Sous-groupe compact maximal - Maximal compact subgroup

En mathématiques , un sous-groupe compact maximal K d'un groupe topologique G est un sous - groupe K qui est un espace compact , dans la topologie du sous - espace , et maximal parmi ces sous-groupes.

Les sous-groupes compacts maximaux jouent un rôle important dans la classification des groupes de Lie et en particulier des groupes de Lie semi-simples. Maximal sous - groupes compacts de groupes de Lie sont pas en général unique, mais sont en hausse unique de conjugaison - ils sont essentiellement uniques .

Exemple

Un exemple serait le sous-groupe O (2), le groupe orthogonal , à l'intérieur du groupe linéaire général GL (2, R ). Un exemple connexe est le groupe de cercles SO (2) à l'intérieur de SL (2, R ) . Evidemment SO (2) à l'intérieur de GL (2, R ) est compact et non maximal. La non-unicité de ces exemples peut être vue comme tout produit interne a un groupe orthogonal associé, et l'unicité essentielle correspond à l'unicité essentielle du produit interne.

Définition

Un sous-groupe compact maximal est un sous-groupe maximal parmi des sous-groupes compacts - un maximum (sous-groupe compact) - plutôt que d'être (lecture alternative possible) un sous-groupe maximal qui se trouve être compact; ce qui serait probablement appelé un compact (sous-groupe maximal) , mais en tout cas n'est pas le sens voulu (et en fait les sous-groupes propres maximaux ne sont pas en général compacts).

Existence et unicité

Le théorème de Cartan-Iwasawa-Malcev affirme que chaque groupe de Lie connecté (et en fait chaque groupe localement compact connecté) admet des sous-groupes compacts maximaux et qu'ils sont tous conjugués les uns aux autres. Pour un groupe de Lie semi - simple, l' unicité est une conséquence du théorème de point fixe de Cartan , qui affirme que si un groupe compact agit par isométries sur une variété riemannienne entièrement simplement connectée négativement incurvée , alors il a un point fixe.

Maximal sous - groupes compacts de groupes de Lie connexes sont généralement pas unique, mais qu'ils sont uniques à la conjugaison, ce qui signifie que donné deux sous - groupes compacts maximaux K et L , il y a un élément g ∈ G tel que Gkg ^-1 = L . Par conséquent, un sous-groupe compact maximal est essentiellement unique , et les gens parlent souvent du sous-groupe compact maximal.

Pour l'exemple du groupe linéaire général GL ( n , R ), cela correspond au fait que tout produit interne sur R ⁿ définit un groupe orthogonal (compact) (son groupe isométrique) - et qu'il admet une base orthonormée: le changement de base définit l'élément conjuguant conjuguant le groupe d'isométrie au groupe orthogonal classique O ( n , R ).

Preuves

Pour un vrai groupe de Lie semi-simple, la preuve de Cartan de l'existence et de l'unicité d'un sous-groupe compact maximal peut être trouvée dans Borel (1950) et Helgason (1978) . Cartier (1955) et Hochschild (1965) discutent de l'extension aux groupes de Lie connectés et aux groupes localement compacts connectés.

Pour les groupes semi-simples, l'existence est une conséquence de l'existence d'une forme réelle compacte du groupe de Lie semi-simple non compact et de la décomposition de Cartan correspondante . La preuve de l'unicité repose sur le fait que l' espace symétrique riemannien correspondant G / K a une courbure négative et le théorème de point fixe de Cartan. Mostow (1955) a montré que la dérivée de l'application exponentielle en tout point de G / K satisfait | d exp X | ≥ | X |. Cela implique que G / K est un espace de Hadamard , c'est-à-dire un espace métrique complet satisfaisant une forme affaiblie de la règle de parallélogramme dans un espace euclidien. L'unicité peut alors être déduite du théorème du point fixe de Bruhat-Tits . En effet, tout ensemble fermé borné dans un espace Hadamard est contenu dans une plus petite boule fermée unique, dont le centre est appelé son circumcenter . En particulier, un groupe compact agissant par isométries doit fixer le circumcenter de chacune de ses orbites.

