Moyenne d'une fonction - Mean of a function

En calcul , et en particulier en calcul multivariable , la moyenne d' une fonction est vaguement définie comme la valeur moyenne de la fonction sur son domaine . Dans une variable, la moyenne d'une fonction f ( x ) sur l' intervalle ( a , b ) est définie par

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{ba}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

Rappelez-vous qu'une propriété définissant la valeur moyenne d'un nombre fini est que . En d'autres termes, est la valeur constante qui, ajoutée à elle-même fois, est égale au résultat de l'addition des termes . Par analogie, une propriété déterminante de la valeur moyenne d'une fonction sur l'intervalle est que ${\displaystyle {\bar {y}}}$${\displaystyle y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}}$${\displaystyle n{\bar {y}}=y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{n}}$${\displaystyle {\bar {y}}}$${\style d'affichage n}$${\style d'affichage n}$${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$${\displaystyle {\bar {f}}}$${\style d'affichage [a,b]}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\bar {f}}\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

En d'autres termes, est la valeur constante qui, lorsqu'elle est intégrée sur, est égale au résultat de l'intégration sur . Mais l'intégrale d'une constante est juste ${\displaystyle {\bar {f}}}$${\style d'affichage [a,b]}$${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage [a,b]}$${\displaystyle {\bar {f}}}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\bar {f}}\,dx={\bar {f}}x{\bigr |}_{a}^{b}={\bar { f}}b-{\bar {f}}a=(ba){\bar {f}}}$

Voir aussi le premier théorème de la valeur moyenne pour l' intégration , qui garantit que si est continue alors il existe un point tel que ${\style d'affichage f}$${\style d'affichage c\in (a,b)}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(ba)}$

Le point est appelé la valeur moyenne de on . Nous écrivons et réorganisons donc l'équation précédente pour obtenir la définition ci-dessus. ${\style d'affichage f(c)}$${\style d'affichage f(x)}$${\style d'affichage [a,b]}$${\displaystyle {\bar {f}}=f(c)}$

Dans plusieurs variables, la moyenne sur un domaine relativement compact U dans un espace euclidien est définie par

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{{\hbox{Vol}}(U)}}\int _{U}f.}$

Ceci généralise la moyenne arithmétique . D'autre part, il est également possible de généraliser la moyenne géométrique aux fonctions en définissant la moyenne géométrique de f comme étant

${\displaystyle \exp \left({\frac {1}{{\hbox{Vol}}(U)}}\int _{U}\log f\right).}$

Plus généralement, dans la théorie de la mesure et la théorie des probabilités , l'une ou l'autre sorte de moyenne joue un rôle important. Dans ce contexte, l'inégalité de Jensen place des estimations précises sur la relation entre ces deux notions différentes de la moyenne d'une fonction.

Il y a aussi une moyenne harmonique des fonctions et une moyenne quadratique (ou racine carrée moyenne ) des fonctions.

Voir également

• Moyenne