Fonction hypergéométrique - Hypergeometric function

En mathématiques , la fonction hypergéométrique gaussienne ou ordinaire ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) est une fonction spéciale représentée par la série hypergéométrique , qui comprend de nombreuses autres fonctions spéciales comme cas spécifiques ou limites . C'est une solution d'une équation différentielle ordinaire (EDO) linéaire du second ordre . Chaque ODE linéaire du second ordre avec trois points singuliers réguliers peut être transformée en cette équation.

Pour des listes systématiques de certaines des milliers d' identités publiées impliquant la fonction hypergéométrique, voir les ouvrages de référence d' Erdélyi et al. (1953) et Olde Daalhuis (2010) . Il n'y a pas de système connu pour organiser toutes les identités ; en effet, il n'existe pas d'algorithme connu capable de générer toutes les identités ; un certain nombre d'algorithmes différents sont connus qui génèrent différentes séries d'identités. La théorie de la découverte algorithmique des identités reste un sujet de recherche actif. erreur harvtxt : pas de cible : CITEREFOlde_Daalhuis2010 ( aide )

Histoire

Le terme "série hypergéométrique" a été utilisé pour la première fois par John Wallis dans son livre Arithmetica Infinitorum de 1655 .

Les séries hypergéométriques ont été étudiées par Leonhard Euler , mais le premier traitement systématique complet a été donné par Carl Friedrich Gauss  ( 1813 ).

Les études du XIXe siècle comprenaient celles d' Ernst Kummer  ( 1836 ) et la caractérisation fondamentale par Bernhard Riemann  ( 1857 ) de la fonction hypergéométrique au moyen de l'équation différentielle qu'elle satisfait.

Riemann a montré que l'équation différentielle du second ordre pour ₂ F ₁ ( z ), examinée dans le plan complexe, pouvait être caractérisée (sur la sphère de Riemann ) par ses trois singularités régulières .

Les cas où les solutions sont des fonctions algébriques ont été trouvés par Hermann Schwarz ( liste de Schwarz ).

La série hypergéométrique

La fonction hypergéométrique est définie pour | z | < 1 par la série de puissance

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b) _{n}}{(c)_{n}}}{\frac {z^{n}}{n!}}=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z}{ 1!}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots . }$

Il est indéfini (ou infini) si c est égal à un entier non positif. Ici ( q ) _n est le symbole (montant) de Pochhammer , qui est défini par :

${\displaystyle (q)_{n}={\begin{cases}1&n=0\\q(q+1)\cdots (q+n-1)&n>0\end{cases}}}$

La série se termine si a ou b est un entier non positif, auquel cas la fonction se réduit à un polynôme :

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;z)=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}{\binom {m} {n}}{\frac {(b)_{n}}{(c)_{n}}}z^{n}.}$

Pour les arguments complexes z avec | z | ≥ 1 il peut être poursuivi analytiquement le long de n'importe quel chemin dans le plan complexe qui évite les points de branchement 1 et l'infini.

Comme c → − m , où m est un entier non négatif, on a ₂ F ₁ ( z ) → ∞ . En divisant par la valeur ( c ) de la fonction gamma , on a la limite :

${\displaystyle \lim _{c\to -m}{\frac {{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}{\Gamma (c)}}={\frac { (a)_{m+1}(b)_{m+1}}{(m+1)!}}z^{m+1}{}_{2}F_{1}(a+m+ 1,b+m+1;m+2;z)}$

₂ F ₁ ( z ) est le type le plus courant de série hypergéométrique généralisée _p F _q , et est souvent désigné simplement F ( z ) .

