Variété de drapeau généralisée - Generalized flag variety

En mathématiques , une variété drapeau généralisée (ou simplement variété drapeau ) est un espace homogène dont les points sont des drapeaux dans un espace vectoriel de dimension finie V sur un corps F . Lorsque F est le nombre réel ou complexe, une variété de drapeaux généralisée est une variété lisse ou complexe , appelée variété de drapeaux réelle ou complexe . Les variétés drapeau sont des variétés naturellement projectives .

Les variétés de drapeaux peuvent être définies à divers degrés de généralité. Un prototype est la variété de drapeaux complets dans un espace vectoriel V sur un champ F , qui est une variété de drapeaux pour le groupe linéaire spécial sur F . D'autres variétés de drapeaux apparaissent en considérant des drapeaux partiels, ou par restriction du groupe linéaire spécial à des sous-groupes tels que le groupe symplectique . Pour les drapeaux partiels, il faut spécifier la séquence de dimensions des drapeaux considérés. Pour les sous-groupes du groupe linéaire, des conditions supplémentaires doivent être imposées aux drapeaux.

Au sens le plus général, une variété drapeau généralisée est définie pour signifier une variété homogène projective , c'est-à-dire une variété projective lisse X sur un corps F avec une action transitive d'un groupe réducteur G (et un sous-groupe stabilisateur lisse ; ce n'est pas une restriction pour F de caractéristique zéro). Si X a un point F - rationnel , alors il est isomorphe à G / P pour un sous - groupe parabolique P de G . Une variété homogène projective peut également être réalisée comme l'orbite d'un vecteur de poids le plus élevé dans une représentation projectivisée de G . Les variétés homogènes projectives complexes sont les espaces modèles plats compacts pour les géométries de Cartan de type parabolique. Ce sont des variétés riemanniennes homogènes sous tout sous-groupe compact maximal de G , et ce sont précisément les orbites coadjointes des groupes de Lie compacts .

Les variétés de drapeaux peuvent être des espaces symétriques . Sur les nombres complexes, les variétés drapeau correspondantes sont les espaces symétriques hermitiens . Sur les nombres réels, un R -space est synonyme d'une variété de drapeaux réels et les espaces symétriques correspondants sont appelés R -spaces symétriques .

Drapeaux dans un espace vectoriel

Un drapeau dans un espace vectoriel de dimension finie V sur un champ F est une séquence croissante de sous - espaces , où « croissant » signifie que chacun est un sous-espace propre du suivant (voir filtration ):

${\displaystyle \{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.}$

Si nous écrivons le dim V _i = d _i alors nous avons

${\displaystyle 0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,}$

où n est la dimension de V . Par conséquent, nous devons avoir k ≤ n . Un indicateur est appelé indicateur complet si d _i = i pour tout i , sinon il est appelé indicateur partiel . La signature du drapeau est la séquence ( d ₁ , …, d _k ).

Un indicateur partiel peut être obtenu à partir d'un indicateur complet en supprimant certains des sous-espaces. Inversement, tout indicateur partiel peut être complété (de nombreuses manières différentes) en insérant des sous-espaces appropriés.

Prototype : la variété de drapeaux complète

Selon les résultats de base de l'algèbre linéaire , deux drapeaux complets dans un espace vectoriel à n dimensions V sur un champ F ne sont pas différents les uns des autres d'un point de vue géométrique. C'est-à-dire que le groupe linéaire général agit transitivement sur l'ensemble de tous les drapeaux complets.

Fixer une base ordonnée pour V , en l'identifiant à F ⁿ , dont le groupe linéaire général est le groupe GL( n , F ) de n × n matrices inversibles. Le drapeau standard associé à cette base est celui où le i  ème sous-espace est couvert par les i premiers vecteurs de la base. Par rapport à cette base, le stabilisateur du drapeau standard est le groupe des matrices triangulaires inférieures non singulières , que l'on note B _n . La variété drapeau complète peut donc s'écrire comme un espace homogène GL( n , F ) / B _n , ce qui montre notamment qu'elle a pour dimension n ( n −1)/2 sur F .

