Temps imaginaire - Imaginary time

Le temps imaginaire est une représentation mathématique du temps qui apparaît dans certaines approches de la relativité restreinte et de la mécanique quantique . Il trouve des utilisations pour relier la mécanique quantique à la mécanique statistique et dans certaines théories cosmologiques .

Mathématiquement, le temps imaginaire est le temps réel qui a subi une rotation de Wick de sorte que ses coordonnées sont multipliées par l' unité imaginaire i . Le temps imaginaire n'est pas imaginaire dans le sens où il est irréel ou inventé (pas plus que, disons, les nombres irrationnels défient la logique), il est simplement exprimé en termes de ce que les mathématiciens appellent les nombres imaginaires .

Origines

Mathématiquement, le temps imaginaire peut être obtenu à partir du temps réel via une rotation de Wick par dans le plan complexe : , où est défini comme , et est connu comme l'unité imaginaire. ${\displaystyle \scriptstyle \tau }$${\displaystyle \scriptstyle t}$${\displaystyle \scriptstyle \pi /2}$${\displaystyle \scriptstyle \tau \ =\ it}$${\style d'affichage i^{2}}$${\style d'affichage -1}$${\style d'affichage i}$

Stephen Hawking a popularisé le concept de temps imaginaire dans son livre The Universe in a Nutshell .

On pourrait penser que cela signifie que les nombres imaginaires ne sont qu'un jeu mathématique n'ayant rien à voir avec le monde réel. Du point de vue de la philosophie positiviste, cependant, on ne peut pas déterminer ce qui est réel. Tout ce que l'on peut faire est de trouver quels modèles mathématiques décrivent l'univers dans lequel nous vivons. Il s'avère qu'un modèle mathématique impliquant le temps imaginaire prédit non seulement des effets que nous avons déjà observés, mais aussi des effets que nous n'avons pas pu mesurer mais auxquels nous croyons néanmoins pour d'autres. les raisons. Alors qu'est-ce qui est réel et qu'est-ce qui est imaginaire ? La distinction est-elle juste dans nos esprits?

-  Stephen Hawking

En fait, les noms « réel » et « imaginaire » pour les nombres ne sont qu'un accident historique, tout comme les noms « rationnel » et « irrationnel » :

... les mots réel et imaginaire sont des vestiges pittoresques d'une époque où la nature des nombres complexes n'était pas correctement comprise.

—  HSM Coxeter

En cosmologie

Dans le modèle d' espace-temps de Minkowski adopté par la théorie de la relativité , l'espace-temps est représenté comme une surface ou une variété à quatre dimensions. Son équivalent à quatre dimensions d'une distance dans l'espace à trois dimensions est appelé un intervalle . En supposant qu'une période de temps spécifique soit représentée comme un nombre réel de la même manière qu'une distance dans l'espace, un intervalle dans l'espace-temps relativiste est donné par la formule habituelle mais avec le temps nié : ${\style d'affichage d}$

${\displaystyle d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}}$

où , et sont des distances le long de chaque axe spatial et est une période de temps ou "distance" le long de l'axe du temps (strictement, la coordonnée de temps est où est la vitesse de la lumière, cependant nous choisissons conventionnellement des unités telles que ). ${\style d'affichage x}$${\style d'affichage y}$${\style d'affichage z}$${\style d'affichage t}$${\style d'affichage (ct)^{2}}$${\style d'affichage c}$${\style d'affichage c=1}$

Mathématiquement, cela équivaut à écrire

${\displaystyle d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+(it)^{2}}$

Dans ce contexte, peut être soit accepté comme une caractéristique de la relation entre l'espace et le temps réel, comme ci-dessus, soit il peut alternativement être incorporé dans le temps lui-même, de telle sorte que la valeur du temps est elle-même un nombre imaginaire , noté , et le équation réécrite sous forme normalisée : ${\style d'affichage i}$${\style d'affichage \tau }$

${\displaystyle d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\tau ^{2}}$

De même, ses quatre vecteurs peuvent alors être écrits comme

${\style d'affichage (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})}$

où les distances sont représentées par , est la vitesse de la lumière et . ${\style d'affichage x_{n}}$${\style d'affichage c}$${\displaystyle x_{0}=ict}$

Hawking a noté l'utilité de la rotation des intervalles de temps dans une métrique imaginaire dans certaines situations, en 1971.