Formules de différenciation

En utilisant l'identité , on montre que ${\style d'affichage (a)_{n+1}=a(a+1)_{n}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {ab}{c}}\ {}_{2 }F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$

et plus généralement,

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {(a)_ {n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a+n,b+n;c+n;z)}$

Dans le cas particulier où , on a ${\style d'affichage c=a+1}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;a+1;z)={\frac {d}{dz}}\ {}_ {2}F_{1}(b,a;a+1;z)={\frac {a((1-z)^{-b}-{}_{2}F_{1}(a,b ;1+a;z))}{z}}}$

Cas spéciaux

La plupart des fonctions mathématiques courantes peuvent être exprimées en termes de fonction hypergéométrique ou en tant que cas limites de celle-ci. Quelques exemples typiques sont

${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)&={\frac {\ln(1+z)}{z}}\ \_{2}F_{1}(a,b;b;z)&=(1-z)^{-a},\quad (\forall b)\\_{2}F_{1}\left ({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)&={\frac {\arcsin (z)}{z}}\\\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}} ;{\frac {3 }{2}} ;-{\frac {27x^{2}}{4}}\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {3x{\sqrt {3}} +{\sqrt {27x^{2}+4}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x ^{2}+4}}}}}}{x{\sqrt {3}}}}\\\end{aligned}}}$

Lorsque a=1 et b=c , la série se réduit en une simple série géométrique , c'est-à-dire

${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,b;b;z\right)&=1+z+z^{2}+z^{3}+z^ {4}+\cdots \end{aligned}}}$

d'où le nom hypergéométrique . Cette fonction peut être considérée comme une généralisation de la série géométrique .

La fonction hypergéométrique confluente (ou fonction de Kummer) peut être donnée comme limite de la fonction hypergéométrique

${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;b^{-1}z)}$

ainsi toutes les fonctions qui en sont essentiellement des cas particuliers, telles que les fonctions de Bessel , peuvent être exprimées comme des limites de fonctions hypergéométriques. Ceux-ci incluent la plupart des fonctions couramment utilisées de la physique mathématique.

Les fonctions de Legendre sont des solutions d'une équation différentielle du second ordre avec 3 points singuliers réguliers et peuvent donc être exprimées en termes de fonction hypergéométrique de plusieurs manières, par exemple

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^ {\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)}$

Plusieurs polynômes orthogonaux, dont les polynômes de Jacobi P^(α,β)
_net leurs cas particuliers LEGENDRE polynômes , polynômes de Chebyshev , polynômes Gegenbauer peuvent être rédigés en termes de fonctions hypergéométriques en utilisant

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_ {n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)}$

D' autres polynômes qui sont des cas particuliers comprennent polynômes Krawtchouk , polynômes Meixner , polynômes Meixner-Pollaczek .

Les fonctions modulaires elliptiques peuvent parfois être exprimées comme les fonctions inverses de rapports de fonctions hypergéométriques dont les arguments a , b , c sont 1, 1/2, 1/3, ... ou 0. Par exemple, si

${\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{ 2}};1;1-z{\bigr )}}{{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2 }};1;z{\bigr )}}}}$

alors

${\displaystyle z=\kappa ^{2}(\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4} }}}$

est une fonction modulaire elliptique de , où

${\displaystyle \theta _{2}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau (n+1/2)^{2}},\quad \theta _{3}(\tau )=\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{\pi i\tau n^{2}}}$.

Les fonctions bêta incomplètes B _x ( p , q ) sont liées par

${\displaystyle B_{x}(p,q)={\tfrac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x) }$

Les intégrales elliptiques complètes K et E sont données par

${\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{ 2}};1;k^{2}\droit)}$

${\displaystyle E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1} {2}};1;k^{2}\droit)}$

L'équation différentielle hypergéométrique

La fonction hypergéométrique est une solution de l'équation différentielle hypergéométrique d'Euler

${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\gauche[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw }{dz}}-ab\,w=0.}$

qui a trois points singuliers réguliers : 0,1 et ∞. La généralisation de cette équation à trois points singuliers réguliers arbitraires est donnée par l'équation différentielle de Riemann . Toute équation différentielle du second ordre avec trois points singuliers réguliers peut être convertie en équation différentielle hypergéométrique par un changement de variables.

Solutions aux points singuliers

Les solutions de l'équation différentielle hypergéométrique sont construites à partir de la série hypergéométrique ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ). L'équation a deux solutions linéairement indépendantes . A chacun des trois points singuliers 0, 1, , il y a généralement deux solutions spéciales de la forme x ^s fois une fonction holomorphe de x , où s est l'une des deux racines de l'équation indicielle et x est une variable locale nulle au point singulier régulier. Cela donne 3 × 2 = 6 solutions spéciales, comme suit.

