Carte conforme - Conformal map
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En mathématiques , une application conforme est une fonction qui préserve localement les angles , mais pas nécessairement les longueurs.
Plus formellement, laissez et soyez des sous-ensembles ouverts de . Une fonction est appelée conforme (ou préservant l'angle ) en un point si elle préserve les angles entre les courbes dirigées via , ainsi que l'orientation. Les cartes conformes préservent à la fois les angles et les formes des figures infiniment petites, mais pas nécessairement leur taille ou leur courbure .
La propriété conforme peut être décrite en termes de matrice dérivée jacobienne d'une transformation de coordonnées . La transformation est conforme chaque fois que le Jacobien en chaque point est un scalaire positif multiplié par une matrice de rotation ( orthogonale au déterminant un). Certains auteurs définissent la conformité pour inclure des applications d'inversion d'orientation dont les Jacobiens peuvent être écrits comme n'importe quelle fois scalaire n'importe quelle matrice orthogonale.
Pour les applications en deux dimensions, les applications conformes (préservant l'orientation) sont précisément les fonctions analytiques complexes localement inversibles . En trois dimensions et plus, le théorème de Liouville limite nettement les applications conformes à quelques types.
La notion de conformité se généralise de façon naturelle aux applications entre variétés riemanniennes ou semi-riemanniennes .
Cartes conformes en deux dimensions
Si est un sous - ensemble ouvert du plan complexe , alors une fonction est conforme si et seulement si elle est holomorphe et que sa dérivée est partout non nulle sur . Si est antiholomorphe ( conjugué à une fonction holomorphe), il préserve les angles mais inverse leur orientation.
Dans la littérature, il existe une autre définition de conforme : une application biunivoque et holomorphe sur un ouvert dans le plan. Le théorème d'application ouvert force la fonction inverse (définie sur l'image de ) à être holomorphe. Ainsi, selon cette définition, une application est conforme si et seulement si elle est biholomorphe. Les deux définitions des cartes conformes ne sont pas équivalentes. Être un-à-un et holomorphe implique d'avoir une dérivée non nulle. Cependant, la fonction exponentielle est une fonction holomorphe avec une dérivée non nulle, mais n'est pas biunivoque puisqu'elle est périodique.
Le théorème d'application de Riemann , l'un des résultats profonds de l' analyse complexe , déclare que tout sous- ensemble propre ouvert non vide simplement connecté de admet une application conforme bijective au disque unité ouvert dans .
Cartes conformes globales sur la sphère de Riemann
Une application de la sphère de Riemann sur elle-même est conforme si et seulement si c'est une transformation de Möbius .
Le conjugué complexe d'une transformation de Möbius préserve les angles, mais inverse l'orientation. Par exemple, encerclez les inversions .
Cartes conformes en trois dimensions ou plus
Géométrie riemannienne
En géométrie riemannienne , deux métriques riemanniennes et sur une variété lisse sont appelées conformes équivalentes si pour une fonction positive sur . La fonction est appelée facteur de conformité .
Un difféomorphisme entre deux variétés riemanniennes est appelé une application conforme si la métrique retirée est conformement équivalente à celle d'origine. Par exemple, la projection stéréographique d'une sphère sur le plan augmenté d'un point à l'infini est une carte conforme.
On peut aussi définir une structure conforme sur une variété lisse, en tant que classe de métriques riemanniennes équivalentes en conformité .
Espace euclidien
Un théorème classique de Joseph Liouville montre qu'il y a beaucoup moins d'applications conformes en dimensions supérieures qu'en deux dimensions. Toute carte conforme d'un sous-ensemble ouvert de l' espace euclidien dans le même espace euclidien de dimension trois ou plus peut être composée de trois types de transformations : une homothétie , une isométrie et une transformation conforme spéciale .
Applications
Cartographie
En cartographie , plusieurs projections cartographiques nommées , dont la projection de Mercator et la projection stéréographique sont conformes. Ils sont particulièrement utiles pour une utilisation dans la navigation maritime en raison de sa propriété unique de représenter n'importe quel cours de relèvement constant comme un segment droit. Un tel parcours, connu sous le nom de rhumb (ou, mathématiquement, de loxodrome) est préféré en navigation maritime car les navires peuvent naviguer dans une direction constante.
Physique et ingénierie
Les cartographies conformes sont inestimables pour résoudre des problèmes d'ingénierie et de physique qui peuvent être exprimés en termes de fonctions d'une variable complexe tout en présentant des géométries peu pratiques. En choisissant une cartographie appropriée, l'analyste peut transformer la géométrie gênante en une géométrie beaucoup plus pratique. Par exemple, on peut souhaiter calculer le champ électrique, , résultant d'une charge ponctuelle située près du coin de deux plans conducteurs séparés par un certain angle (où est la coordonnée complexe d'un point dans l'espace 2). Ce problème en soi est assez maladroit à résoudre sous forme fermée. Cependant, en utilisant une cartographie conforme très simple, l'angle gênant est mappé à l'un des radians précisément , ce qui signifie que le coin de deux plans est transformé en une ligne droite. Dans ce nouveau domaine, le problème (celui du calcul du champ électrique imprimé par une charge ponctuelle située à proximité d'une paroi conductrice) est assez simple à résoudre. La solution est obtenue dans ce domaine, , puis mappée vers le domaine d'origine en notant que a été obtenu en fonction ( à savoir , la composition de et ) de , d'où peut être considéré comme , qui est une fonction de , l'original base de coordonnées. Notez que cette application n'est pas en contradiction avec le fait que les applications conformes préservent les angles, elles ne le font que pour les points à l'intérieur de leur domaine, et non à la frontière. Un autre exemple est l'application de la technique de cartographie conforme pour résoudre le problème de la valeur limite du ballottement des liquides dans les réservoirs.
