Algèbre commutative - Commutative algebra

Structure algébrique → Théorie des anneaux Théorie des anneaux
Concepts de base Anneaux • Sous-anneaux • Idéal • Anneau de quotient • Idéal fractionnaire • Anneau de quotient total • Anneau de produit • Produit libre d'algèbres associatives • Produit tensoriel des anneaux Homomorphismes en anneaux • Noyau • Automorphisme interne • Endomorphisme de Frobenius Structures algébriques • Module • Algèbre associative • Anneau gradué • Anneau involutif • Catégorie de bagues • Sonnerie initiale ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Anneau de borne ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ Structures associées • Champ • Champ fini • Anneau non associatif • Anneau de mensonge • Bague Jordan • Semiring • Semi-terrain
Algèbre commutative Anneaux commutatifs • Domaine intégral • Domaine entièrement fermé • Domaine GCD • Domaine de factorisation unique • Domaine idéal principal • Domaine euclidien • Champ • Champ fini • Bague de composition • Anneau polynomial • Bague formelle de la série Power Théorie algébrique des nombres • Champ de nombre algébrique • Anneau d'entiers • Indépendance algébrique • Théorie transcendantale des nombres • Degré de transcendance théorie des nombres p- adiques et nombres décimaux • Limite directe / Limite inverse • Anneau zéro ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Entiers modulo p n ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • Anneau en p de Prüfer ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Base - anneau de cercle p ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • Base - p entiers ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • rationnels p -adiques ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Base - p nombres réels ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • entiers p -adiques ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • nombres p- adiques ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • solénoïde p- adique ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Géométrie algébrique • Variété affine
Algèbre non commutative Anneaux non commutatifs • Anneau de division • Anneau semi-primitif • Bague simple • Commutateur Géométrie algébrique non commutative Algèbre libre algèbre de Clifford • Algèbre géométrique Algèbre des opérateurs
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Une carte postale de 1915 de l'un des pionniers de l'algèbre commutative, Emmy Noether , à E. Fischer, discutant de son travail en algèbre commutative.

L'algèbre commutative est la branche de l' algèbre qui étudie les anneaux commutatifs , leurs idéaux et les modules sur de tels anneaux. La géométrie algébrique et la théorie algébrique des nombres reposent toutes deux sur l'algèbre commutative. Des exemples importants d'anneaux commutatifs comprennent les anneaux polynomiaux ; anneaux d' entiers algébriques , y compris les entiers ordinaires ; et les entiers p- adiques . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

L'algèbre commutative est le principal outil technique dans l'étude locale des schémas .

L'étude des anneaux qui ne sont pas nécessairement commutatifs est connue sous le nom d' algèbre non commutative ; il comprend la théorie de la bague , la théorie de la représentation , et la théorie de l' algèbre de Banach .

Aperçu

L'algèbre commutative est essentiellement l'étude des anneaux apparaissant dans la théorie algébrique des nombres et la géométrie algébrique .

En théorie algébrique des nombres, les anneaux d' entiers algébriques sont des anneaux de Dedekind , qui constituent donc une classe importante d'anneaux commutatifs. Des considérations liées à l'arithmétique modulaire ont conduit à la notion d' anneau de valorisation . La restriction des extensions de champ algébrique aux sous-anneaux a conduit aux notions d' extensions intégrales et de domaines intégralement fermés ainsi qu'à la notion de ramification d'une extension d'anneaux d'évaluation.

La notion de localisation d'un anneau (en particulier la localisation par rapport à un idéal premier , la localisation consistant à inverser un seul élément et l' anneau quotient total ) est l'une des principales différences entre l'algèbre commutative et la théorie des anneaux non commutatifs . Cela conduit à une classe importante d'anneaux commutatifs, les anneaux locaux qui n'ont qu'un seul idéal maximal . L'ensemble des idéaux premiers d'un anneau commutatif est naturellement doté d'une topologie , la topologie de Zariski . Toutes ces notions sont largement utilisées en géométrie algébrique et sont les outils techniques de base pour la définition de la théorie des schémas , une généralisation de la géométrie algébrique introduite par Grothendieck .

De nombreuses autres notions d'algèbre commutative sont des contreparties de notions géométriques présentes en géométrie algébrique. Tel est le cas de la dimension Krull , décomposition primaire , anneaux réguliers , anneaux Cohen-Macaulay , anneaux Gorenstein et bien d' autres notions.