Autour du point z  = 0, deux solutions indépendantes sont, si c n'est pas un entier non positif,

${\style d'affichage \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

et, à condition que c ne soit pas un entier,

${\displaystyle z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+ac,1+bc;2-c;z)}$

Si c est un entier non positif 1− m , alors la première de ces solutions n'existe pas et doit être remplacée par La deuxième solution n'existe pas lorsque c est un entier supérieur à 1, et est égal à la première solution, ou son remplacement, lorsque c est tout autre entier. Ainsi, lorsque c est un entier, une expression plus compliquée doit être utilisée pour une deuxième solution, égale à la première solution multipliée par ln( z ), plus une autre série en puissances de z , impliquant la fonction digamma . Voir Olde Daalhuis (2010) pour plus de détails. ${\displaystyle z^{m}F(a+m,b+m;1+m;z).}$erreur harvtxt : pas de cible : CITEREFOlde_Daalhuis2010 ( aide )

Autour de z  = 1, si c  −  a  −  b n'est pas un entier, on a deux solutions indépendantes

${\style d'affichage \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+bc;1-z)}$

et

${\displaystyle (1-z)^{cab}\;_{2}F_{1}(ca,cb;1+cab;1-z)}$

Autour de z  = ∞, si a  −  b n'est pas un entier, on a deux solutions indépendantes

${\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+ac;1+ab;z^{-1}\right)}$

et

${\displaystyle z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+bc;1+ba;z^{-1}\right).}$

Là encore, lorsque les conditions de non-intégrité ne sont pas réunies, il existe d'autres solutions plus compliquées.

3 des 6 solutions ci-dessus satisfont à une relation linéaire car l'espace des solutions est à 2 dimensions, ce qui donne (⁶
₃) = 20 relations linéaires entre elles appelées formules de connexion .

Les 24 solutions de Kummer

Une équation fuchsienne du second ordre à n points singuliers a un groupe de symétries agissant (projectivement) sur ses solutions, isomorphe au groupe de Coxeter D _n d'ordre n !2 ^{n −1} . Pour l'équation hypergéométrique n =3, le groupe est donc d'ordre 24 et isomorphe au groupe symétrique sur 4 points, et a été décrit pour la première fois par Kummer . L'isomorphisme avec le groupe symétrique est accidentel et n'a pas d'analogue pour plus de 3 points singuliers, et il vaut parfois mieux penser le groupe comme une extension du groupe symétrique sur 3 points (agissant comme des permutations des 3 points singuliers) par un 4-groupe de Klein (dont les éléments changent les signes des différences des exposants en un nombre pair de points singuliers). Le groupe de 24 transformations de Kummer est généré par les trois transformations prenant une solution F ( a , b ; c ; z ) à l'une des

${\displaystyle (1-z)^{-a}F\left(a,cb;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)}$

${\style d'affichage F(a,b;1+a+bc;1-z)}$

${\displaystyle (1-z)^{-b}F\left(ca,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)}$

qui correspondent aux transpositions (12), (23) et (34) sous un isomorphisme avec le groupe symétrique sur 4 points 1, 2, 3, 4. (Le premier et le troisième d'entre eux sont en fait égaux à F ( a , b ; c ; z ) alors que la seconde est une solution indépendante de l'équation différentielle.)