Notez que les multiples de l'identité agissent trivialement sur tous les drapeaux, et donc on peut restreindre l'attention au groupe linéaire spécial SL( n , F ) de matrices avec un déterminant, qui est un groupe algébrique semi-simple ; l'ensemble des matrices triangulaires inférieures de déterminant un est un sous-groupe de Borel .

Si le champ F correspond aux nombres réels ou complexes on peut introduire un produit scalaire sur V tel que la base choisie soit orthonormée . Tout indicateur complet se divise ensuite en une somme directe de sous-espaces à une dimension en prenant des compléments orthogonaux. Il s'ensuit que la variété de drapeaux complète sur les nombres complexes est l' espace homogène

${\style d'affichage U(n)/T^{n}}$

où U( n ) est le groupe unitaire et T ⁿ est le n -tore des matrices unitaires diagonales. Il existe une description similaire sur les nombres réels avec U( n ) remplacé par le groupe orthogonal O( n ), et T ⁿ par les matrices orthogonales diagonales (qui ont des entrées diagonales ±1).

Variétés à drapeau partiel

La variété à drapeau partiel

${\displaystyle F(d_{1},d_{2},\ldots d_{k},\mathbb {F} )}$

est l'espace de tous les drapeaux de signature ( d ₁ , d ₂ , … d _k ) dans un espace vectoriel V de dimension n = d _k sur F . La variété de drapeau complète est le cas particulier où d _i = i pour tout i . Lorsque k =2, il s'agit d'un Grassmannien de d sous-espaces de dimension ₁ de V .

C'est un espace homogène pour le groupe linéaire général G de V sur F . Pour être explicite, prenons V = F ^{n de} sorte que G = GL( n , F ). Le stabilisateur d'un drapeau de sous-espaces imbriqués V _i de dimension d _i peut être considéré comme le groupe de matrices triangulaires inférieures de blocs non singuliers , où les dimensions des blocs sont n _i  := d _i − d _{i −1} (avec d ₀ = 0).

En se limitant aux matrices du déterminant un, il s'agit d'un sous-groupe parabolique P de SL( n , F ), et donc la variété de drapeau partiel est isomorphe à l'espace homogène SL( n , F )/ P .

Si F est le nombre réel ou complexe, alors un produit scalaire peut être utilisé pour diviser n'importe quel drapeau en une somme directe, et donc la variété de drapeau partiel est également isomorphe à l'espace homogène

${\displaystyle U(n)/U(n_{1})\times \cdots \times U(n_{k})}$

dans le cas complexe, ou

${\displaystyle O(n)/O(n_{1})\times \cdots \times O(n_{k})}$

dans le cas réel.

Généralisation aux groupes semi-simples

Les matrices triangulaires supérieures du déterminant un sont un sous-groupe de Borel de SL( n , F ), et donc les stabilisateurs des drapeaux partiels sont des sous-groupes paraboliques. De plus, un drapeau partiel est déterminé par le sous-groupe parabolique qui le stabilise.

Par conséquent, plus généralement, si G est un groupe algébrique ou de Lie semi - simple , alors la variété drapeau (généralisée) pour G est G / P où P est un sous-groupe parabolique de G . La correspondance entre les sous-groupes paraboliques et les variétés de drapeaux généralisées permet de comprendre chacun en fonction de l'autre.

L'extension de la terminologie "variété de drapeaux" est raisonnable, car les points de G / P peuvent toujours être décrits à l'aide de drapeaux. Lorsque G est un groupe classique , tel qu'un groupe symplectique ou un groupe orthogonal , cela est particulièrement transparent. Si ( V , ω ) est un espace vectoriel symplectique alors un drapeau partiel en V est isotrope si la forme symplectique nulle sur les sous - espaces propres de V dans le pavillon. Le stabilisateur d'un drapeau isotrope est un sous-groupe parabolique du groupe symplectique Sp( V , ω ). Pour les groupes orthogonaux, il existe une image similaire, avec quelques complications. Premièrement, si F n'est pas algébriquement clos, alors les sous-espaces isotropes peuvent ne pas exister : pour une théorie générale, il faut utiliser les groupes orthogonaux scindés . Deuxièmement, pour les espaces vectoriels de dimension paire 2 m , les sous-espaces isotropes de dimension m se présentent sous deux formes (« auto-dual » et « anti-auto-dual ») et il faut les distinguer pour obtenir un espace homogène.