Preuve d'unicité pour les groupes semi-simples

Mostow (1955) a également lié le problème général des groupes semi-simples au cas de GL ( n , R ). L'espace symétrique correspondant est l'espace des matrices symétriques positives. Une preuve directe d'unicité reposant sur les propriétés élémentaires de cet espace est donnée dans Hilgert & Neeb (2012) .

Soit une véritable algèbre de Lie semi-simple avec involution de Cartan σ. Ainsi le sous - groupe en virgule fixe de σ est le sous-groupe compact maximal K et il y a une décomposition en espace propre ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ displaystyle {{\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {k}} \ oplus {\ mathfrak {p}},}}$

où , l'algèbre de Lie de K , est l'espace propre +1. La décomposition de Cartan donne ${\ displaystyle {\ mathfrak {k}}}$

${\ displaystyle \ displaystyle {G = K \ cdot \ exp {\ mathfrak {p}} = K \ cdot P = P \ cdot K.}}$

Si B est la forme de Killing sur donnée par B ( X , Y ) = Tr (ad X) (ad Y), puis ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ displaystyle {(X, Y) _ {\ sigma} = - B (X, \ sigma (Y))}}$

est un vrai produit intérieur sur . Sous la représentation adjointe, K est le sous-groupe de G qui préserve ce produit interne. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Si H est un autre sous - groupe compact de G , puis la moyenne du produit intérieur sur H par rapport à la mesure de Haar donne un invariant produit intérieur sous H . Les opérateurs Ad p avec p dans P sont des opérateurs symétriques positifs. Ce nouveau produit intérieur peut être écrit comme

${\ displaystyle (S \ cdot X, Y) _ {\ sigma},}$

où S est un opérateur symétrique positif sur tel que Ad ( h ) ^t S Ad h = S pour h dans H (avec les transposés calculés par rapport au produit intérieur). De plus, pour x dans G , ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ displaystyle {\ mathrm {Ad} \, \ sigma (x) = (\ mathrm {Ad} \, (x) ^ {- 1}) ^ {t}.}}$

Donc pour h dans H ,

${\ displaystyle \ displaystyle {S \ circ \ mathrm {Ad} (\ sigma (h)) = \ mathrm {Ad} (h) \ circ S.}}$

Pour X dans définir ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

${\ displaystyle \ displaystyle {f (e ^ {X}) = \ mathrm {Tr} \, \ mathrm {Ad} (e ^ {X}) S.}}$

Si e _i est une base orthonormée de vecteurs propres pour S avec Se _i = λ _i e _i , alors

${\ displaystyle \ displaystyle {f (e ^ {X}) = \ sum \ lambda _ {i} (\ mathrm {Ad} (e ^ {X}) e_ {i}, e_ {i}) _ {\ sigma } \ geq (\ min \ lambda _ {i}) \ cdot \ mathrm {Tr} \, e ^ {\ mathrm {ad} \, X},}}$

de sorte que f est strictement positif et tend vers ∞ comme | X | tend à ∞. En fait cette norme est équivalente à la norme de l'opérateur sur les opérateurs symétriques ad X et chaque valeur propre non nulle se produit avec son négatif, puisque i ad X est un opérateur skew-adjoint sur la forme réelle compacte . ${\ displaystyle {\ mathfrak {k}} \ oplus i {\ mathfrak {p}}}$

Donc f a un minimum global en Y disons. Ce minimum est unique, car si Z était un autre alors

${\ displaystyle \ displaystyle {e ^ {Z} = e ^ {Y / 2} e ^ {X} e ^ {Y / 2},}}$

où X in est défini par la décomposition de Cartan ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

${\ displaystyle \ displaystyle {e ^ {Z / 2} e ^ {- Y / 2} = k \ cdot e ^ {X / 2}.}}$

Si f _i est une base orthonormée de vecteurs propres de ad X avec des valeurs propres réelles correspondantes μ _i , alors

