Topologie géométrique - Geometric topology

Une surface de Seifert délimitée par un ensemble d' anneaux borroméens ; ces surfaces peuvent être utilisées comme outils en topologie géométrique

En mathématiques , la topologie géométrique est l'étude des variétés et des cartes entre elles, en particulier les plongements d'une variété dans une autre.

Histoire

On peut dire que la topologie géométrique en tant que zone distincte de la topologie algébrique trouve son origine dans la classification des espaces lenticulaires de 1935 par la torsion de Reidemeister , qui exigeait de distinguer des espaces homotopiques équivalents mais non homéomorphes . Ce fut l'origine de la théorie de l' homotopie simple . L'utilisation du terme topologie géométrique pour les décrire semble être assez récente.

Différences entre la topologie à basse dimension et à haute dimension

Les collecteurs diffèrent radicalement par leur comportement en haute et basse dimension.

La topologie de grande dimension fait référence aux variétés de dimension 5 et supérieures, ou en termes relatifs, aux plongements dans la codimension 3 et supérieure. La topologie de faible dimension concerne les questions en dimensions jusqu'à 4, ou les plongements en codimension jusqu'à 2.

La dimension 4 est spéciale, en ce sens qu'à certains égards (topologiquement), la dimension 4 est de haute dimension, tandis qu'à d'autres égards (différemment), la dimension 4 est de basse dimension ; ce chevauchement conduit à des phénomènes exceptionnels à la dimension 4, tels que des structures différentiables exotiques sur R ⁴ . Ainsi, la classification topologique des 4-variétés est en principe facile, et les questions clés sont : une variété topologique admet-elle une structure différentiable, et si oui, combien ? Notamment, le cas lisse de dimension 4 est le dernier cas ouvert de la conjecture de Poincaré généralisée ; voir les rebondissements de Gluck .

La distinction est due au fait que la théorie de la chirurgie fonctionne en dimension 5 et au-dessus (en fait, elle fonctionne topologiquement en dimension 4, bien que cela soit très compliqué à prouver), et donc le comportement des variétés en dimension 5 et au-dessus est contrôlé algébriquement par la théorie de la chirurgie. En dimension 4 et en dessous (topologiquement, en dimension 3 et en dessous), la théorie chirurgicale ne fonctionne pas et d'autres phénomènes se produisent. En effet, une approche pour discuter des variétés de faible dimension consiste à se demander « qu'est-ce que la théorie de la chirurgie prédirait être vrai, si cela fonctionnait ? – et ensuite comprendre les phénomènes de faible dimension comme des écarts par rapport à cela.

L' astuce de Whitney nécessite 2+1 dimensions, donc la théorie de la chirurgie nécessite 5 dimensions.

La raison précise de la différence à la dimension 5 est que le théorème d'inclusion de Whitney , l'astuce technique clé qui sous-tend la théorie de la chirurgie, nécessite 2+1 dimensions. En gros, l'astuce de Whitney permet de « dénouer » des sphères nouées – plus précisément, de supprimer les auto-intersections des immersions ; il le fait via une homotopie d'un disque – le disque a 2 dimensions, et l'homotopie ajoute 1 de plus – et donc en codimension supérieure à 2, cela peut se faire sans se croiser ; ainsi les encastrements de codimension supérieure à 2 peuvent être compris par chirurgie. En théorie chirurgicale, l'étape clé se situe dans la dimension médiane, et donc lorsque la dimension médiane a une codimension supérieure à 2 (en gros, 2½ suffit, donc la dimension totale 5 suffit), l'astuce de Whitney fonctionne. La conséquence clé de ceci est le théorème h- cobordisme de Smale , qui fonctionne en dimension 5 et au-dessus, et constitue la base de la théorie de la chirurgie.

Une modification de l'astuce de Whitney peut fonctionner en 4 dimensions, et est appelée poignées de Casson - car il n'y a pas assez de dimensions, un disque de Whitney introduit de nouveaux plis, qui peuvent être résolus par un autre disque de Whitney, conduisant à une séquence ("tour") de disques. La limite de cette tour donne une carte topologique mais non différentiable, donc la chirurgie fonctionne topologiquement mais pas différemment en dimension 4.

