Rupture de fil fluide - Fluid thread breakup

La rupture du fil de fluide est le processus par lequel une seule masse de fluide se brise en plusieurs masses de fluide plus petites. Le processus est caractérisé par l'allongement de la masse fluide formant des régions minces et filiformes entre de plus gros nodules de fluide. Les régions filiformes continuent de s'amincir jusqu'à ce qu'elles se brisent, formant des gouttelettes individuelles de fluide.

La rupture du fil se produit lorsque deux fluides ou un fluide sous vide forment une surface libre avec une énergie de surface . Si plus de surface est présente que le minimum requis pour contenir le volume de fluide, le système a un excès d' énergie de surface . Un système qui n'est pas à l'état d'énergie minimum tentera de se réorganiser de manière à se déplacer vers l'état d'énergie inférieur, conduisant à la rupture du fluide en plus petites masses pour minimiser l'énergie de surface du système en réduisant la surface. Le résultat exact du processus de rupture du fil dépend de la tension superficielle , de la viscosité , de la densité et du diamètre du fil subissant la rupture.

Histoire

L'examen de la formation de gouttelettes a une longue histoire, d'abord imputable aux travaux de Léonard de Vinci qui a écrit :

"Comment l'eau a de la ténacité en elle-même et de la cohésion entre ses particules. […] Cela se voit dans le processus d'une goutte qui se détache du reste, ce reste étant étiré aussi loin que possible par le poids de la goutte qui s'étend et après que la goutte ait été séparée de cette masse, la masse revient vers le haut avec un mouvement contraire à la nature des choses lourdes. »

Il attribue ainsi à juste titre la chute des gouttelettes à la gravité et le mécanisme qui entraîne la rupture des fils à la cohésion des molécules d'eau.

La première analyse correcte de la rupture du fil fluide a été déterminée qualitativement par Thomas Young et mathématiquement par Pierre-Simon Laplace entre 1804 et 1805. Ils ont correctement attribué le moteur de la rupture du fil aux propriétés de tension superficielle . Par ailleurs, ils ont également déduit l'importance de la courbure moyenne dans la création de surpression dans le fil fluide. A travers leur analyse, ils ont montré que la tension superficielle peut se comporter de deux manières : un mécanisme élastique pouvant supporter une gouttelette pendante et un mécanisme de pression dû à la pression capillaire qui favorise la rupture du fil.

Dans les années 1820, le physicien et ingénieur hydraulique italien Giorgio Bidone étudie la déformation de jets d'eau sortant d'orifices de formes diverses. Félix Savart a suivi en 1833 avec des travaux expérimentaux, utilisant la technique stroboscopique pour mesurer quantitativement la rupture des fils. Il a noté que la rupture est un processus spontané, se produisant sans stimuli externes. Ce travail lui a permis de déterminer que les gouttelettes sont produites à partir d'un jet s'écoulant d'un réservoir à un débit distinct inversement proportionnel au rayon de la buse et proportionnel à la pression dans le réservoir. Ces observations ont facilité le travail de Joseph Plateau qui a établi la relation entre la dislocation du jet et l'énergie de surface . Plateau a pu déterminer la longueur d'onde de perturbation la plus instable sur le fil de fluide, qui a ensuite été révisée par Lord Rayleigh pour tenir compte de la dynamique des jets.

Au fur et à mesure que la perturbation de surface devient importante, la théorie non linéaire doit être appliquée. Le comportement des jets avec de grandes perturbations a été examiné expérimentalement par Magnus et Lenard . Leurs expériences ont permis de caractériser les gouttelettes satellites, gouttelettes produites en plus de la grosse gouttelette principale, grâce à l'introduction de la photographie à grande vitesse. La photographie à grande vitesse est maintenant la méthode standard pour analyser expérimentalement la rupture des fils.

Avec l'avènement d'une plus grande puissance de calcul, les simulations numériques ont commencé à remplacer les efforts expérimentaux comme principal moyen de comprendre la rupture des fluides. Cependant, il reste difficile de suivre avec précision la surface libre de nombreux liquides en raison de son comportement complexe. Le plus grand succès s'est produit avec des fluides de viscosité faible et élevée où la méthode intégrale de frontière peut être utilisée car la fonction de Green pour les deux cas est connue. Dommermuth et Yue ont caractérisé l'écoulement irrotationnel et non visqueux par cette méthode, tout comme Schulkes. Youngren et Acrivos ont étudié le comportement d'une bulle dans un liquide à haute viscosité. Stone et Leal ont élargi ce travail initial pour examiner la dynamique des gouttes individuelles. Pour les fluides de viscosité moyenne, des simulations complètes utilisant les équations de Navier-Stokes sont nécessaires avec des méthodes déterminant la surface libre telles que la mise à niveau et le volume de fluide. Les premiers travaux avec des simulations complètes de Navier-Stokes ont été effectués par Fromm, qui s'est concentré sur la technologie jet d' encre . De telles simulations restent un domaine de recherche actif.

