différentiel . Pour les fonctions non linéaires, le taux de variation varie le long de la courbe. La dérivée de la fonction en un point est la pente de la ligne tangente à la courbe en ce point, et est donc égale au taux de variation de la fonction en ce point.

Si nous laissons Δ x et y les distances (le long des axes x et y , respectivement) entre deux points sur une courbe, alors la pente donnée par la définition ci-dessus,

${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$,

est la pente d'une ligne sécante à la courbe. Pour une ligne, la sécante entre deux points quelconques est la ligne elle-même, mais ce n'est le cas pour aucun autre type de courbe.

Par exemple, la pente de la sécante coupant y = x ² (0,0) et (3,9) est égal à 3. (La pente de la tangente en x = 3 / 2 est également 3- une conséquence de la valeur moyenne théorème .)

En rapprochant les deux points de sorte que Δ y et Δ x diminuent, la ligne sécante se rapproche plus d'une ligne tangente à la courbe, et en tant que telle, la pente de la sécante se rapproche de celle de la tangente. En utilisant le calcul différentiel , nous pouvons déterminer la limite , ou la valeur à laquelle y /Δ x s'approche lorsque Δ y et Δ x se rapprochent de zéro ; il s'ensuit que cette limite est la pente exacte de la tangente. Si y dépend de x , alors il suffit de prendre la limite où seul Δ x tend vers zéro. Par conséquent, la pente de la tangente est la limite de Δ y /Δ x lorsque Δ x tend vers zéro, ou dy / dx . Nous appelons cette limite la dérivée .

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

Sa valeur en un point de la fonction nous donne la pente de la tangente en ce point. Par exemple, soit y = x ² . Un point sur cette fonction est (-2,4). La dérivée de cette fonction est ^{d y} / _{d x} =2 x . La pente de la droite tangente à y en (-2,4) est donc 2·(-2) = -4. L'équation de cette tangente est : y -4=(-4)( x -(-2)) ou y = -4 x - 4.

Différence de pentes

Une extension de l'idée d'angle découle de la différence des pentes. Considérez la cartographie de cisaillement

${\displaystyle (u,v)=(x,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Alors (1,0) est mappé sur (1, v ). La pente de (1,0) est nulle et la pente de (1, v ) est v. La cartographie de cisaillement a ajouté une pente de v . Pour deux points sur {(1, y ) : y dans R } de pentes m et n , l'image

${\displaystyle (1,y){\begin{pmatrix}1&v\\0&1\end{pmatrix}}=(1,y+v)}$

a une pente augmentée de v , mais la différence n − m de pentes est la même avant et après le cisaillement. Cette invariance des différences de pente fait de la pente une mesure invariante angulaire , à égalité avec l'angle circulaire (invariant sous rotation) et l'angle hyperbolique, avec le groupe d'invariance des mappages de compression .

Voir également

Les références

Liens externes

• "Pente d'une ligne (géométrie de coordonnées)" . Référence ouverte aux mathématiques. 2009 . Consulté le 30 octobre 2016 . interactif