Outils importants en topologie géométrique

Groupe fondamental

Dans toutes les dimensions, le groupe fondamental d'une variété est un invariant très important et détermine une grande partie de la structure ; en dimensions 1, 2 et 3, les groupes fondamentaux possibles sont restreints, tandis qu'en dimension 4 et au-dessus tout groupe de présentation finie est le groupe fondamental d'une variété (notez qu'il suffit de le montrer pour les variétés à 4 et 5 dimensions, puis prendre des produits avec des sphères pour en obtenir des plus hautes).

Orientabilité

Une variété est orientable si elle a un choix cohérent d' orientation , et une variété orientable connectée a exactement deux orientations possibles différentes. Dans ce cadre, diverses formulations équivalentes d'orientabilité peuvent être données, en fonction de l'application souhaitée et du niveau de généralité. Les formulations applicables aux variétés topologiques générales emploient souvent des méthodes de la théorie de l' homologie , alors que pour les variétés différentiables, plus de structure est présente, permettant une formulation en termes de formes différentielles . Une généralisation importante de la notion d'orientabilité d'un espace est celle d'orientabilité d'une famille d'espaces paramétrée par un autre espace (un faisceau de fibres ) pour lequel une orientation doit être choisie dans chacun des espaces qui varie continuellement en fonction des changements de les valeurs des paramètres.

Gérer les décompositions

Un 3-ball avec trois 1-poignées attachées.

Une décomposition de poignée d'un m - variété M est une union

${\displaystyle \emptyset =M_{-1}\subset M_{0}\subset M_{1}\subset M_{2}\subset \dots \subset M_{m-1}\subset M_{m}=M}$

où chacun est obtenu à partir de la fixation de - poignées . Une décomposition de poignée est à une variété ce qu'une décomposition CW est à un espace topologique - à bien des égards, le but d'une décomposition de poignée est d'avoir un langage analogue aux complexes CW, mais adapté au monde des variétés lisses . Ainsi, un i -handle est l'analogue lisse d'un i -cell. Les décompositions de poignées de variétés surviennent naturellement via la théorie de Morse . La modification des structures d'anses est étroitement liée à la théorie de Cerf . ${\style d'affichage M_{i}}$${\displaystyle M_{i-1}}$${\style d'affichage i}$

Planéité locale

La planéité locale est une propriété d'une sous - variété dans une variété topologique de plus grande dimension . Dans la catégorie des variétés topologiques, les sous-variétés localement plates jouent un rôle similaire à celui des sous-variétés encastrées dans la catégorie des variétés lisses .

Supposons qu'une variété de dimension d N est intégrée dans une variété de dimension n M (où d < n ). Si nous disons que N est localement plat en x s'il existe un voisinage de x tel que le couple topologique soit homéomorphe au couple , avec une inclusion standard de comme sous-espace de . C'est-à-dire qu'il existe un homéomorphisme tel que l' image de coïncide avec . ${\style d'affichage x\in N,}$${\displaystyle U\sous-ensemble M}$ ${\style d'affichage (U,U\cap N)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle U\to R^{n}}$${\displaystyle U\cap N}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Théorèmes de Schönflies

Les généralisées théorème Schoenflies indique que, si un ( n  - 1) de dimension sphère S est incorporé dans le n sphère de dimension S ⁿ dans un plat localement moyen (autrement dit, l'enrobage se prolonge à celle d'une sphère épaissie), le le couple ( S ⁿ ,  S ) est homéomorphe au couple ( S ⁿ , S ^{n −1} ), où S ^{n −1} est l'équateur de la n -sphère. Brown et Mazur ont reçu le prix Veblen pour leurs preuves indépendantes de ce théorème.

Branches de la topologie géométrique

Topologie de faible dimension

La topologie de faible dimension comprend :

• Surfaces (2-collecteurs)
• 3-collecteurs
• 4-collecteurs

chacun a sa propre théorie, où il y a des connexions.