Histoire

Le sujet, d'abord connu sous le nom de théorie des idéaux , a commencé avec les travaux de Richard Dedekind sur les idéaux , eux-mêmes basés sur les travaux antérieurs d' Ernst Kummer et de Leopold Kronecker . Plus tard, David Hilbert a introduit le terme anneau pour généraliser le terme précédent anneau de nombres . Hilbert a introduit une approche plus abstraite pour remplacer les méthodes plus concrètes et axées sur le calcul fondées sur des éléments tels que l' analyse complexe et la théorie classique des invariants . À son tour, Hilbert a fortement influencé Emmy Noether , qui a reformulé de nombreux résultats antérieurs en termes de condition de chaîne ascendante , maintenant connue sous le nom de condition noetherienne. Une autre étape importante a été le travail de l'étudiant de Hilbert Emanuel Lasker , qui a introduit les idéaux primaires et a prouvé la première version du théorème de Lasker-Noether .

Le principal responsable de la naissance de l'algèbre commutative en tant que sujet mature était Wolfgang Krull , qui a introduit les notions fondamentales de localisation et de complétion d'un anneau, ainsi que celle d' anneaux locaux réguliers . Il a établi le concept de la dimension de Krull d'un anneau, d'abord pour les anneaux noethériens avant d'étendre sa théorie pour couvrir les anneaux d'évaluation généraux et les anneaux de Krull . À ce jour, le principal théorème idéal de Krull est largement considéré comme le théorème fondamental le plus important de l'algèbre commutative. Ces résultats ont ouvert la voie à l'introduction de l'algèbre commutative dans la géométrie algébrique, une idée qui allait révolutionner ce dernier sujet.

Une grande partie du développement moderne de l'algèbre commutative met l'accent sur les modules . Les deux idéaux d'un anneau R et les R- algèbres sont des cas particuliers de R- modules, donc la théorie des modules englobe à la fois la théorie des idéaux et la théorie des extensions d'anneaux . Bien qu'elle soit déjà naissante dans les travaux de Kronecker , l'approche moderne de l'algèbre commutative utilisant la théorie des modules est généralement attribuée à Krull et Noether .

Principaux outils et résultats

anneaux noethériens

En mathématiques , plus précisément dans le domaine de l'algèbre moderne connu sous le nom de théorie des anneaux , un anneau noethérien , nommé d'après Emmy Noether , est un anneau dans lequel chaque ensemble d' idéaux non vide a un élément maximal. De manière équivalente, un anneau est noethérien s'il satisfait la condition de chaîne ascendante sur les idéaux ; c'est-à-dire, étant donné n'importe quelle chaîne :

${\displaystyle I_{1}\subseteq \cdots I_{k-1}\subseteq I_{k}\subseteq I_{k+1}\subseteq \cdots }$

il existe un n tel que :

${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=\cdots }$

Pour qu'un anneau commutatif soit noethérien, il suffit que chaque idéal premier de l'anneau soit de type fini. (Le résultat est dû à IS Cohen .)

La notion d'anneau noethérien est d'une importance fondamentale dans la théorie des anneaux commutative et non commutative, en raison du rôle qu'elle joue dans la simplification de la structure idéale d'un anneau. Par exemple, l'anneau des nombres entiers et l' anneau polynomial sur un corps sont tous deux des anneaux noethériens et, par conséquent, des théorèmes tels que le théorème de Lasker-Noether , le théorème d'intersection de Krull et le théorème de base de Hilbert sont valables pour eux. De plus, si un anneau est noethérien, alors il satisfait la condition de chaîne descendante sur les idéaux premiers . Cette propriété suggère une théorie profonde de la dimension pour les anneaux noethériens commençant par la notion de dimension de Krull .

Théorème de base de Hilbert

Théorème. Si R est un anneau noetherien gauche (resp. droit) , alors l' anneau polynomial R [ X ] est aussi un anneau noetherien gauche (resp. droit).

Le théorème de base de Hilbert a quelques corollaires immédiats :

1. Par induction on voit que ce sera aussi noethérien.${\displaystyle R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]}$
2. Puisque toute variété affine sur (c'est-à-dire un ensemble de lieux d'une collection de polynômes) peut être écrite comme le lieu d'un idéal et plus encore comme le lieu de ses générateurs, il s'ensuit que chaque variété affine est le lieu d'un nombre fini de polynômes — c'est-à-dire l'intersection d'un nombre fini d' hypersurfaces .${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]}$
3. Si est une -algèbre de génération finie , alors nous savons que , où est un idéal. Le théorème de base implique qu'il doit être de génération finie, disons , c'est -à- dire de présentation finie .${\style d'affichage A}$${\style d'affichage R}$${\displaystyle A\simeq R[X_{0},\dotsc ,X_{n-1}]/{\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(p_{0},\dotsc ,p_{N-1})}$${\style d'affichage A}$

Décomposition primaire

Un idéal Q d'une bague est dite primaire si Q est correcte et chaque fois que xy ∈ Q , soit x ∈ Q ou y ⁿ ∈ Q pour un certain nombre entier positif n . Dans Z , les idéaux primaires sont précisément les idéaux de la forme ( p ^e ) où p est premier et e est un entier positif. Ainsi, une décomposition primaire de ( n ) correspond à représenter ( n ) comme l'intersection d'un nombre fini d'idéaux primaires.