L'application des transformations 24=6×4 de Kummer à la fonction hypergéométrique donne les solutions 6 = 2×3 ci-dessus correspondant à chacun des 2 exposants possibles à chacun des 3 points singuliers, dont chacun apparaît 4 fois en raison des identités

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{cab}\,{}_{2}F_{1}(ca,cb;c ;z)\ \ \ {\text{Transformation d'Euler}}}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,cb; c;{\tfrac {z}{z-1}})\ \ \ {\text{transformation de Pfaff}}}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(ca,b; c;{\tfrac {z}{z-1}})\ \ \ {\text{transformation de Pfaff}}}$

Forme Q

L'équation différentielle hypergéométrique peut être amenée sous la forme Q

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+Q(z)u(z)=0}$

en faisant la substitution w = uv et en éliminant le terme de première dérivée. On trouve que

${\displaystyle Q={\frac {z^{2}[1-(ab)^{2}]+z[2c(a+b-1)-4ab]+c(2-c)}{4z^ {2}(1-z)^{2}}}}$

et v est donné par la solution de

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log v(z)=-{\frac {cz(a+b+1)}{2z(1-z)}}=-{\frac {c }{2z}}-{\frac {1+a+bc}{2(z-1)}}}$

lequel est

${\displaystyle v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(cab-1)/2}.}$

La forme Q est significative dans sa relation avec le dérivé schwarzien ( Hille 1976 , pp. 307-401).

Cartes triangulaires de Schwarz

Le triangle Schwarz cartes ou Schwarz de les -functions sont des rapports de paires de solutions.

${\displaystyle s_{k}(z)={\frac {\phi _{k}^{(1)}(z)}{\phi _{k}^{(0)}(z)}}}$

où k est l'un des points 0, 1, ∞. La notation

${\displaystyle D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z)}$

est aussi parfois utilisé. Notez que les coefficients de connexion deviennent des transformations de Möbius sur les cartes triangulaires.

Notez que chaque application triangulaire est régulière à z ∈ {0, 1, ∞} respectivement, avec

${\displaystyle s_{0}(z)=z^{\lambda }(1+{\mathcal {O}}(z))}$

${\displaystyle s_{1}(z)=(1-z)^{\mu }(1+{\mathcal {O}}(1-z))}$

et

${\displaystyle s_{\infty }(z)=z^{\nu }(1+{\mathcal {O}}({\tfrac {1}{z}})).}$

Dans le cas particulier de λ, μ et ν réels, avec 0 ≤ λ,μ,ν < 1 alors les s-maps sont des applications conformes du demi-plan supérieur H aux triangles de la sphère de Riemann , délimités par des arcs de cercle. Cette cartographie est une généralisation de la cartographie de Schwarz-Christoffel aux triangles avec des arcs de cercle. Les points singuliers 0,1 et ∞ sont envoyés aux sommets du triangle. Les angles du triangle sont respectivement πλ, et .

De plus, dans le cas de λ=1/ p , =1/ q et ν=1/ r pour les entiers p , q , r , alors le triangle tuile la sphère, le plan complexe ou le demi-plan supérieur selon que λ + μ + ν – 1 est positif, nul ou négatif ; et les s-maps sont des fonctions inverses de fonctions automorphes pour le groupe triangulaire〈p ,  q ,  r〉 = Δ( p ,  q ,  r ).

Groupe de monodromie

La monodromie d'une équation hypergéométrique décrit comment les solutions fondamentales changent lorsqu'elles se poursuivent analytiquement autour de chemins dans le plan z qui reviennent au même point. C'est-à-dire que lorsque le chemin s'enroule autour d'une singularité de ₂ F ₁ , la valeur des solutions au point final sera différente du point de départ.

Deux solutions fondamentales de l'équation hypergéométrique sont liées l'une à l'autre par une transformation linéaire ; ainsi la monodromie est une application (homomorphisme de groupe) :

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {C} \setminus \{0,1\},z_{0})\to {\text{GL}}(2,\mathbf {C} )}$

où ₁ est le groupe fondamental . En d'autres termes, la monodromie est une représentation linéaire à deux dimensions du groupe fondamental. Le groupe de monodromie de l'équation est l'image de cette carte, c'est-à-dire le groupe engendré par les matrices de monodromie. La représentation de monodromie du groupe fondamental peut être calculée explicitement en termes d'exposants aux points singuliers. Si (α, α'), (β, β') et (γ,γ') sont les exposants en 0, 1 et , alors, en prenant z ₀ proche de 0, les boucles autour de 0 et 1 ont des matrices de monodromie

