Champ global - Global field

En mathématiques , un champ global est l'un des deux types de champs (l'autre est un champ local ) qui sont caractérisés à l'aide d' évaluations . Il existe deux types de champs globaux :

• Corps de nombres algébriques : Une extension finie de${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• Champ de fonction global : Le champ de fonction d'une courbe algébrique sur un corps fini , de manière équivalente, une extension finie de , le corps de fonctions rationnelles à une variable sur le corps fini avec des éléments.${\style d'affichage F_{q}(T)}$${\style d'affichage q}$

Une caractérisation axiomatique de ces champs via la théorie de l'évaluation a été donnée par Emil Artin et George Whaples dans les années 1940.

Définitions formelles

Un champ global est l'un des suivants :

Un champ de nombres algébriques

Un corps de nombres algébriques F est une extension de corps finie (et donc algébrique ) du corps de nombres rationnels Q . Ainsi F est un corps qui contient Q et a une dimension finie lorsqu'il est considéré comme un espace vectoriel sur Q .

Le corps de fonction d'une courbe algébrique sur un corps fini

Un corps de fonctions d'une variété est l'ensemble de toutes les fonctions rationnelles sur cette variété. Sur une courbe algébrique (c'est-à-dire une variété unidimensionnelle V ) sur un corps fini, on dit qu'une fonction rationnelle sur un sous-ensemble ouvert affine U est définie comme le rapport de deux polynômes dans l' anneau de coordonnées affines de U , et qu'un rationnel La fonction sur l'ensemble de V consiste en de telles données locales qui s'accordent sur les intersections d'affines ouvertes. Cela définit techniquement les fonctions rationnelles sur V comme étant le champ de fractions de l'anneau de coordonnées affines de tout sous-ensemble ouvert affine, puisque tous ces sous-ensembles sont denses.

Analogies entre les deux classes de champs

Il existe un certain nombre de similitudes formelles entre les deux types de domaines. Un champ de l'un ou l'autre type a la propriété que tous ses complètements sont des champs localement compacts (voir champs locaux ). Chaque champ de l'un ou l'autre type peut être réalisé comme le champ de fractions d'un domaine de Dedekind dans lequel chaque idéal non nul est d'indice fini. Dans chaque cas, on a la formule du produit pour les éléments non nuls x :

${\displaystyle \prod _{v}|x|_{v}=1.\ }$

L'analogie entre les deux types de champs a été une forte motivation en théorie algébrique des nombres . L'idée d'une analogie entre corps de nombres et surfaces de Riemann remonte à Richard Dedekind et Heinrich M. Weber au XIXe siècle. L'analogie plus stricte exprimée par l'idée de « champ global », dans laquelle l'aspect d'une surface de Riemann en tant que courbe algébrique est mappé sur des courbes définies sur un corps fini, a été construite au cours des années 1930, culminant dans l' hypothèse de Riemann pour les courbes sur des corps finis réglés par André Weil en 1940. La terminologie peut être due à Weil, qui a écrit sa Théorie des nombres de base (1967) en partie pour établir le parallélisme.

Il est généralement plus facile de travailler dans le cas du champ de fonction, puis d'essayer de développer des techniques parallèles du côté du champ de nombre. Le développement de la théorie d'Arakelov et son exploitation par Gerd Faltings dans sa démonstration de la conjecture de Mordell en est un exemple dramatique. L'analogie a également influencé le développement de la théorie d'Iwasawa et de la Conjecture principale . La preuve du lemme fondamental dans le programme de Langlands a également utilisé des techniques qui ont réduit le cas du champ de nombres au cas du champ de fonction.

Théorèmes

Théorème de Hasse-Minkowski

Le théorème de Hasse-Minkowski est un résultat fondamental de la théorie des nombres qui stipule que deux formes quadratiques sur un corps global sont équivalentes si et seulement si elles sont équivalentes localement en tous lieux , c'est-à-dire équivalentes sur chaque complétion du corps.

Loi de réciprocité Artin

La loi de réciprocité d'Artin implique une description de l' abélianisation du groupe de Galois absolu d'un corps global K qui est basée sur le principe local-global de Hasse . Il peut être décrit en termes de cohomologie comme suit :

Soit L _v / K _v soit une extension de Galois des champs locaux de groupe de Galois G . La loi de réciprocité locale décrit un isomorphisme canonique

${\displaystyle \theta _{v}:K_{v}^{\times }/N_{L_{v}/K_{v}}(L_{v}^{\times })\to G^{\text {un B}},}$

appelé le symbole d'Artin local , la carte de réciprocité locale ou le symbole de résidu de norme .

Soit L ⁄ K une extension galoisienne des corps globaux et C _L représente le groupe classe idèle de L . Les cartes de _v pour différents endroits v de K peut être assemblé en une seule carte de symboles globale en multipliant les composantes locales d'une classe Idele. L'un des énoncés de la loi de réciprocité d'Artin est qu'il en résulte un isomorphisme canonique.

Citations

Les références