Graphique (topologie) - Graph (topology)

En topologie , sujet de mathématiques , un graphe est un espace topologique qui découle d'un graphe usuel en remplaçant les sommets par des points et chaque arête par une copie de l' intervalle unitaire , où s'identifie au point associé et au point associé à . Autrement dit, en tant qu'espaces topologiques, les graphes sont exactement les complexes 1 simpliciaux et aussi exactement les complexes CW unidimensionnels . ${\ displaystyle G = (E, V)}$${\ displaystyle e = xy \ dans E}$ ${\ displaystyle I = [0,1]}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle y}$

Ainsi, en particulier, il porte la topologie quotient de l' ensemble

${\ displaystyle X_ {0} \ sqcup \ bigsqcup _ {e \ in E} I_ {e}}$

sous la carte de quotient utilisée pour le collage. Voici le squelette 0 (composé d'un point pour chaque sommet ), sont les intervalles ("boules unitaires fermées unidimensionnelles") collés dessus, un pour chaque bord , et est l' union disjointe . ${\ displaystyle X_ {0}}$${\ displaystyle x \ in V}$${\ displaystyle I_ {e}}$${\ displaystyle e \ in E}$${\ displaystyle \ sqcup}$

La topologie de cet espace est appelée topologie graphique .

Sous-graphes et -arbres

Un sous-graphe d'un graphe est un sous-espace qui est aussi un graphe et dont les nœuds sont tous contenus dans le 0-squelette de . est un sous-graphe si et seulement s'il se compose de sommets et d'arêtes de et est fermé. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y \ subseteq X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X}$

Un sous - graphe est appelé un arbre ssi il est contractible en tant qu'espace topologique. ${\ displaystyle T \ subseteq X}$

Propriétés

• Chaque graphe connexe contient au moins un arbre maximal , c'est-à-dire un arbre maximal par rapport à l'ordre induit par l'inclusion d'ensemble sur les sous-graphes dont sont des arbres. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T \ subseteq X}$${\ displaystyle X}$
• Si est un graphe et un arbre maximal, alors le groupe fondamental est égal au groupe libre généré par les éléments , où les correspondent bijectivement aux arêtes de ; en fait, est homotopy équivalent à une somme de coin des cercles . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T \ subseteq X}$ ${\ displaystyle \ pi _ {1} (X)}$${\ displaystyle (f _ {\ alpha}) _ {\ alpha \ in A}}$${\ displaystyle \ {f _ {\ alpha} \}}$${\ displaystyle X \ setminus T}$${\ displaystyle X}$
• La formation de l'espace topologique associé à un graphe comme ci-dessus revient à un foncteur de la catégorie des graphes à la catégorie des espaces topologiques.
• L'espace topologique associé d'un graphe est connecté (par rapport à la topologie du graphe) si et seulement si le graphe d'origine est connecté.
• Chaque espace de couverture projetant sur un graphique est également un graphique.

Applications

En utilisant les propriétés ci-dessus des graphes, on peut prouver le théorème de Nielsen – Schreier .

Voir également

• Homologie des graphes
• Théorie des graphes topologiques

Les références