${\displaystyle g_{0}={\begin{pmatrix}e^{2\pi i\alpha }&0\\0&e^{2\pi i\alpha ^{\prime }}\end{pmatrix}}\, \,\,}$ et ${\displaystyle \,\,\,g_{1}={\begin{pmatrix}{\mu e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }} \ sur \mu -1}&{\mu (e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }}) \over (\mu -1)^{2} }\\e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta }&{\mu e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e ^{2\pi i\beta } \over \mu -1}\end{pmatrix}},}$

où

${\displaystyle \mu ={\sin \pi (\alpha +\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta +\gamma ^ {\prime }) \over \sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha +\beta +\gamma ^ {\premier })}.}$

Si 1- a , c - a - b , a - b sont des nombres rationnels non entiers de dénominateurs k , l , m alors le groupe de monodromie est fini si et seulement si , voir la liste de Schwarz ou l'algorithme de Kovacic . ${\style d'affichage 1/k+1/l+1/m>1}$

Formules intégrales

Type d'Euler

Si B est la fonction bêta alors

${\displaystyle \mathrm {B} (b,cb)\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1} (1-x)^{cb-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0,}$

à condition que z ne soit pas un nombre réel tel qu'il soit supérieur ou égal à 1. et peut être prouvé en développant (1 −  zx ) ^{− a en} utilisant le théorème du binôme puis en intégrant terme à terme pour z avec une valeur absolue inférieure à 1 , et par suite analytique ailleurs. Lorsque z est un nombre réel supérieur ou égal à 1, la continuation analytique doit être utilisée car (1 −  zx ) est égal à zéro à un certain point dans le support de l'intégrale, donc la valeur de l'intégrale peut être mal définie. Ceci a été donné par Euler en 1748 et implique les transformations hypergéométriques d'Euler et de Pfaff.

D'autres représentations, correspondant à d'autres branches , sont données en prenant le même intégrande, mais en prenant le chemin de l'intégration pour être un cycle de Pochhammer fermé enfermant les singularités dans divers ordres. De tels chemins correspondent à l' action de monodromie .

Intégrale de Barnes

Barnes a utilisé la théorie des résidus pour évaluer l' intégrale de Barnes

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\ Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds}$

comme

${\displaystyle {\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (c)}}\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}$

où le contour est tracé pour séparer les pôles 0, 1, 2... des pôles − a , − a  − 1, ..., − b , − b  − 1, ... . Ceci est valable tant que z n'est pas un nombre réel non négatif.

John transformer

La fonction hypergéométrique de Gauss peut être écrite comme une transformation de John ( Gelfand, Gindikin & Graev 2003 , 2.1.2).

Relations contiguës de Gauss

Les six fonctions

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a\pm 1,b;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b\pm 1;c;z) ,\quad {}_{2}F_{1}(a,b;c\pm 1;z)}$

sont dits contigus à ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) . Gauss a montré que ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) peut être écrit comme une combinaison linéaire de deux quelconques de ses fonctions contiguës, avec des coefficients rationnels en fonction de a , b , c et z . Cela donne

${\displaystyle {\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}=15}$

relations, données en identifiant deux lignes quelconques du côté droit de

${\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dF}{dz}}&=z{\frac {ab}{c}}F(a+,b+,c+)\\&=a(F(a+ )-F)\\&=b(F(b+)-F)\\&=(c-1)(F(c-)-F)\\&={\frac {(ca)F(a- )+(a-c+bz)F}{1-z}}\\&={\frac {(cb)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z}}\ \&=z{\frac {(ca)(cb)F(c+)+c(a+bc)F}{c(1-z)}}\end{aligné}}}$

où F = ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ), F ( a +) = ₂ F ₁ ( a + 1, b ; c ; z ) , et ainsi de suite. L'application répétée de ces relations donne une relation linéaire sur C (z) entre trois fonctions quelconques de la forme

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a+m,b+n;c+l;z),}$

où m , n et l sont des nombres entiers.

