Drapeau (algèbre linéaire) - Flag (linear algebra)

En mathématiques , en particulier dans l' algèbre linéaire , un drapeau est une augmentation de séquence de sous - espaces d'un de dimension finie espace vectoriel V . Ici, "croissant" signifie que chacun est un sous-espace propre du suivant (voir filtration ):

\{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.

Le terme drapeau est motivé par un exemple particulier ressemblant à un drapeau : le point zéro, une ligne et un plan correspondent à un clou, un bâton et une feuille de tissu.

Si nous écrivons que dim V _i = d _i alors nous avons

0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,

où n est la dimension de V (supposée finie). Par conséquent, nous devons avoir k ≤ n . Un indicateur est appelé indicateur complet si d _i = i pour tout i , sinon il est appelé indicateur partiel .

Un indicateur partiel peut être obtenu à partir d'un indicateur complet en supprimant certains des sous-espaces. Inversement, tout indicateur partiel peut être complété (de nombreuses manières différentes) en insérant des sous-espaces appropriés.

La signature du drapeau est la séquence ( d ₁ , …, d _k ).

Socles

Une ordonnée base de V est dit être adapté à un indicateur V ₀ ⊂ V ₁ ⊂ ... ⊂ V _k si les premiers d _i des vecteurs de base forment une base de V _i pour chaque 0 ≤ i ≤ k . Les arguments standard de l'algèbre linéaire peuvent montrer que tout indicateur a une base adaptée.

Toute base ordonnée donne lieu à un indicateur complet en laissant V _i l' étendue des i premiers vecteurs de base. Par exemple, le drapeau norme dansRⁿ est induitepartirlabase standard(e₁, ...,e_n ) oùe_i désigne le vecteur avec un 1 dans laiième entrée et0 ailleurs. Concrètement, le drapeau standard est la séquence de sous-espaces :

0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.

Une base adaptée n'est presque jamais unique (les contre-exemples sont triviaux) ; voir ci-dessous.

Un drapeau complet sur un espace produit interne a une base orthonormée essentiellement unique : il est unique jusqu'à multiplier chaque vecteur par une unité (scalaire de longueur unitaire, par exemple 1, −1, i ). Ceci est plus facile à prouver inductivement , en notant que , qui le définit uniquement à l'unité près. $v_{i}\in V_{i-1}^{\perp }<V_{i}$

Plus abstraitement, il est unique à une action près du tore maximal : le drapeau correspond au groupe de Borel , et le produit scalaire correspond au sous-groupe compact maximal .

Stabilisateur

Le sous - groupe de stabilisation du drapeau standard est le groupe des inversibles triangulaires supérieures matrices .

Plus généralement, le stabilisateur d'un drapeau (les opérateurs linéaires sur V tels que pour tout i ) est, en termes matriciels, l' algèbre des matrices triangulaires supérieures de bloc (par rapport à une base adaptée), où les tailles de blocs . Le sous-groupe stabilisateur d'un drapeau complet est l'ensemble des matrices triangulaires supérieures inversibles par rapport à toute base adaptée au drapeau. Le sous-groupe des matrices triangulaires inférieures par rapport à une telle base dépend de cette base et ne peut donc pas être caractérisé en termes de drapeau uniquement. ${\style d'affichage T(V_{i})<V_{i}}$ $d_{i}-d_{i-1}$

Le sous-groupe stabilisateur de tout drapeau complet est un sous-groupe de Borel (du groupe linéaire général ), et le stabilisateur de tout drapeau partiel est un sous-groupe parabolique .

Le sous-groupe stabilisateur d'un drapeau agit simplement de manière transitive sur des bases adaptées pour le drapeau, et donc celles-ci ne sont pas uniques à moins que le stabilisateur ne soit trivial. C'est une circonstance très exceptionnelle : cela n'arrive que pour un espace vectoriel de dimension 0, ou pour un espace vectoriel sur de dimension 1 (précisément les cas où il n'existe qu'une seule base, indépendamment de tout drapeau). $\mathbf {F} _{2}$

Nid subspatial

Dans un espace de dimension infinie V , tel qu'utilisé en analyse fonctionnelle , l'idée de drapeau se généralise à un nid de sous - espace , à savoir une collection de sous-espaces de V qui est un ordre total d' inclusion et qui est en outre fermé sous des intersections arbitraires et des portées linéaires fermées. Voir algèbre de nid .

Analogues de la théorie des ensembles

Du point de vue du corps à un élément , un ensemble peut être vu comme un espace vectoriel sur le corps à un élément : cela formalise diverses analogies entre les groupes de Coxeter et les groupes algébriques .

Sous cette correspondance, un ordre sur un ensemble correspond à un drapeau maximal : un ordre équivaut à une filtration maximale d'un ensemble. Par exemple, la filtration (drapeau) correspond à la commande . $\{0\}\sous-ensemble \{0,1\}\sous-ensemble \{0,1,2\}$ ${\style d'affichage (0,1,2)}$