Preuve par descendance infinie - Proof by infinite descent

En mathématiques , une preuve par descente infinie , également connue sous le nom de méthode de descente de Fermat, est un type particulier de preuve par contradiction utilisée pour montrer qu'une déclaration ne peut pas être valable pour un nombre, en montrant que si la déclaration devait être valable pour un nombre , alors il en serait de même pour un nombre plus petit, conduisant à une descente infinie et finalement à une contradiction. C'est une méthode qui repose sur le principe du bon ordre et est souvent utilisée pour montrer qu'une équation donnée, telle qu'une équation diophantienne , n'a pas de solution.

Typiquement, on montre que si une solution à un problème existait, qui dans un certain sens était liée à un ou plusieurs nombres naturels , cela impliquerait nécessairement qu'une deuxième solution existait, qui était liée à un ou plusieurs nombres naturels «plus petits». Cela impliquerait à son tour une troisième solution liée à des nombres naturels plus petits, impliquant une quatrième solution, donc une cinquième solution, et ainsi de suite. Cependant, il ne peut pas y avoir une infinité de nombres naturels toujours plus petits, et donc par induction mathématique , la prémisse originale - qu'une solution existe - est incorrecte : son exactitude produit une contradiction .

Une autre façon d'exprimer cela est de supposer qu'il existe une ou plusieurs solutions ou exemples, à partir desquels une solution ou un exemple plus petit - un contre -exemple minimal - peut alors être déduit. Une fois là, on essaierait de prouver que si une plus petite solution existe, alors cela doit impliquer l'existence d'une plus petite solution (dans un certain sens), ce qui prouve encore que l'existence de toute solution conduirait à une contradiction.

Les premières utilisations de la méthode de la descente infinie apparaissent dans les éléments d'Euclide . Un exemple typique est la proposition 31 du livre 7, dans laquelle Euclide prouve que chaque entier composé est divisé (dans la terminologie d'Euclide "mesuré") par un nombre premier.

La méthode a été développée beaucoup plus tard par Fermat , qui a inventé le terme et l'a souvent utilisé pour les équations diophantiennes . Deux exemples typiques montrent la non-solvabilité de l'équation Diophantine r ²  +  s ⁴ =  t ⁴ et prouver Théorème des deux carrés de Fermat , qui énonce que un nombre premier impair p peut être exprimé comme une somme de deux carrés lorsque p  ≡ 1 ( mod  4) (voir preuve ). De cette façon Fermat a pu montrer l'inexistence de solutions dans de nombreux cas d'équations diophantiennes d'intérêt classique (par exemple, le problème des quatre carrés parfaits dans la progression arithmétique ).

Dans certains cas, à l'œil moderne, sa « méthode de descente infinie » est une exploitation de l' inversion de la fonction de doublement pour les points rationnels sur une courbe elliptique E . Le contexte est celui d'un point rationnel hypothétique non trivial sur E . Le fait de doubler un point sur E double à peu près la longueur des nombres nécessaires pour l'écrire (en nombre de chiffres), de sorte qu'une « réduction de moitié » d'un point donne un rationnel avec des termes plus petits. Puisque les termes sont positifs, ils ne peuvent pas diminuer indéfiniment.

La théorie du nombre

Dans la théorie des nombres du XXe siècle, la méthode infinie de descente a été repris et poussé à un point où il relié à l'axe principal de la théorie algébrique des nombres et l'étude des fonctions L . Le résultat structurel de Mordell , que les points rationnels sur une courbe elliptique E forment un groupe abélien de génération finie , utilise un argument de descente infinie basé sur E /2 E dans le style de Fermat.

Pour étendre cela au cas d'une variété abélienne A , André Weil a dû expliciter la manière de quantifier la taille d'une solution, au moyen d'une fonction de hauteur – un concept devenu fondateur. Pour montrer que A ( Q )/2 A ( Q ) est fini, ce qui est certainement une condition nécessaire pour la génération finie du groupe A ( Q ) de points rationnels de A , il faut faire des calculs dans ce qui fut plus tard reconnu comme Galois cohomologie . De cette façon, les groupes de cohomologie définis de manière abstraite dans la théorie s'identifient aux descendances dans la tradition de Fermat. Le théorème de Mordell-Weil était au début de ce qui est devenu plus tard une théorie très étendue.