Mécanisme physique de la rupture des threads

Le processus subi par un fil ou un jet de fluide subissant la rupture d'une masse plus grande à une masse plus petite.

Le processus de rupture dans un filet ou un jet de fluide commence par le développement de petites perturbations sur la surface libre du fluide. C'est ce qu'on appelle la théorie linéaire de la rupture de fil fluide. Ces perturbations sont toujours présentes et peuvent être générées par de nombreuses sources dont des vibrations du réservoir de fluide ou une non-uniformité de la contrainte de cisaillement sur la surface libre. En général, ces perturbations prennent une forme arbitraire et sont donc difficiles à considérer avec rigueur. Il est donc utile de prendre une transformée de Fourier des perturbations pour décomposer les perturbations arbitraires en perturbations de différentes longueurs d'onde uniques à la surface du fil. Ce faisant, cela permet de déterminer quelles longueurs d'onde de la perturbation augmenteront et lesquelles diminueront dans le temps.

La croissance et la décroissance des longueurs d'onde peuvent être déterminées en examinant le changement de pression qu'une longueur d'onde de perturbation impose à l'intérieur du fil de fluide. Les modifications de la pression interne du filetage sont induites par la pression capillaire lorsque la surface libre du filetage se déforme. La pression capillaire est fonction de la courbure moyenne de l'interface à un endroit donné de la surface, ce qui signifie que la pression dépend des deux rayons de courbure qui donnent la forme de la surface. Dans la zone amincie d'un fil fluide en cours de rupture, le premier rayon de courbure est plus petit que le rayon de courbure dans la zone épaissie, conduisant à un gradient de pression qui aurait tendance à forcer le liquide des zones amincies vers les zones épaissies. Cependant, le deuxième rayon de courbure reste important pour le processus de rupture. Pour certaines longueurs d'onde de perturbation, l'effet du deuxième rayon de courbure peut surmonter l'effet de pression du premier rayon de courbure, induisant une pression plus importante dans les régions épaissies que dans les régions amincies. Cela repousserait le fluide vers les régions amincies et tendrait à ramener le fil à sa forme d'origine non perturbée. Cependant, pour d'autres longueurs d'onde de perturbation, la pression capillaire induite par le deuxième rayon de courbure va renforcer celle du premier rayon de courbure. Cela entraînera le fluide des régions amincies vers les régions épaissies et favorisera davantage la rupture du fil.

Rayons de courbure d'un fil en cours de rupture. Le bleu représente le premier rayon de courbure et le rouge le deuxième rayon de courbure aux emplacements amincis et épaissis.

La longueur d'onde de la perturbation est donc le paramètre critique pour déterminer si un fil de fluide donné se décomposera en de plus petites masses de fluide. Un examen mathématique rigoureux des longueurs d'onde de perturbation peut conduire à une relation montrant quelles longueurs d'onde sont stables pour un fil donné ainsi que quelles longueurs d'onde de perturbation croîtront le plus rapidement. La taille des masses fluides résultant de la rupture d'un fil fluide peut être approchée par les longueurs d'onde de la perturbation qui croissent le plus rapidement.

Comportement non linéaire

Alors que la théorie linéaire est utile pour considérer la croissance de petites perturbations sur la surface libre, lorsque les perturbations se développent pour avoir une amplitude significative, les effets non linéaires commencent à dominer le comportement de rupture. Le comportement non linéaire du fil régit sa rupture finale et détermine finalement la forme finale et le nombre des masses fluides résultantes.

La non-linéarité est capturée par l'utilisation de l' auto-similitude . L'auto-similarité suppose que le comportement du filetage fluide lorsque le rayon approche de zéro est le même que le comportement du filetage fluide lorsqu'il a un rayon fini. Une compréhension détaillée du comportement des threads non linéaires nécessite l'utilisation d' expansions asymptotiques pour générer le comportement de mise à l'échelle approprié. De nombreuses solutions ont été trouvées pour le comportement non linéaire des fils fluides en fonction des forces qui sont pertinentes dans des circonstances particulières.