Le théorème de Lasker-Noether , donné ici, peut être vu comme une certaine généralisation du théorème fondamental de l'arithmétique :

Théorème de Lasker-Noether. Soit R un anneau noethérien commutatif et I un idéal de R . Alors je peux être écrit comme l'intersection d'un nombre fini d'idéaux primaires avec des radicaux distincts ; C'est:

${\displaystyle I=\bigcap _{i=1}^{t}Q_{i}}$

avec Q _i primaire pour tout i et Rad( Q _i ) Rad( Q _j ) pour i ≠ j . De plus, si :

${\displaystyle I=\bigcap _{i=1}^{k}P_{i}}$

est la décomposition de I avec Rad ( P _i ) ≠ Rad ( P _j ) pour i ≠ j , et les deux décompositions de I sont irredondante (ce qui signifie qu'aucun sous - ensemble approprié de l' une { Q ₁ , ..., Q _t } ou { P ₁ , ..., P _k } donne une intersection égale à I ), t = k et (après avoir éventuellement renuméroté les Q _i ) Rad( Q _i ) = Rad( P _i ) pour tout i .

Pour toute décomposition primaire de I , l'ensemble de tous les radicaux, c'est-à-dire l'ensemble {Rad( Q ₁ ), ..., Rad( Q _t )} reste le même d'après le théorème de Lasker-Noether. En fait, il s'avère que (pour un anneau noethérien) l'ensemble est justement l' assassin du module R / I ; c'est-à-dire l'ensemble de tous les annihilateurs de R / I (considérés comme un module sur R ) qui sont premiers.

Localisation

La localisation est une manière formelle d'introduire les "dénominateurs" d'un anneau ou d'un module donné. C'est-à-dire qu'il introduit un nouvel anneau/module à partir d'un anneau existant de sorte qu'il se compose de fractions

${\displaystyle {\frac {m}{s}}}$.

où les dénominateurs s se situent dans un sous-ensemble donné S de R . L'exemple archétypal est la construction de l'anneau Q de nombres rationnels à partir de l'anneau Z d'entiers.

Achèvement

Une complétion est l'un des nombreux foncteurs associés sur les anneaux et les modules qui aboutissent à des anneaux et modules topologiques complets . La complétion est similaire à la localisation , et ensemble, ils sont parmi les outils les plus basiques pour analyser les anneaux commutatifs . Les anneaux commutatifs complets ont une structure plus simple que les anneaux généraux et le lemme de Hensel s'applique à eux.

Topologie de Zariski sur les idéaux premiers

La topologie de Zariski définit une topologie sur le spectre d'un anneau (l'ensemble des idéaux premiers). Dans cette formulation, les ensembles fermés de Zariski sont considérés comme les ensembles

${\displaystyle V(I)=\{P\in \operatorname {Spec} \,(A)\mid I\subseteq P\}}$

où A est un anneau commutatif fixe et I est un idéal. Ceci est défini par analogie avec la topologie classique de Zariski, où les ensembles fermés dans l'espace affine sont ceux définis par des équations polynomiales . Pour voir le lien avec l'image classique, notons que pour tout ensemble S de polynômes (sur un corps algébriquement clos), il résulte du Nullstellensatz de Hilbert que les points de V ( S ) (au sens ancien) sont exactement les tuples ( a ₁ , ..., a _n ) tel que ( x ₁ - a ₁ , ..., x _n - a _n ) contient S ; de plus, ce sont des idéaux maximaux et par le "faible" Nullstellensatz, un idéal de tout anneau de coordonnées affines est maximal si et seulement s'il est de cette forme. Ainsi, V ( S ) est « le même » que les idéaux maximaux contenant S . L'innovation de Grothendieck dans la définition de Spec était de remplacer les idéaux maximaux par tous les idéaux premiers ; dans cette formulation, il est naturel de généraliser simplement cette observation à la définition d'un ensemble fermé dans le spectre d'un anneau.

Exemples

L'exemple fondamental en algèbre commutative est l'anneau des entiers . L'existence de nombres premiers et le théorème de factorisation unique ont jeté les bases de concepts tels que les anneaux noethériens et la décomposition primaire . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

D'autres exemples importants sont :

• Anneaux polynomiaux ${\displaystyle R[x_{1},...,x_{n}]}$
• Les entiers p-adiques
• Anneaux d' entiers algébriques .