En cosmologie physique , le temps imaginaire peut être incorporé dans certains modèles de l' univers qui sont des solutions aux équations de la relativité générale . En particulier, le temps imaginaire peut aider à lisser les singularités gravitationnelles , là où les lois physiques connues s'effondrent, pour supprimer la singularité et éviter de telles ruptures (voir état de Hartle-Hawking ). Le Big Bang , par exemple, apparaît comme une singularité dans le temps ordinaire mais, lorsqu'il est modélisé avec un temps imaginaire, la singularité peut être supprimée et le Big Bang fonctionne comme n'importe quel autre point de l' espace - temps à quatre dimensions . Toute frontière avec l'espace-temps est une forme de singularité, où la nature lisse de l'espace-temps s'effondre. Avec toutes ces singularités retirées de l'Univers, il ne peut donc avoir aucune frontière et Stephen Hawking a émis l'hypothèse que « la condition aux limites de l'Univers est qu'il n'a pas de frontière ».

Cependant, la nature non prouvée de la relation entre le temps physique réel et le temps imaginaire incorporé dans de tels modèles a suscité des critiques. Penrose a noté qu'il doit y avoir une transition de la métrique riemannienne (souvent appelée « euclidienne » dans ce contexte) avec un temps imaginaire au Big Bang à une métrique lorenzienne avec un temps réel pour l'Univers en évolution. De plus, les observations modernes suggèrent que l'Univers est ouvert et ne se réduira jamais à un Big Crunch. Si cela s'avère vrai, alors la limite de fin de temps demeure.

En mécanique statistique quantique

Les équations du champ quantique peuvent être obtenues en prenant la transformée de Fourier des équations de la mécanique statistique. Puisque la transformée de Fourier d'une fonction apparaît généralement comme son inverse, les particules ponctuelles de la mécanique statistique deviennent, sous une transformée de Fourier, les oscillateurs harmoniques infiniment étendus de la théorie quantique des champs. La fonction de Green d'un opérateur différentiel linéaire inhomogène, défini sur un domaine avec des conditions initiales ou des conditions aux limites spécifiées, est sa réponse impulsionnelle, et mathématiquement nous définissons les particules ponctuelles de la mécanique statistique comme des fonctions delta de Dirac, c'est-à-dire des impulsions. A température finie , les fonctions de Green sont périodiques en temps imaginaire avec une période de . Par conséquent, leurs transformées de Fourier ne contiennent qu'un ensemble discret de fréquences appelées fréquences Matsubara . ${\style d'affichage T}$${\displaystyle \scriptstyle 2\beta \ =\ 2/T}$

Le lien entre la mécanique statistique et la théorie quantique des champs est également visible dans l'amplitude de transition entre un état initial I et un état final  F , où H  est l' hamiltonien de ce système. Si nous comparons cela avec la fonction de partition, nous voyons que pour obtenir la fonction de partition à partir des amplitudes de transition que nous pouvons remplacer , définissez F  =  I  =  n et additionnez sur n . De cette façon, nous n'avons pas à faire deux fois le travail en évaluant à la fois les propriétés statistiques et les amplitudes de transition. ${\displaystyle \scriptstyle \langle F\mid e^{-itH}\mid I\rangle }$${\displaystyle \scriptstyle Z\ =\ \operatorname {Tr} \ e^{-\beta H}}$${\displaystyle \scriptstyle t\,=\,\beta /i}$

Enfin, en utilisant une rotation de Wick, on peut montrer que la théorie quantique des champs euclidienne dans l'  espace-temps ( D + 1)-dimensionnel n'est rien d'autre que la mécanique statistique quantique dans l'espace D -dimensionnel.

Voir également

• Gravité quantique euclidienne
• Dimensions temporelles multiples

Les références

Remarques

Bibliographie

• Hawking, Stephen W. (1998). Une brève histoire du temps (éd. commémorative du dixième anniversaire). Livres Bantam. p. 157. ISBN 978-0-553-10953-5.
• Hawking, Stephen W. (2001). L'univers en bref . États-Unis et Canada : Bantam Books. pages 58-61, 63, 82-85, 90-94, 99, 196. ISBN 0-553-80202-X.

Lectures complémentaires

• Gerald D. Mahan. Physique à plusieurs particules, chapitre 3
• A. Zee La théorie quantique des champs en bref, chapitre V.2

Liens externes

• The Beginning of Time — Conférence de Stephen Hawking qui traite du temps imaginaire.
• Univers de Stephen Hawking : Strange Stuff Explained — Site PBS sur le temps imaginaire.