Exemples d'applications

Irrationalité de √ 2

La preuve que la racine carrée de 2 ( √ 2 ) est irrationnel (c. -à- ne peut pas être exprimée en une fraction de deux nombres entiers) a été découverte par les Grecs anciens , et est peut - être le plus ancien exemple connu d'une preuve par descente infinie. Les pythagoriciens ont découvert que la diagonale d'un carré est incommensurable avec son côté, ou en langage moderne, que la racine carrée de deux est irrationnelle . On sait peu avec certitude sur le moment ou les circonstances de cette découverte, mais le nom d' Hippase de Métaponte est souvent mentionné. Pendant un certain temps, les Pythagoriciens ont traité comme un secret officiel la découverte que la racine carrée de deux est irrationnelle et, selon la légende, Hippase a été assassiné pour l'avoir divulguée. La racine carrée de deux est parfois appelée « nombre de Pythagore » ou « constante de Pythagore », par exemple Conway & Guy (1996) .

Les anciens Grecs , n'ayant pas l' algèbre , ont élaboré une preuve géométrique par descendance infinie ( John Horton Conway a présenté une autre preuve géométrique par descendance infinie qui peut être plus accessible). Ce qui suit est une preuve algébrique dans le même sens :

Supposons que √ 2 soient rationnels . Ensuite, il pourrait être écrit comme

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}}$

pour deux nombres naturels, p et q . Alors la quadrature donnerait

${\displaystyle 2={\frac {p^{2}}{q^{2}}},}$

${\displaystyle 2q^{2}=p^{2},}$

donc 2 doit diviser p ² . Parce que 2 est un nombre premier , il doit également diviser p , par le lemme d'Euclide . Donc p = 2 r , pour un entier r .

Mais alors,

${\displaystyle 2q^{2}=(2r)^{2}=4r^{2},}$

${\style d'affichage q^{2}=2r^{2},}$

ce qui montre que 2 doit également diviser q . Donc q = 2 s pour un entier s .

Cela donne

${\displaystyle {\frac {p}{q}}={\frac {2}r}{2s}}={\frac {r}{s}}}$.

Par conséquent, si √ 2 pouvait être écrit comme un nombre rationnel, alors il pourrait toujours être écrit comme un nombre rationnel avec des parties plus petites, qui lui-même pourrait être écrit avec des parties encore plus petites, à l' infini . Mais c'est impossible dans l'ensemble des nombres naturels . Puisque √ 2 est un nombre réel , qui peut être rationnel ou irrationnel, la seule option qui reste est que √ 2 soit irrationnel.

(Alternativement, cela prouve que si √ 2 était rationnel, aucune représentation "la plus petite" en tant que fraction ne pourrait exister, car toute tentative de trouver une représentation "la plus petite" p / q impliquerait qu'une plus petite existait, ce qui est une contradiction similaire. )

Irrationalité de √ k si ce n'est pas un entier

Pour nombre entier positif k , supposons que √ k est pas un entier, mais il est rationnel et peut être exprimée en ^m / _n pour les nombres naturels m et n , et que q soit le plus grand nombre entier inférieur à √ k . Puis

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {k}}&={\frac {m}{n}}\\[8pt]&={\frac {m({\sqrt {k}}-q )}{n({\sqrt {k}}-q)}}\\[8pt]&={\frac {m{\sqrt {k}}-mq}{n{\sqrt {k}}-nq }}\\[8pt]&={\frac {(n{\sqrt {k}}){\sqrt {k}}-mq}{n({\frac {m}{n}})-nq} }\\[8pt]&={\frac {nk-mq}{m-nq}}\end{aligned}}}$

Le numérateur et le dénominateur ont chacun été multipliés par l'expression ( √ k − q ) - qui est positive mais inférieure à 1 - puis simplifiés indépendamment. Ainsi, deux produits résultants, disons m' et n' , sont eux-mêmes des entiers, qui sont respectivement inférieurs à m et n . Par conséquent, quels que soient les nombres naturels m et n utilisés pour exprimer √ k , il existe des nombres naturels plus petits m' < m et n' < n qui ont le même rapport. Mais la descente infinie sur les nombres naturels est impossible, ce qui réfute l'hypothèse originale selon laquelle √ k pourrait être exprimé comme un rapport de nombres naturels.