Cohomologie

Si G est un groupe de Lie compact et connexe, il contient un tore maximal T et l'espace G / T des ensembles de gauche avec la topologie quotient est une variété réelle compacte. Si H est un autre sous-groupe fermé et connexe de G contenant T , alors G / H est une autre variété réelle compacte. (Les deux sont en fait des espaces homogènes complexes de manière canonique grâce à la complexification .)

La présence d'une structure complexe et d' une (co)homologie cellulaire permettent de voir facilement que l' anneau de cohomologie de G / H est concentré en degrés pairs, mais en fait, on peut dire quelque chose de beaucoup plus fort. Puisque G → G/H est un H- fibré principal , il existe une application de classement G / H → BH avec pour cible l' espace de classement BH . Si nous remplaçons G / H par le quotient d'homotopie G _H dans la séquence G → G/H → BH , nous obtenons un G -fibré principal appelé fibration de Borel de l'action de multiplication droite de H sur G , et nous pouvons utiliser la cohomologie Séquence spectrale de Serre de ce fibré pour comprendre l' homomorphisme fibre-restriction H *( G / H ) → H *( G ) et l'application caractéristique H *( BH ) → H *( G / H ), ainsi appelée à cause de son image, le sous - anneau caractéristique de H *( G / H ), porte les classes caractéristiques du fibré d'origine H → G → G / H .

Restreignons maintenant notre anneau de coefficients à un corps k de caractéristique zéro, de sorte que, d'après le théorème de Hopf , H *( G ) est une algèbre extérieure sur les générateurs de degré impair (le sous-espace des éléments primitifs ). Il s'ensuit que les homomorphismes de bord

${\displaystyle E_{r+1}^{0,r}\to E_{r+1}^{r+1,0}}$

de la séquence spectrale doit éventuellement prendre l'espace des éléments primitifs dans la colonne de gauche H *( G ) de la page E ₂ bijectivement dans la ligne du bas H *( BH ) : on sait que G et H ont le même rang , donc si la collection d'homomorphismes de bord n'étaient pas de rang complet sur le sous-espace primitif, alors l'image de la rangée inférieure H *( BH ) dans la page finale H *( G / H ) de la séquence serait de dimension infinie comme un k -espace vectoriel , ce qui est impossible, par exemple encore par cohomologie cellulaire , car un espace homogène compact admet une structure CW finie .

Ainsi l'application annulaire H *( G / H ) → H *( G ) est triviale dans ce cas, et l'application caractéristique est surjective, de sorte que H *( G / H ) est un quotient de H *( BH ). Le noyau de l'application est l'idéal généré par les images des éléments primitifs sous les homomorphismes de bord, qui est aussi l'idéal généré par les éléments de degré positif dans l'image de l'application canonique H *( BG ) → H *( BH ) induite par l'inclusion de H dans G .

L'application H *( BG ) → H *( BT ) est injective, et de même pour H , avec image le sous-anneau H *( BT ) ^{W ( G )} d'éléments invariants sous l'action du groupe de Weyl , on obtient donc finalement le description concise

${\displaystyle H^{*}(G/H)\cong H^{*}(BT)^{W(H)}/{\big (}{\widetilde {H}}^{*}(BT) ^{W(G)}{\grand )},}$

où désigne des éléments de degré positif et les parenthèses la génération d'un idéal. Par exemple, pour la variété à drapeau complexe complète U ( n )/ T ⁿ , on a ${\displaystyle {\widetilde {H}}^{*}}$