Paramètres importants

Comment un fil fluide ou jet subit une rupture est régi par plusieurs paramètres parmi lesquels le nombre de Reynolds , le nombre de Weber , numéro Ohnesorge , et la perturbation de longueur d' onde . Bien que ces nombres soient courants en mécanique des fluides, les paramètres sélectionnés comme échelles doivent être appropriés à la rupture du fil. L'échelle de longueur la plus souvent choisie est le rayon du filetage du fluide, tandis que la vitesse est le plus souvent considérée comme la vitesse du mouvement du fluide en vrac. Cependant, ces échelles peuvent changer en fonction des caractéristiques du problème considéré.

Le nombre de Reynolds est le rapport entre l'inertie et les effets visqueux au sein du fil. Pour les grands nombres de Reynolds, les effets du mouvement du fil sont beaucoup plus importants que la dissipation visqueuse. La viscosité n'a qu'un effet d'amortissement minimal sur le fil. Pour les petits nombres de Reynolds, la dissipation visqueuse est importante et toute perturbation est rapidement amortie par le fil.

Le nombre de Weber est le rapport entre les effets d'inertie et de tension superficielle au sein du fil. Lorsque le nombre de Weber est grand, l'inertie du fil est grande, ce qui résiste à la tendance de la tension superficielle à aplatir les surfaces pliées. Pour les petits nombres de Weber, les changements de pression capillaire dus aux perturbations de surface sont importants et la tension de surface domine le comportement du fil.

Le nombre d'Ohnesorge est le rapport entre les effets visqueux et de tension superficielle dans le fil. Comme il élimine les effets d'inertie et le besoin d'une échelle de vitesse, il est souvent plus pratique d'exprimer les relations d'échelle en termes de nombre d'Ohnesorge plutôt que de nombre de Reynolds et Weber individuellement.

La longueur d'onde de perturbation est la longueur caractéristique de la perturbation à la surface du jet, en supposant que toute perturbation arbitraire peut être décomposée via une transformée de Fourier en ses composantes constitutives. La longueur d'onde de la perturbation est critique pour déterminer si une perturbation particulière va croître ou décroître dans le temps.

Cas spéciaux

Stabilité linéaire des liquides non visqueux

La stabilité linéaire des liquides à faible viscosité a été dérivée pour la première fois par Plateau en 1873. Cependant, sa solution est devenue connue sous le nom d' instabilité Rayleigh-Plateau en raison de l'extension de la théorie par Lord Rayleigh pour inclure les fluides visqueux. L'instabilité de Rayleigh-Plateau est souvent utilisée comme cas d'introduction à la stabilité hydrodynamique ainsi qu'à l'analyse des perturbations.

Plateau a considéré la stabilité d'un fil de fluide lorsque seuls des effets d'inertie et de tension superficielle étaient présents. En décomposant une perturbation arbitraire sur la surface libre en ses harmoniques/longueurs d'onde constitutives, il a pu dériver la condition a pour la stabilité du jet en termes de perturbation :

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {\sigma k}{\rho a^{2}}}{\frac {I_{1}(ka)}{I_{0}(ka)}} \left(1-k^{2}a^{2}\right),}$

où ω est le taux de croissance de la perturbation, σ est la tension superficielle des fluides, k est le nombre d'onde de la perturbation, ρ est la densité du fluide, a est le rayon initial du fluide non perturbé et I est la fonction de Bessel modifiée de le premier genre. En calculant le taux de croissance en fonction du nombre d'ondes, on peut déterminer que la longueur d'onde de perturbation à la croissance la plus rapide se produit à :

${\displaystyle \lambda _{\text{max}}\environ 9.02a.}$

La longueur d'onde d'instabilité maximale augmente à mesure que le rayon du fil de fluide augmente. Tout aussi important, les modes instables ne sont possibles que lorsque :

${\displaystyle ka<1.}$

Stabilité linéaire des liquides visqueux

Reynolds et plus tard Tomotika ont étendu les travaux de Plateau pour considérer la stabilité linéaire des fils visqueux. Rayleigh résolu pour la stabilité d'un fil visqueux de viscosité sans la présence d'un fluide externe. Tomokita résolu pour la stabilité d'un fil fluide en présence d'un fluide externe avec sa propre viscosité . Il a considéré trois cas où la viscosité du fil fluide était bien supérieure à celle du milieu extérieur, la viscosité du milieu extérieur était bien supérieure à celle du fil fluide, et le cas général où les liquides sont de viscosité arbitraire. ${\displaystyle \mu _{A}}$${\displaystyle \mu _{B}}$

Fil fluide très visqueux

Pour le cas limite où le fil fluide est beaucoup plus visqueux que le milieu extérieur, la viscosité du milieu extérieur diminue complètement du taux de croissance. La vitesse de croissance devient ainsi uniquement fonction du rayon initial du fil, de la longueur d'onde de perturbation, de la tension superficielle du fil et de la viscosité du fil.