Fraction continue de Gauss

Gauss a utilisé les relations contiguës pour donner plusieurs façons d'écrire un quotient de deux fonctions hypergéométriques sous forme de fraction continue, par exemple :

${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z )}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(ac)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(bc -1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(ac-1)(b+1)}{(c+ 2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(bc-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1 +{}\ddots }}}}}}}}}}}$

Formules de transformation

Les formules de transformation relient deux fonctions hypergéométriques à différentes valeurs de l'argument z .

Transformations linéaires fractionnaires

La transformation d'Euler est

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{cab}{}_{2}F_{1}(ca,cb;c;z ).}$

Il s'ensuit en combinant les deux transformations de Pfaff

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,ca; c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,cb; c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)}$

qui à leur tour découlent de la représentation intégrale d'Euler. Pour l'extension des première et deuxième transformations d'Euler, voir Rathie & Paris (2007) et Rakha & Rathie (2011) . Il peut également être écrit comme combinaison linéaire

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c,z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (cab)}{\Gamma (ca)\Gamma (cb)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\[6pt]&{}+{\frac { \Gamma (c)\Gamma (a+bc)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{cab}{}_{2}F_{1}(ca,cb; 1+cab;1-z).\end{aligned}}}$

Transformations quadratiques

Si deux des nombres 1 −  c , c  − 1, a  −  b , b  −  a , a  +  b  −  c , c  −  a  −  b sont égaux ou l'un d'eux est 1/2 alors il y a une transformation quadratique du fonction hypergéométrique, la reliant à une valeur différente de z liée par une équation quadratique. Les premiers exemples ont été donnés par Kummer (1836) , et une liste complète a été donnée par Goursat (1881) . Un exemple typique est

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}{}_{2}F_{ 1}\gauche({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{ 2}}{4z-4}}\droit)}$

Transformations d'ordre supérieur

Si 1− c , a − b , a + b − c diffèrent par des signes ou si deux d'entre eux sont 1/3 ou −1/3 alors il y a une transformation cubique de la fonction hypergéométrique, la reliant à une valeur différente de z liée par une équation cubique. Les premiers exemples ont été donnés par Goursat (1881) . Un exemple typique est

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1 }{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left (a-{\tfrac {1}{3}},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right)}$

Il existe également des transformations de degré 4 et 6. Les transformations d'autres degrés n'existent que si a , b , et c sont certains nombres rationnels ( Vidunas 2005 ). Par exemple,

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{8}};{\tfrac {7}{8}};z \right)(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}_{2}F_{1}\left({\tfrac { 1}{48}},{\tfrac {17}{48}} ;{\tfrac {7}{8}} ;{\tfrac {-432z(z-1)^{2}(z+1)^ {8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3}}}\right).}$

Valeurs aux points spéciaux z

Voir Slater (1966 , Annexe III) pour une liste de formules de sommation à des points particuliers, dont la plupart apparaissent également dans Bailey (1935) . Gessel & Stanton (1982) donnent d'autres évaluations à plusieurs reprises. Koepf (1995) montre comment la plupart de ces identités peuvent être vérifiées par des algorithmes informatiques.

Valeurs spéciales à z  = 1

Le théorème de sommation de Gauss, du nom de Carl Friedrich Gauss , est l'identité

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (cab)}{\Gamma (ca)\Gamma (cb)} },\qquad \Re (c)>\Re (a+b)}$

qui découle de la formule intégrale d'Euler en mettant z  = 1. Elle inclut l' identité de Vandermonde comme cas particulier.

Pour le cas particulier où , ${\style d'affichage a=-m}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)={\frac {(cb)_{m}}{(c)_{m}}}}$

La formule de Dougall généralise cela à la série hypergéométrique bilatérale à z  = 1.

Théorème de Kummer ( z  = −1)

Il existe de nombreux cas où les fonctions hypergéométriques peuvent être évaluées à z  = −1 en utilisant une transformation quadratique pour changer z  = −1 en z  = 1 puis en utilisant le théorème de Gauss pour évaluer le résultat. Un exemple typique est le théorème de Kummer, du nom d' Ernst Kummer :

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+ab;-1)={\frac {\Gamma (1+ab)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2 }}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}ab)}}}$

qui découle des transformations quadratiques de Kummer

${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+ab;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1} \left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+ab;-{\frac {4z}{(1-z)^{2} }}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1 }{2}};1+ab;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

et le théorème de Gauss en mettant z  = −1 dans la première identité. Pour une généralisation de la sommation de Kummer, voir Lavoie, Grondin & Rathie (1996) .