${\ displaystyle \ displaystyle {g (t) = f (e ^ {Y / 2} e ^ {tX} e ^ {Y / 2}) = \ sum e ^ {\ mu _ {i} t} \ | Annonce (e ^ {Y / 2}) f_ {i} \ | _ {\ sigma} ^ {2}.}}$

Puisque le côté droit est une combinaison positive d'exponentielles, la fonction à valeur réelle g est strictement convexe si X ≠ 0, a donc un minimum unique. D'autre part, il a des minima locaux à t = 0 et t = 1, donc X = 0 et p = exp Y est le minimum global unique. Par construction f ( x ) = f (σ ( h ) xh ^-1 ) pour h en H , de sorte que p = σ ( h ) ph ^-1 pour h dans H . D'où σ ( h ) = php ⁻¹ . Par conséquent, si g = exp Y / 2, geS ^-1 est fixé par σ et donc se trouve dans K .

Applications

Théorie de la représentation

Les sous-groupes compacts maximaux jouent un rôle de base dans la théorie des représentations lorsque G n'est pas compact. Dans ce cas, un sous-groupe compact maximal K est un groupe de Lie compact (puisqu'un sous-groupe fermé d'un groupe de Lie est un groupe de Lie), pour lequel la théorie est plus facile.

Les opérations relatives aux théories de représentation de G et K sont restreignaient représentations de G à K , et induire des représentations de K à G , et ceux - ci sont tout à fait bien compris; leur théorie inclut celle des fonctions sphériques .

Topologie

La topologie algébrique est également en grande partie réalisée des groupes de Lie par un sous - groupe compact maximal K . Pour être précis, un groupe de Lie connexe est un produit topologique (mais pas un produit théorique de groupe) d'un compact maximal K et d'un espace euclidien - G = K × R ^d - donc en particulier K est un retrait de déformation de G, et est homotopie équivalente , et donc ils ont les mêmes groupes d'homotopie . En effet, l'inclusion et la rétraction de déformation sont des équivalences d'homotopie . ${\ displaystyle K \ hookrightarrow G}$${\ displaystyle G \ twoheadrightarrow K}$

Pour le groupe linéaire général, cette décomposition est la décomposition QR , et la rétraction de déformation est le processus de Gram-Schmidt . Pour un groupe de Lie semi-simple général, la décomposition est la décomposition d'Iwasawa de G comme G = KAN dans laquelle K apparaît dans un produit avec un sous- groupe contractible AN .

Voir également

• Sous-groupe hyperspécial
• Groupe de Lie complexe

Remarques

Les références

• Borel, Armand (1950), Sous-groupes compacts maximaux des groupes de Lie (Exposé n ° 33) , Séminaire Bourbaki, 1
• Cartier, P. (1955), Structure topologique des groupes de Lie généraux (Exposé n ° 22) , Séminaire "Sophus Lie", 1
• Dieudonné, J. (1977), Groupes de Lie compacts et groupes de Lie semi-simples, Chapitre XXI , Traité d'analyse, 5 , Presse académique, ISBN 012215505X
• Helgason, Sigurdur (1978), Géométrie différentielle, groupes de mensonges et espaces symétriques , Academic Press, ISBN 978-0-12-338460-7
• Hilgert, Joachim; Neeb, Karl-Hermann (2012), Structure et géométrie des groupes de Lie , monographies Springer en mathématiques, Springer, ISBN 0387847944
• Hochschild, G. (1965), La structure des groupes de Lie , Holden-Day
• Mostow, GD (1955), Quelques nouveaux théorèmes de décomposition pour les groupes semi-simples , Mem. Amer. Math. Soc., 14 , p. 31–54
• Onishchik, AL; Vinberg, EB (1994), Lie Groups and Lie Algebras III: Structure of Lie Groups and Lie Algebras , Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 41 , Springer, ISBN 9783540546832
• Malcev, A. (1945), "Sur la théorie des groupes de Lie dans le grand", Mat. Sbornik , 16 : 163–189
• Iwasawa, K. (1949), "Sur certains types de groupes topologiques", Ann. des mathématiques. , 50 : 507–558, doi : 10.2307 / 1969548