Non-solvabilité de r ² + s ⁴ = t ⁴ et ses permutations

La non-solvabilité de in entiers est suffisante pour montrer la non-solvabilité de in entiers, ce qui est un cas particulier du dernier théorème de Fermat , et les preuves historiques de ce dernier ont procédé en prouvant plus largement le premier en utilisant la descente infinie. La preuve plus récente suivante démontre ces deux impossibilités en prouvant encore plus largement qu'un triangle pythagoricien ne peut pas avoir deux de ses côtés chacun soit un carré, soit deux fois un carré, puisqu'il n'y a pas le plus petit de ces triangles : ${\displaystyle r^{2}+s^{4}=t^{4}}$${\displaystyle q^{4}+s^{4}=t^{4}}$

Supposons qu'il existe un tel triangle de Pythagore. Ensuite, il peut être réduit pour donner un triangle de Pythagore primitif (c'est-à-dire sans facteur commun autre que 1) avec la même propriété. Les côtés des triangles pythagoriciens primitifs peuvent être écrits comme , avec a et b relativement premiers et avec a+b impair et donc y et z tous deux impairs. La propriété que y et z sont chacun impairs signifie que ni y ni z ne peuvent être deux fois un carré. De plus, si x est un carré ou deux fois un carré, alors chacun de a et b est un carré ou deux fois un carré. Il y a trois cas, selon lesquels deux côtés sont postulés pour être chacun un carré ou deux fois un carré : ${\style d'affichage x=2ab,}$ ${\displaystyle y=a^{2}-b^{2},}$ ${\style d'affichage z=a^{2}+b^{2}}$

• y et z : Dans ce cas, y et z sont tous deux des carrés. Mais alors le triangle rectangle avec les jambesetet l'hypoténuseaurait également des côtés entiers comprenant une jambe carrée () et une hypoténuse carrée (), et aurait une hypoténuse plus petite (par rapport à).${\displaystyle {\sqrt {yz}}}$${\style d'affichage b^{2}}$${\displaystyle a^{2}}$${\style d'affichage b^{2}}$${\displaystyle a^{2}}$${\displaystyle a^{2}}$${\style d'affichage z=a^{2}+b^{2}}$
• z et x : z est un carré. Le triangle rectangle entier avec les jambesetet l'hypoténuseaurait également deux côtés (et) dont chacun est un carré ou deux fois un carré, et une hypoténuse plus petite (par rapport à ) .${\style d'affichage a}$${\style d'affichage b}$${\displaystyle {\sqrt {z}}}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage b}$${\displaystyle {\sqrt {z}}}$${\style d'affichage z}$
• y et x : y est un carré. Le triangle rectangle entier avec les jambesetet l'hypoténuseaurait deux côtés ( b et a ) dont chacun est un carré ou deux fois un carré, avec une hypoténuse plus petite que le triangle d'origine (comparé à).${\style d'affichage b}$${\displaystyle {\sqrt {y}}}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage a}$${\style d'affichage z=a^{2}+b^{2}}$

Dans chacun de ces cas, un triangle pythagoricien avec deux côtés dont chacun est un carré ou deux fois un carré a conduit à un plus petit, qui à son tour conduirait à un plus petit, etc. puisqu'une telle séquence ne peut pas continuer indéfiniment, la prémisse originale selon laquelle un tel triangle existe doit être fausse.

Cela implique que les équations

${\displaystyle r^{2}+s^{4}=t^{4},}$

${\displaystyle r^{4}+s^{2}=t^{4},}$ et

${\displaystyle r^{4}+s^{4}=t^{2}}$

ne peut pas avoir de solutions non triviales, car les solutions non triviales donneraient des triangles pythagoriciens dont les deux côtés seraient des carrés.

Pour d'autres preuves similaires par descente infinie pour le cas n = 4 du théorème de Fermat, voir les articles de Grant et Perella et Barbara.

Voir également

• Vieta sautant

Les références

Lectures complémentaires

• Descente infinie à PlanetMath .
• Exemple du dernier théorème de Fermat à PlanetMath .