Théorème de Hasse – Minkowski - Hasse–Minkowski theorem

Deux complétions des nombres rationnels, les nombres dyadiques (ici, seuls les entiers dyadiques sont représentés) et les nombres réels . Le théorème de Hasse-Minkowski donne une relation entre les formes quadratiques dans un champ numérique et dans les complétions du champ numérique.

Le théorème de Hasse-Minkowski est un résultat fondamental de la théorie des nombres qui stipule que deux formes quadratiques sur un champ numérique sont équivalentes si et seulement si elles sont équivalentes localement à tous les endroits , c'est-à-dire équivalentes sur chaque complétion du champ (qui peut être réel , complexe ou p-adique ). Un résultat connexe est qu'un espace quadratique sur un champ numérique est isotrope si et seulement si il est isotrope localement partout, ou de manière équivalente, qu'une forme quadratique sur un champ numérique représente de manière non triviale zéro si et seulement si cela est vrai pour toutes les complétions du champ . Le théorème a été prouvé dans le cas du champ des nombres rationnels par Hermann Minkowski et généralisé aux champs de nombres par Helmut Hasse . La même déclaration vaut encore plus généralement pour tous les champs globaux .

Importance

L'importance du théorème de Hasse-Minkowski réside dans le nouveau paradigme qu'il a présenté pour répondre aux questions arithmétiques: pour déterminer si une équation d'un certain type a une solution en nombres rationnels, il suffit de tester si elle a des solutions sur des champs complets des nombres réels et p -adiques, où des considérations analytiques, telles que la méthode de Newton et son analogue p -adique, le lemme de Hensel , s'appliquent. Ceci est encapsulé dans l'idée d'un principe local-global , qui est l'une des techniques les plus fondamentales de la géométrie arithmétique .

Application à la classification des formes quadratiques

Le théorème de Hasse – Minkowski réduit le problème de la classification des formes quadratiques sur un champ numérique K jusqu'à l'équivalence avec l'ensemble des questions analogues mais beaucoup plus simples sur les champs locaux . Les invariants de base d'une forme quadratique non singulière sont sa dimension , qui est un entier positif, et son discriminant modulo les carrés de K , qui est un élément du groupe multiplicatif K ^* / K ^{* 2} . De plus, pour chaque place v de K , il existe un invariant issu de la complétion K _v . Selon le choix de v , cette complétion peut être les nombres réels R , les nombres complexes C , ou un champ de nombres p-adiques , chacun ayant différents types d'invariants:

• Cas de R . Selon la loi d'inertie de Sylvester , la signature (ou, alternativement, l'indice d'inertie négatif) est un invariant complet.
• Cas de C . Toutes les formes quadratiques non singulières de même dimension sont équivalentes.
• Cas de Q _p et de ses extensions algébriques . Les formes de même dimension sont classées jusqu'à l'équivalence par leur invariant de Hasse .

Ces invariants doivent satisfaire certaines conditions de compatibilité: une relation de parité (le signe du discriminant doit correspondre à l'indice d'inertie négatif) et une formule produit (une relation local-global). Inversement, pour tout ensemble d'invariants satisfaisant ces relations, il existe une forme quadratique sur K avec ces invariants.

Les références

• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Arithmétique des formes quadratiques . Tracts de Cambridge en mathématiques. 106 . La presse de l'Universite de Cambridge. ISBN 0-521-40475-4. Zbl  0785.11021 .
• Serre, Jean-Pierre (1973). Un cours d'arithmétique . Textes d'études supérieures en mathématiques . 7 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90040-3. Zbl  0256.12001 .