Liens avec la géométrie algébrique

L'algèbre commutative (sous la forme d' anneaux polynomiaux et de leurs quotients, utilisés dans la définition des variétés algébriques ) a toujours fait partie de la géométrie algébrique . Cependant, à la fin des années 1950, les variétés algébriques ont été englobées dans le concept de schéma d' Alexander Grothendieck . Leurs objets locaux sont des schémas affines ou des spectres premiers, qui sont des espaces localement annelés, qui forment une catégorie antiéquivalente (duale) à la catégorie des anneaux unitaires commutatifs, étendant la dualité entre la catégorie des variétés algébriques affines sur un corps k , et la catégorie des k -algèbres réduites de type fini . Le collage se fait le long de la topologie de Zariski ; on peut coller dans la catégorie des espaces localement annelés, mais aussi, en utilisant le plongement de Yoneda, dans la catégorie plus abstraite des préfaisceaux d'ensembles sur la catégorie des schémas affines. La topologie de Zariski au sens des ensembles est alors remplacée par une topologie de Zariski au sens de la topologie de Grothendieck . Grothendieck a introduit les topologies de Grothendieck en ayant à l'esprit des exemples plus exotiques mais géométriquement plus fins et plus sensibles que la topologie brute de Zariski, à savoir la topologie étale , et les deux topologies de Grothendieck plates : fppf et fpqc. De nos jours, d'autres exemples sont devenus importants, notamment la topologie de Nisnevich . Les faisceaux peuvent en outre être généralisés aux empilements au sens de Grothendieck, généralement avec des conditions de représentabilité supplémentaires, conduisant à des empilements d'Artin et, encore plus fins, des empilements de Deligne-Mumford , tous deux souvent appelés empilements algébriques.

Voir également

• Liste des sujets d'algèbre commutative
• Glossaire de l'algèbre commutative
• Algèbre commutative combinatoire
• base de Gröbner
• Algèbre homologique

Remarques

Les références

• Michael Atiyah & Ian G. Macdonald , Introduction à l'algèbre commutative , Massachusetts : Addison-Wesley Publishing, 1969.
• Bourbaki, Nicolas , Algèbre commutative. Chapitres 1 à 7 . Traduit du français. Réimpression de la traduction anglaise de 1989. Éléments de mathématiques (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv+625 p. ISBN  3-540-64239-0
• Bourbaki, Nicolas , Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9 . (Eléments de mathématiques. Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9) Réimpression de l'original de 1983. Springer, Berlin, 2006. ii+200 p. ISBN  978-3-540-33942-7
• Eisenbud, David (1995). Algèbre commutative en vue de la géométrie algébrique . Textes d'études supérieures en mathématiques . 150 . New York : Springer-Verlag . xvi+785. ISBN 0-387-94268-8. MR  1322960 .
• Rémi Goblot, "Algèbre commutative, cours et exercices corrigés", 2e édition, Dunod 2001, ISBN  2-10-005779-0
• Ernst Kunz, "Introduction à l'algèbre commutative et à la géométrie algébrique", Birkhauser 1985, ISBN  0-8176-3065-1
• Matsumura, Hideyuki, Algèbre commutative . Deuxième édition. Série de notes de cours sur les mathématiques, 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv+313 pp. ISBN  0-8053-7026-9
• Matsumura, Hideyuki, Théorie des anneaux commutatifs . Deuxième édition. Traduit du japonais. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge, Royaume-Uni : Cambridge University Press, 1989. ISBN  0-521-36764-6
• Nagata, Masayoshi , Anneaux locaux . Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, n° 13. Interscience Publishers une division de John Wiley and Sons, New York-Londres 1962 xiii+234 pp.
• Miles Reid, Undergraduate Commutative Algebra (London Mathematical Society Student Texts) , Cambridge, Royaume-Uni : Cambridge University Press, 1996.
• Jean-Pierre Serre , Algèbre locale . Traduit du français par CheeWhye Chin et révisé par l'auteur. (Titre original : Algèbre locale, multiplicités ) Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2000. xiv+128 p. ISBN  3-540-66641-9
• Sharp, RY, Étapes de l'algèbre commutative . Deuxième édition. London Mathematical Society Student Texts, 51. Cambridge University Press, Cambridge, 2000. xii+355 pp. ISBN  0-521-64623-5
• Zariski, Oscar ; Samuel, Pierre , Algèbre commutative . Vol. 1, 2. Avec la coopération de IS Cohen. Réimpression corrigée de l'édition 1958, 1960. Textes d'études supérieures en mathématiques, n° 28, 29. Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1975.