Si une fonction est harmonique (c'est-à-dire qu'elle satisfait l'équation de Laplace ) sur un domaine plan (qui est bidimensionnel) et est transformée via une application conforme à un autre domaine plan, la transformation est également harmonique. Pour cette raison, toute fonction définie par un potentiel peut être transformée par une application conforme et rester toujours régie par un potentiel. Des exemples en physique d'équations définies par un potentiel incluent le champ électromagnétique , le champ gravitationnel et, en dynamique des fluides , le flux potentiel , qui est une approximation du flux de fluide en supposant une densité constante , une viscosité nulle et un flux irrotationnel . Un exemple d'application dynamique des fluides d'une application conforme est la transformée de Joukowsky .
Les cartes conformes sont également utiles pour résoudre des équations aux dérivées partielles non linéaires dans certaines géométries spécifiques. De telles solutions analytiques fournissent un contrôle utile sur l'exactitude des simulations numériques de l'équation gouvernante. Par exemple, dans le cas d'un écoulement à surface libre très visqueux autour d'une paroi semi-infinie, le domaine peut être mappé sur un demi-plan dans lequel la solution est unidimensionnelle et simple à calculer.
Pour les systèmes discrets, Noury et Yang ont présenté un moyen de convertir le locus racine des systèmes discrets en locus racine continu grâce à une cartographie conforme bien connue en géométrie (alias cartographie d'inversion ).
les équations de Maxwell
Un grand groupe de cartes conformes pour relier les solutions des équations de Maxwell a été identifié par Ebenezer Cunningham (1908) et Harry Bateman (1910). Leur formation à l'université de Cambridge leur avait permis de maîtriser la méthode des charges d'images et les méthodes associées d'images pour les sphères et l'inversion. Comme le raconte Andrew Warwick (2003) Masters of Theory :
- Chaque solution quadridimensionnelle pourrait être inversée dans une hypersphère quadridimensionnelle de pseudo-rayon afin de produire une nouvelle solution.
Warwick met en évidence ce « nouveau théorème de la relativité » comme une réponse de Cambridge à Einstein, et comme fondé sur des exercices utilisant la méthode d'inversion, tels que ceux trouvés dans le manuel de James Hopwood Jeans Mathematical Theory of Electricity and Magnetism .
Relativité générale
En relativité générale , les cartes conformes sont le type de transformation causale le plus simple et donc le plus courant. Physiquement, ceux-ci décrivent des univers différents dans lesquels tous les mêmes événements et interactions sont toujours (causalement) possibles, mais une nouvelle force supplémentaire est nécessaire pour y parvenir (c'est-à-dire que la réplication de toutes les mêmes trajectoires nécessiterait des écarts par rapport au mouvement géodésique parce que la métrique le tenseur est différent). Il est souvent utilisé pour essayer de faire des modèles susceptibles d'être étendus au-delà des singularités de courbure , par exemple pour permettre la description de l'univers avant même le Big Bang .
Voir également
- Carte biholomorphe
- Théorème de Carathéodory - Une application conforme s'étend de façon continue jusqu'à la frontière
- Diagramme de Penrose
- Cartographie de Schwarz-Christoffel - une transformation conforme du demi-plan supérieur sur l'intérieur d'un polygone simple
- Groupe linéaire spécial - transformations qui préservent le volume (par opposition aux angles) et l'orientation
Les références
Lectures complémentaires
- Ahlfors, Lars V. (1973), Invariants conformes: sujets de théorie des fonctions géométriques , New York: McGraw-Hill Book Co., MR 0357743
- Constantin Carathéodory (1932) Représentation Conforme , Cambridge Tracts in Mathematics and Physics
- Chanson, H. (2009), Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows , CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Pays-Bas, 478 pages, ISBN 978-0-415-49271-3
- Churchill, Ruel V. (1974), Variables complexes et applications , New York : McGraw-Hill Book Co., ISBN 978-0-07-010855-4
- EP Dolzhenko (2001) [1994], "Conformal mapping" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Rudin, Walter (1987), Analyse réelle et complexe (3e éd.), New York: McGraw-Hill Book Co., ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157
- Weisstein, Eric W. "Cartographie conforme" . MathWorld .
Liens externes
- Visualisations interactives de nombreuses cartes conformes
- Cartes conformes par Michael Trott, Wolfram Demonstrations Project .
- Images de cartographie conforme du flux de courant dans différentes géométries sans et avec champ magnétique par Gerhard Brunthaler.
- Transformation conforme : du cercle au carré .
- Grapher de carte conforme en ligne .
- Application Web interactive de transformation de Joukowski
- Une cartographie conforme dessinée par MC Escher