Théorème de base de Hilbert - Hilbert's basis theorem

En mathématiques , en particulier en algèbre commutative , le théorème de base de Hilbert dit qu'un anneau polynomial sur un anneau noetherien est noetherien.

Déclaration

Si est un anneau, notons l'anneau de polynômes dans l'indéterminé sur . Hilbert a prouvé que si n'est "pas trop grand", dans le sens où si est noethérien, il doit en être de même pour . Officiellement, ${\style d'affichage R}$${\style d'affichage R[X]}$${\style d'affichage X}$${\style d'affichage R}$${\style d'affichage R}$${\style d'affichage R}$${\style d'affichage R[X]}$

Théorème de base de Hilbert. Si est un anneau noethérien, alors est un anneau noethérien.${\style d'affichage R}$${\style d'affichage R[X]}$

Corollaire. Si est un anneau noethérien, alors est un anneau noethérien.${\style d'affichage R}$${\displaystyle R[X_{1},\dotsc ,X_{n}]}$

Ceci peut être traduit en géométrie algébrique comme suit : chaque ensemble algébrique sur un corps peut être décrit comme l'ensemble des racines communes d'un nombre fini d'équations polynomiales. Hilbert a prouvé le théorème (pour le cas particulier des anneaux polynomiaux sur un corps) au cours de sa preuve de la génération finie d'anneaux d'invariants.

Hilbert a produit une preuve innovante par contradiction en utilisant l'induction mathématique ; sa méthode ne donne pas d' algorithme pour produire les polynômes de base en nombre fini pour un idéal donné : elle montre seulement qu'ils doivent exister. On peut déterminer des polynômes de base en utilisant la méthode des bases de Gröbner .

Preuve

Théorème. Si est un anneau noetherien gauche (resp. droit) , alors l' anneau polynomial est aussi un anneau noetherien gauche (resp. droit).${\style d'affichage R}$ ${\style d'affichage R[X]}$

Remarque. Nous allons donner deux preuves, dans les deux cas seul le cas "gauche" est considéré ; la preuve pour le bon cas est similaire.

Première preuve

Supposons qu'il s'agisse d'un idéal de gauche non fini. Ensuite, par récursivité (en utilisant l' axiome du choix dépendant ) il existe une séquence de polynômes telle que si est l'idéal à gauche généré par alors est de degré minimal. Il est clair que c'est une séquence non décroissante de naturels. Soit le coefficient dominant de et soit l'idéal à gauche dans généré par . Puisque Noetherian est la chaîne des idéaux ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R[X]}$${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{n}}$${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{n-1}}$${\displaystyle f_{n}\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {b}}_{n}}$${\displaystyle \{\deg(f_{0}),\deg(f_{1}),\ldots \}}$${\style d'affichage a_{n}}$${\style d'affichage f_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\style d'affichage R}$${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$${\style d'affichage R}$

${\displaystyle (a_{0})\subset (a_{0},a_{1})\subset (a_{0},a_{1},a_{2})\subset \cdots }$

doit se terminer. Ainsi pour un certain nombre entier . Donc en particulier, ${\displaystyle {\mathfrak {b}}=(a_{0},\ldots ,a_{N-1})}$${\style d'affichage N}$

${\displaystyle a_{N}=\sum _{i<N}u_{i}a_{i},\qquad u_{i}\in R.}$

Considérez maintenant

${\displaystyle g=\sum _{i<N}u_{i}X^{\deg(f_{N})-\deg(f_{i})}f_{i},}$

dont le terme dominant est égal à celui de ; de plus, . Cependant, , ce qui signifie que le degré est inférieur à , contredisant la minimalité. ${\style d'affichage f_{N}}$${\displaystyle g\in {\mathfrak {b}}_{N}}$${\displaystyle f_{N}\notin {\mathfrak {b}}_{N}}$${\displaystyle f_{N}-g\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {b}}_{N}}$${\style d'affichage f_{N}}$