${\displaystyle \omega ={\frac {\sigma \left(k^{2}a^{2}-1\right)}{2a\mu _{A}}}{\frac {1}{k^ {2}a^{2}+1-k^{2}a^{2}I_{0}^{2}(ka)/I_{1}^{2}(ka)}}}$

En traçant cela, on constate que les longueurs d'onde les plus longues sont les plus instables. Tout aussi important, on peut noter que la viscosité du fil de fluide n'influence pas les longueurs d'onde qui seront stables. La viscosité n'agit que pour diminuer la vitesse à laquelle une perturbation donnée va croître ou se dégrader avec le temps.

Des exemples de cas où ce cas s'appliquerait sont lorsque presque tout liquide subit une rupture de fil/jet dans un environnement d'air.

Fluide externe très visqueux

Pour le cas limite où l'environnement externe du fil fluide est beaucoup plus visqueux que le fil lui-même, la viscosité du fil fluide diminue complètement du taux de croissance de la perturbation. La vitesse de croissance devient ainsi uniquement fonction du rayon initial du fil, de la longueur d'onde de perturbation, de la tension superficielle du fil, de la viscosité du milieu extérieur, et des fonctions de Bessel du second ordre du second ordre.

${\displaystyle \omega ={\frac {\sigma \left(1-k^{2}a^{2}\right)}{2a\mu _{B}}}{\frac {1}{k^ {2}a^{2}+1-k^{2}a^{2}K_{0}^{2}(ka)/K_{1}^{2}(ka)}}}$

Si l'on devait tracer le taux de croissance en fonction de la longueur d'onde de la perturbation, on constaterait que les longueurs d'onde les plus instables se produisent à nouveau aux longueurs d'onde les plus longues et que la viscosité de l'environnement extérieur n'agirait que pour diminuer la vitesse à laquelle une perturbation se développerait ou délabrement dans le temps.

Des exemples de cas où ce cas s'appliquerait sont lorsque des bulles de gaz pénètrent dans un liquide ou lorsque de l'eau tombe dans le miel.

Cas général - rapport de viscosité arbitraire

Le cas général de deux fluides visqueux est beaucoup plus difficile à résoudre directement. Tomotika a exprimé sa solution comme suit :

${\displaystyle \omega ={\frac {\sigma \left(1-k^{2}a^{2}\right)}{2a\mu _{B}}}\Phi (ka)}$

où a été défini comme : ${\style d'affichage \Phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (ka)={}&{\frac {N(ka)}{D(ka)}}\\N(ka)={}&I_{1}(ka) \Delta _{1}-\{kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)\}\Delta _{2}\\D(ka)={}&{\frac {\mu _{ A}}{\mu _{B}}}\{kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)\}\Delta _{1}-{\frac {\mu _{A}}{ \mu _{B}}}\left\{\left(k^{2}a^{2}+1\right)I_{1}(ka)-kaI_{0}(ka)\right\}\ Delta _{2}\\&-\{kaK_{0}(ka)+K_{1}(ka)\}\Delta _{3}-\left\{\left(k^{2}a^{ 2}+1\right)K_{1}(ka)+kaK_{0}(ka)\right\}\Delta _{4}\end{aligned}}}$