Valeurs à z  = 1/2

Le deuxième théorème de sommation de Gauss est

${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}} \right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\ Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}$

Le théorème de Bailey est

${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{ 2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\gauche(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\gauche(c+a\ right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+ca\right))}}.}$

Pour des généralisations du deuxième théorème de sommation de Gauss et du théorème de sommation de Bailey, voir Lavoie, Grondin & Rathie (1996) .

Autres points

Il existe de nombreuses autres formules donnant la fonction hypergéométrique sous forme de nombre algébrique à des valeurs rationnelles spéciales des paramètres, dont certaines sont répertoriées dans Gessel & Stanton (1982) et Koepf (1995) . Quelques exemples typiques sont donnés par

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{4(x-1)} }\right)={\frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}}{2}},}$

qui peut être reformulé comme

${\displaystyle T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2 }}(1-\cos x)\right)=\cos(ax)}$

chaque fois que −π < x < π et que T est le polynôme (généralisé) de Chebyshev .

Voir également

• Série d'Appell , une généralisation à 2 variables des séries hypergéométriques
• Série hypergéométrique de base où le rapport des termes est une fonction périodique de l'indice
• Les séries hypergéométriques bilatérales _p H _p sont similaires aux séries hypergéométriques généralisées, mais sommées sur tous les entiers
• Série binomiale ₁ F ₀
• Série hypergéométrique confluente ₁ F ₁ ( a ; c ; z )
• Série hypergéométrique elliptique où le rapport des termes est une fonction elliptique de l'indice
• Intégrale hypergéométrique d'Euler , une représentation intégrale de ₂ F ₁
• Fox H-function , une extension de la fonction Meijer G
• Fonction de Fox-Wright , une généralisation de la fonction hypergéométrique généralisée
• Solution de Frobenius à l'équation hypergéométrique
• Fonction hypergéométrique générale introduite par IM Gelfand .
• Série hypergéométrique généralisée _p F _q où le rapport des termes est une fonction rationnelle de l'indice
• Série géométrique , où le rapport des termes est une constante
• Fonction de Heun , solutions d'EDO du second ordre avec quatre points singuliers réguliers
• Fonction de Horn , 34 séries hypergéométriques convergentes distinctes en deux variables
• Série de Humbert 7 fonctions hypergéométriques de 2 variables
• Distribution hypergéométrique , une distribution de probabilité discrète
• Fonction hypergéométrique d'un argument matriciel , la généralisation multivariée de la série hypergéométrique
• Fonction de Kampé de Fériet , série hypergéométrique de deux variables
• Lauricella série hypergéométrique , série hypergéométrique de trois variables
• Fonction E de MacRobert , une extension de la série hypergéométrique généralisée _p F _q au cas p > q +1.
• Fonction G de Meijer , une extension de la série hypergéométrique généralisée _p F _q au cas p > q +1.
• Série hypergéométrique modulaire , une forme terminale de la série hypergéométrique elliptique
• Série hypergéométrique thêta , une sorte spéciale de série hypergéométrique elliptique.
• Blocs conformes Virasoro , fonctions spéciales dans la théorie des champs conformes à deux dimensions qui se réduisent à des fonctions hypergéométriques dans certains cas.

Les références

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Liens externes

• "Fonction hypergéométrique" , Encyclopédie des mathématiques , EMS Press , 2001 [1994]
• John Pearson, Calcul des fonctions hypergéométriques ( Université d'Oxford , thèse de maîtrise)
• Marko Petkovsek, Herbert Wilf et Doron Zeilberger, Le livre "A = B" (téléchargeable gratuitement)
• Weisstein, Eric W. "Fonction hypergéométrique" . MathWorld .