Cohomologie galoisienne - Galois cohomology

En mathématiques , la cohomologie de Galois est l'étude de la cohomologie de groupe des modules de Galois , c'est-à-dire l'application de l'algèbre homologique aux modules pour les groupes de Galois . Un groupe de Galois G associé à une extension de champ L / K agit de manière naturelle sur certains groupes abéliens , par exemple ceux construits directement à partir de L , mais aussi à travers d'autres représentations galoisiennes qui peuvent être dérivées par des moyens plus abstraits. La cohomologie galoisienne explique la façon dont la prise d'éléments invariants galoisiens échoue à être un foncteur exact .

Histoire

La théorie actuelle de la cohomologie galoisienne s'est réunie vers 1950, lorsqu'on s'est rendu compte que la cohomologie galoisienne des groupes de classes idéaux en théorie algébrique des nombres était une façon de formuler la théorie des champs de classes , à l'époque où elle était en train de se débarrasser des connexions avec L-fonctions . La cohomologie de Galois ne suppose pas que les groupes de Galois soient des groupes abéliens, de sorte qu'il s'agissait d'une théorie non-abélienne . Elle a été formulée abstraitement comme une théorie des formations de classe . Deux événements des années 1960 ont changé la donne. Premièrement, la cohomologie galoisienne est apparue comme la couche fondamentale de la théorie de la cohomologie étale (en gros, la théorie telle qu'elle s'applique aux schémas de dimension zéro). Deuxièmement, la théorie des champs de classes non-abéliennes a été lancée dans le cadre de la philosophie de Langlands .

Les premiers résultats identifiables comme la cohomologie de Galois étaient connus bien avant, en théorie algébrique des nombres et en arithmétique des courbes elliptiques . Le théorème de la base normale implique que le premier groupe de cohomologie du groupe additif de L va disparaître ; il s'agit d'un résultat d'extensions générales sur le terrain, mais était connu sous une forme ou une autre de Richard Dedekind . Le résultat pour le correspondant groupe multiplicatif est connu comme le théorème de 90 Hilbert , et était connu avant 1900. théorie Kummer était une autre telle première partie de la théorie, ce qui donne une description de l'homomorphisme connexion venant du m de la carte de puissance .

En fait, pendant un certain temps, le cas multiplicatif d'un 1- cocycle pour des groupes qui ne sont pas nécessairement cycliques a été formulé comme la solubilité des équations de Noether , du nom d' Emmy Noether ; ils apparaissent sous ce nom dans le traitement d' Emil Artin de la théorie de Galois, et peuvent avoir été du folklore dans les années 1920. Le cas des 2-cocycles pour le groupe multiplicatif est celui du groupe de Brauer , et les implications semblent avoir été bien connues des algébristes des années 1930.

Dans une autre direction, celle des torseurs , ceux-ci étaient déjà implicites dans les arguments de descente infinie de Fermat pour les courbes elliptiques . De nombreux calculs directs ont été effectués, et la preuve du théorème de Mordell-Weil a dû procéder par un substitut d'une preuve de finitude pour un groupe H ¹ particulier . La nature « tordue » des objets sur des champs qui ne sont pas algébriquement clos , qui ne sont pas isomorphes mais le deviennent sur la clôture algébrique , était également connue dans de nombreux cas liée à d'autres groupes algébriques (comme les formes quadratiques , les algèbres simples , Severi-Brauer variétés ), dans les années 1930, avant l'arrivée de la théorie générale.

Les besoins de la théorie des nombres se sont notamment exprimés par l'exigence de maîtriser un principe local-global pour la cohomologie galoisienne. Ceci a été formulé au moyen de résultats en théorie des champs de classe, tels que le théorème de la norme de Hasse . Dans le cas des courbes elliptiques, cela a conduit à la définition clé du groupe de Tate-Shafarevich dans le groupe de Selmer , qui est l'obstruction au succès d'un principe local-global. Malgré sa grande importance, par exemple dans la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer , il s'est avéré très difficile d'en avoir le contrôle, jusqu'à ce que les résultats de Karl Rubin permettent de montrer dans certains cas qu'elle était finie (un résultat généralement admis, puisque son ordre conjectural a été prédit par une formule de fonction L).

L'autre développement majeur de la théorie, impliquant également John Tate, était le résultat de la dualité Tate-Poitou .

Techniquement parlant, G peut être un groupe profini , auquel cas les définitions doivent être ajustées pour n'autoriser que des cochaînes continues.

Les références

• Serre, Jean-Pierre (2002), Cohomologie galoisienne , Springer Monographs in Mathematics, Traduit du français par Patrick Ion , Berlin, New York : Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42192-4, MR  1867431 , Zbl  1004.12003, traduction de Cohomologie Galoisienne , Springer-Verlag Lecture Notes 5 (1964).
• Milne, James S. (2006), Théorèmes de dualité arithmétique (2e éd.), Charleston, SC: BookSurge, LLC, ISBN 978-1-4196-4274-6, MR  2261462 , Zbl  1127.14001
• Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexandre ; Wingberg, Kay (2000), Cohomologie des champs de nombres , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , 323 , Berlin : Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR  1737196 , Zbl  0948.11001