Les coefficients s'expriment le plus facilement comme les déterminants des matrices suivantes : ${\style d'affichage \Delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta _{1}&={\begin{vmatrix}kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0 }(ka)-K_{1}(ka)\\I_{0}(ka)+kaI_{1}(ka)&-K_{0}(ka)&-K_{0}(ka)+kaK_{ 1}(ka)\\{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}kaI_{0}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka) \end{vmatrix}}\\[3pt]\Delta _{2}&={\begin{vmatrix}I_{1}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)-K_ {1}(ka)\\I_{0}(ka)&-K_{0}(ka)&-K_{0}(ka)+kaK_{1}(ka)\\{\frac {\mu _ {A}}{\mu _{B}}}I_{1}(ka)&K_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)\end{vmatrix}}\\[3pt]\Delta _ {3}&={\begin{vmatrix}I_{1}(ka)&kaI_{0}(ka)-I_{1}(ka)&-kaK_{0}(ka)-K_{1}(ka) \\I_{0}(ka)&I_{0}(ka)+kaI_{1}(ka)&-K_{0}(ka)+kaK_{1}(ka)\\{\frac {\mu _ {A}}{\mu _{B}}}I_{1}(ka)&{\frac {\mu _{A}}{\mu _{B}}}kaI_{0}(ka)&- kaK_{0}(ka)\end{vmatrix}}\\[3pt]\Delta _{4}&={\begin{vmatrix}I_{1}(ka)&kaI_{0}(ka)-I_{1 }(ka)&K_{1}(ka)\\I_{0}(ka)&I_{0}(ka)+kaI_{1}(ka)&-K_{0}(ka)\\{\frac { \mu _{A}}{\mu _{B}}}I_{1}(ka)&{\frac {\mu _{a}}{\mu _{B}}}kaI_{0}(ka )&K_{1}(ka)\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

La solution résultante reste fonction à la fois des viscosités du fil et de l'environnement externe ainsi que de la longueur d'onde de perturbation. La combinaison la plus instable de viscosités et de perturbations se produit avec . ${\displaystyle \mu _{A}/\mu _{B}\environ 0,28}$${\displaystyle \lambda \environ 10,66a}$

Pour la plupart des applications, l'utilisation du cas général n'est pas nécessaire car les deux fluides en question ont des viscosités significativement différentes ce qui permet d'utiliser l'un des cas limites. Cependant, certains cas tels que le mélange d'huiles ou d'huiles et d'eau peuvent nécessiter l'utilisation du cas général.

Formation de gouttes de satellite

L'eau s'écoule d'un robinet, produisant à la fois une seule grosse gouttelette et plusieurs gouttelettes satellites.

Les gouttes satellites, également appelées gouttelettes secondaires, sont les gouttes produites pendant le processus de rupture du fil en plus de la grosse gouttelette principale. Les gouttes se produisent lorsque le filament par lequel la gouttelette principale suspendue à la plus grande masse de fluide se détache de la masse de fluide. Le fluide contenu dans le filament peut rester en une seule masse ou se disloquer du fait des perturbations de recul que lui impose la séparation de la goutte principale. Alors que la production de gouttelettes satellites peut être prédite sur la base des propriétés des fluides, leur emplacement et leur volume précis ne peuvent pas être prédits.

En général, les gouttelettes secondaires sont un phénomène indésirable, en particulier dans les applications où le dépôt précis des gouttelettes est important. La production de gouttelettes satellites est régie par la dynamique non linéaire du problème à proximité des étapes finales de la rupture du fil.

Exemples

La viscosité du miel est suffisamment importante pour amortir toutes les perturbations de surface qui conduiraient à la rupture du fil en gouttelettes.

De nombreux exemples de rupture de fils fluides existent dans la vie quotidienne. C'est l'un des phénomènes de mécanique des fluides les plus courants que l'on expérimente et, en tant que tel, la plupart accordent peu d'attention au processus.

Débit d'un robinet

L'eau qui coule est un phénomène quotidien. Au fur et à mesure que l'eau quitte le robinet, le filament attaché au robinet commence à se rétrécir, jusqu'au point où la gouttelette principale se détache de la surface. Le filament ne peut pas se rétracter suffisamment rapidement vers le robinet pour éviter la rupture et se désintègre ainsi en plusieurs petites gouttes satellites.

Des bulles d'air

Les bulles d'air sont un autre phénomène de rupture courant. Lorsque l'air pénètre dans un réservoir de liquide, comme un aquarium, le fil se rétracte à la base pour produire une bulle. Souffler des bulles d'une paille dans un verre se comporte à peu près de la même manière.

Expérience de chute de hauteur

L' expérience de chute de poix est une expérience célèbre de rupture des fluides utilisant du brai de goudron très visqueux. Le taux de rupture est tellement ralenti que seulement 11 gouttes sont tombées depuis 1927.

Gouttes de miel

Le miel est suffisamment visqueux pour que les perturbations de surface qui conduisent à la rupture soient presque entièrement amorties par les fils de miel. Cela se traduit par la production de longs filaments de miel plutôt que de gouttelettes individuelles.

Les références