Deuxième preuve

Soit un idéal de gauche. Soit l'ensemble des coefficients dominants des membres de . Il s'agit évidemment d'un idéal de gauche sur , et est donc généré de manière finie par les coefficients dominants d'un nombre fini de membres de ; dire . Soit le maximum de l'ensemble , et soit l'ensemble des coefficients dominants des membres de , dont le degré est . Comme précédemment, les sont des idéaux à gauche sur , et sont donc générés de manière finie par les coefficients dominants d'un nombre fini de membres de , disons ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq R[X]}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\style d'affichage R}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle f_{0},\ldots ,f_{N-1}}$${\style d'affichage d}$${\displaystyle \{\deg(f_{0}),\ldots ,\deg(f_{N-1})\}}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {}\leq k}$${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$${\style d'affichage R}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

${\displaystyle f_{0}^{(k)},\ldots ,f_{N^{(k)}-1}^{(k)}}$

avec des diplômes . Soit maintenant l'idéal de gauche généré par : ${\displaystyle {}\leq k}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}\subseteq R[X]}$

${\displaystyle \left\{f_{i},f_{j}^{(k)}\ :\ i<N,j<N^{(k)},k<d\right\}.}$

Nous avons et réclamons également . Supposons, pour des raisons de contradiction, que ce ne soit pas le cas. Soit alors de degré minimal, et notons son coefficient dominant par . ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{*}\subseteq {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subseteq {\mathfrak {a}}^{*}}$${\displaystyle h\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {a}}^{*}}$${\style d'affichage a}$

Cas 1 : . Indépendamment de cette condition, nous avons , ainsi est une combinaison linéaire gauche${\style d'affichage \deg(h)\geq d}$${\displaystyle a\in {\mathfrak {b}}}$

${\displaystyle a=\sum _{j}u_{j}a_{j}}$

des coefficients du . Envisager${\style d'affichage f_{j}}$

${\displaystyle h_{0}\triangleq \sum _{j}u_{j}X^{\deg(h)-\deg(f_{j})}f_{j},}$

qui a le même terme principal que ; d'ailleurs tandis que . Donc et , ce qui contredit la minimalité.${\style d'affichage h}$${\displaystyle h_{0}\in {\mathfrak {a}}^{*}}$${\displaystyle h\notin {\mathfrak {a}}^{*}}$${\displaystyle h-h_{0}\in {\mathfrak {a}}\setminus {\mathfrak {a}}^{*}}$${\displaystyle \deg(h-h_{0})<\deg(h)}$

Cas 2 : . Alors est une combinaison linéaire gauche${\displaystyle \deg(h)=k<d}$${\displaystyle a\in {\mathfrak {b}}_{k}}$

${\displaystyle a=\sum _{j}u_{j}a_{j}^{(k)}}$

des coefficients dominants du . Considérant${\displaystyle f_{j}^{(k)}}$

${\displaystyle h_{0}\triangleq \sum _{j}u_{j}X^{\deg(h)-\deg(f_{j}^{(k)})}f_{j}^{( k)},}$

nous obtenons une contradiction similaire à celle du cas 1.

Ainsi, notre affirmation est valable, et qui est de génération finie. ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {a}}^{*}}$

Notez que la seule raison pour laquelle nous avons dû diviser en deux cas était de s'assurer que les puissances de multiplication des facteurs étaient non négatives dans les constructions. ${\style d'affichage X}$

Applications

Soit un anneau commutatif noethérien. Le théorème de base de Hilbert a quelques corollaires immédiats. ${\style d'affichage R}$

1. Par induction, nous voyons que sera également noethérien.${\displaystyle R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]}$
2. Puisque toute variété affine sur (c'est-à-dire un ensemble de lieux d'une collection de polynômes) peut être écrite comme le lieu d'un idéal et plus encore comme le lieu de ses générateurs, il s'ensuit que chaque variété affine est le lieu d'un nombre fini de polynômes — c'est-à-dire l'intersection d'un nombre fini d' hypersurfaces .${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]}$
3. Si est une -algèbre de génération finie , alors nous savons que , où est un idéal. Le théorème de base implique qu'il doit être de génération finie, disons , c'est -à- dire de présentation finie .${\style d'affichage A}$${\style d'affichage R}$${\displaystyle A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})}$${\style d'affichage A}$

Preuves formelles

Des preuves formelles du théorème de base de Hilbert ont été vérifiées via le projet Mizar (voir fichier HILBASIS ) et Lean (voir ring_theory.polynomial ).

Les références

Lectures complémentaires

• Cox, Little et O'Shea, Idéaux, variétés et algorithmes , Springer-Verlag, 1997.