${\displaystyle H^{*}{\big (}U(n)/T^{n}{\big )}\cong \mathbb {Q} [t_{1},\ldots ,t_{n}]/ (\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}),}$

où les t _j sont de degré 2 et les _j sont les n premiers polynômes élémentaires symétriques dans les variables t _j . Pour un exemple plus concret, prenons n = 2, de sorte que U ( 2 )/[ U (1) × U (1)] est le complexe grassmannien Gr(1,ℂ ² ) ≈ ℂ P ¹ ≈ S ² . Ensuite, nous nous attendons à ce que l'anneau de cohomologie soit une algèbre extérieure sur un générateur de degré deux (la classe fondamentale ), et en effet,

${\displaystyle H^{*}{\big (}U(2)/T^{2}{\big )}\cong \mathbb {Q} [t_{1},t_{2}]/(t_{ 1}+t_{2},t_{1}t_{2})\cong \mathbb {Q} [t_{1}]/(t_{1}^{2}),}$

comme espéré.

Orbites de poids les plus élevées et variétés homogènes projectives

Si G est un groupe algébrique semi-simple (ou groupe de Lie) et V est une représentation de poids le plus élevé (de dimension finie) de G , alors l'espace de poids le plus élevé est un point dans l' espace projectif P( V ) et son orbite sous l'action de G est une variété algébrique projective . Cette variété est une variété de drapeau (généralisée), et de plus, chaque variété de drapeau (généralisée) pour G apparaît de cette manière.

Armand Borel a montré que ce qui caractérise les variétés de drapeau d'un groupe algébrique semisimple général G : ce sont précisément les complets espaces homogènes de G , ou (dans ce qui revient au contexte), le projective homogène G -varieties.

Espaces symétriques

Soit G un groupe de Lie semi-simple de sous-groupe compact maximal K . Alors K transitif sur une classe de conjugaison de sous - groupes paraboliques, et par conséquent la variété généralisée de drapeau G / P est un compact et homogène variété riemannienne K / ( K ∩ P ) avec le groupe isométrie K . De plus, si G est un groupe de Lie complexe, G / P est une variété de Kähler homogène .

En retournant cela, les espaces homogènes riemanniens

M = K / ( K ∩ P )

admettent un groupe de transformations de Lie strictement plus grand, à savoir G . Spécialisée dans le cas où M est un espace symétrique , cette observation donne tous les espaces symétriques admettant un tel groupe de symétrie, et ces espaces ont été classés par Kobayashi et Nagano.

Si G est un groupe de Lie complexe, les espaces symétriques M ainsi créés sont les espaces symétriques hermitiens compacts : K est le groupe d'isométrie, et G est le groupe de biholomorphisme de M .

Sur les nombres réels, une variété de drapeaux réels est également appelée espace R, et les espaces R qui sont des espaces symétriques riemanniens sous K sont appelés espaces R symétriques. Les R-espaces symétriques qui ne sont pas à symétrie hermitienne sont obtenus en prenant G comme forme réelle du groupe de biholomorphisme G ^c d'un espace à symétrie hermitienne G ^c / P ^c tel que P  := P ^c ∩ G est un sous-groupe parabolique de G . Les exemples incluent les espaces projectifs (avec G le groupe des transformations projectives ) et les sphères (avec G le groupe des transformations conformes ).

Voir également

• Algèbre de Lie parabolique
• Décomposition de Bruhat

Les références

• Robert J. Baston et Michael G. Eastwood, The Penrose Transform : its Interaction with Representation Theory , Oxford University Press, 1989.
• Jürgen Berndt, Actions de groupe de Lie sur les variétés , Notes de cours, Tokyo, 2002.
• Jürgen Berndt, Sergio Console et Carlos Olmos, Sous-variétés et holonomie , Chapman & Hall/CRC Press, 2003.
• Michel Brion, Cours sur la géométrie des variétés de drapeaux , Notes de cours, Varsovie, 2003.
• James E. Humphreys, Groupes algébriques linéaires , Textes d'études supérieures en mathématiques, 21, Springer-Verlag, 1972.
• S. Kobayashi et T. Nagano, Sur les algèbres de Lie filtrées et les structures géométriques I, II, J. Math. Méca. 13 (1964), 875-907, 14 (1965) 513-521.