Espace vectoriel gradué - Graded vector space

En mathématiques , un espace vectoriel gradué est un espace vectoriel qui a la structure supplémentaire d'une gradation ou d'une gradation , qui est une décomposition de l'espace vectoriel en une somme directe de sous-espaces vectoriels.

ℕ espaces vectoriels dégradés

Soit l'ensemble des entiers non négatifs. Un espace vectoriel gradué , souvent appelé simplement un espace vectoriel gradué sans le préfixe , est un espace vectoriel V avec une décomposition en une somme directe de la forme ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ textstyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ mathbb {N}}$

${\ displaystyle V = \ bigoplus _ {n \ in \ mathbb {N}} V_ {n}}$

où chacun est un espace vectoriel. Pour un n donné, les éléments de sont alors appelés éléments homogènes de degré n . ${\ displaystyle V_ {n}}$${\ displaystyle V_ {n}}$

Les espaces vectoriels gradués sont courants. Par exemple, l'ensemble de tous les polynômes en une ou plusieurs variables forme un espace vectoriel gradué, où les éléments homogènes de degré n sont exactement les combinaisons linéaires de monômes de degré  n .

Espaces vectoriels généraux I- gradés

Les sous - espaces d'un besoin d'espace gradué vecteur ne sont pas indexés par l'ensemble des nombres naturels, et peuvent être indexées par les éléments d'un ensemble I . Un espace vectoriel V gradué en I est un espace vectoriel avec une décomposition en une somme directe de sous-espaces indexés par les éléments i de l'ensemble I :

${\ displaystyle V = \ bigoplus _ {i \ in I} V_ {i}.}$

Par conséquent, un espace vectoriel dégradé, tel que défini ci-dessus, est juste un espace vectoriel dégradé I où l'ensemble I est (l'ensemble des nombres naturels ). ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$${\ displaystyle \ mathbb {N}}$

Le cas où I est l' anneau (les éléments 0 et 1) est particulièrement important en physique . Un espace vectoriel gradué est également appelé espace superviseur . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle (\ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z})}$

Homomorphismes

Pour les ensembles d'indices généraux I , une carte linéaire entre deux I espaces vectoriels -graded f  : V → W est appelée une carte linéaire graduée si elle préserve le classement des éléments homogènes. Une carte linéaire graduée est également appelée homomorphisme (ou morphisme ) d'espaces vectoriels gradués, ou carte linéaire homogène :

${\ displaystyle f (V_ {i}) \ subseteq W_ {i}}$ pour tout ce que je suis en moi .

Pour un champ fixe et un ensemble d'indices fixes, les espaces vectoriels gradués forment une catégorie dont les morphismes sont les cartes linéaires graduées.

Lorsque I est un monoïde commutatif (comme les entiers naturels ), alors on peut définir plus généralement des applications linéaires qui sont homogènes de tout degré i dans I par la propriété

${\ displaystyle f (V_ {j}) \ subseteq W_ {i + j}}$ pour tout j en moi ,

où "+" désigne l'opération monoïde. Si de plus I satisfait la propriété d'annulation pour qu'elle puisse être noyée dans un groupe commutatif A qu'elle génère (par exemple les entiers si I est les entiers naturels), alors on peut aussi définir des applications linéaires homogènes de degré i dans A par la même propriété (mais maintenant "+" désigne l'opération de groupe en A ). Plus précisément, pour i dans I une application linéaire sera homogène de degré - i si

${\ displaystyle f (V_ {i + j}) \ subseteq W_ {j}}$ pour tout j en moi , tandis que

${\ displaystyle f (V_ {j}) = 0 \,}$ si j - i est pas I .

Tout comme l'ensemble des cartes linéaires d'un espace vectoriel à lui-même forme une algèbre associative (l'algèbre des endomorphismes de l'espace vectoriel), les ensembles de cartes linéaires homogènes d'un espace à lui-même, soit en restreignant les degrés à I, soit en autorisant des degrés en le groupe A forme des algèbres graduées associatives sur ces ensembles d'indices.

Opérations sur les espaces vectoriels gradués

Certaines opérations sur les espaces vectoriels peuvent également être définies pour les espaces vectoriels gradués.

Étant donné deux espaces vectoriels V et W à I- gradés , leur somme directe a un espace vectoriel sous-jacent V ⊕ W avec gradation

( V ⊕ W ) _i = V _i ⊕ W _i  .

Si j'est un demi - groupe , le produit tenseur de deux I espaces vectoriels -graded V et W est une autre que je -graded espace vectoriel, avec une gradation ${\ displaystyle V \ otimes W}$

${\ displaystyle (V \ otimes W) _ {i} = \ bigoplus _ {\ left \ {\ left (j, k \ right) | j + k = i \ right \}} V_ {j} \ otimes W_ { k}.}$

Voir également

• Noté (mathématiques)
• Algèbre graduée
• Série Hilbert – Poincaré
• Comodule
• Module noté
• Règle de Littlewood – Richardson

Références

• Bourbaki, N. (1974) Algebra I (chapitres 1 à 3), ISBN  978-3-540-64243-5 , chapitre 2, section 11; Chapitre 3.