La topologie à basse dimension est fortement géométrique, comme le reflète le théorème d'uniformisation en 2 dimensions – chaque surface admet une métrique de courbure constante ; géométriquement, il a l'une des 3 géométries possibles : courbure positive/sphérique, courbure nulle/plat, courbure négative/hyperbolique - et la conjecture de géométrisation (maintenant théorème) en 3 dimensions - chaque 3-variété peut être découpée en morceaux, dont chacun possède l'une des 8 géométries possibles.

La topologie à 2 dimensions peut être étudiée comme une géométrie complexe dans une variable (les surfaces de Riemann sont des courbes complexes) - par le théorème d'uniformisation, chaque classe conforme de métriques est équivalente à une unique complexe, et la topologie à 4 dimensions peut être étudiée du point de vue de la géométrie complexe dans deux variables (surfaces complexes), bien que toutes les 4-variétés n'admettent pas une structure complexe.

Théorie des nœuds

La théorie des nœuds est l'étude des nœuds mathématiques . Bien qu'il s'inspire des nœuds qui apparaissent dans la vie quotidienne dans les lacets et la corde, le nœud d'un mathématicien diffère en ce que les extrémités sont réunies de manière à ne pas pouvoir être défaites. En langage mathématique, un nœud est un plongement d'un cercle dans l' espace euclidien à 3 dimensions , R ³ (puisque nous utilisons la topologie, un cercle n'est pas lié au concept géométrique classique, mais à tous ses homéomorphismes ). Deux nœuds mathématiques sont équivalents si l'un peut se transformer en l'autre via une déformation de R ³ sur lui-même (appelée isotopie ambiante ) ; ces transformations correspondent à des manipulations d'une ficelle nouée qui n'impliquent pas de couper la ficelle ou de passer la ficelle à travers elle-même.

Pour mieux comprendre, les mathématiciens ont généralisé le concept de nœud de plusieurs manières. Des nœuds peuvent être considérés dans d'autres espaces tridimensionnels et des objets autres que des cercles peuvent être utilisés ; voir nœud (mathématiques) . Les nœuds de dimension supérieure sont des sphères de dimension n dans l' espace euclidien de dimension m .

Topologie géométrique de grande dimension

Dans la topologie de grande dimension, les classes caractéristiques sont un invariant de base et la théorie de la chirurgie est une théorie clé.

Une classe caractéristique est une manière d'associer à chaque fibré principal sur un espace topologique X une classe de cohomologie de X . La classe de cohomologie mesure dans quelle mesure le faisceau est « tordu », en particulier s'il possède ou non des sections . En d'autres termes, les classes caractéristiques sont des invariants globaux qui mesurent l'écart d'une structure produit locale par rapport à une structure produit globale. Ils sont l'un des concepts géométriques unificateurs de la topologie algébrique , de la géométrie différentielle et de la géométrie algébrique .

La théorie de la chirurgie est un ensemble de techniques utilisées pour produire une variété à partir d'une autre de manière « contrôlée », introduite par Milnor  ( 1961 ). La chirurgie consiste à découper des parties du collecteur et à les remplacer par une partie d'un autre collecteur, en s'alignant le long de la coupe ou de la limite. Ceci est étroitement lié, mais pas identique, aux décompositions de handles . C'est un outil majeur dans l'étude et la classification des variétés de dimension supérieure à 3.

Plus techniquement, l'idée est de partir d'une variété M bien comprise et de l'opérer pour produire une variété M ayant une propriété souhaitée, de telle sorte que les effets sur l' homologie , les groupes d'homotopie ou d'autres invariants intéressants de les multiples sont connus.

La classification des sphères exotiques par Kervaire et Milnor  ( 1963 ) a conduit à l'émergence de la théorie de la chirurgie comme outil majeur de la topologie de grande dimension.

Voir également

• Catégorie:Cartes de collecteurs
• Liste des sujets de topologie géométrique
• Plomberie (mathématiques)

Les références

• RB Sher et RJ Daverman (2002), Handbook of Geometric Topology , North-Holland. ISBN  0-444-82432-4 .