Fonction image inversée - Inverse image functor

En mathématiques, en particulier en topologie algébrique et en géométrie algébrique , un foncteur d'image inverse est une construction contravariante de poulies ; ici « contravariante » au sens donné une carte , l'image inverse foncteur est un foncteur de la catégorie des faisceaux sur Y à la catégorie des faisceaux sur X . Le foncteur d'image directe est l'opération principale sur les poulies, avec la définition la plus simple. L'image inverse présente des caractéristiques relativement subtiles. ${\ displaystyle f: X \ à Y}$

Fonctions d'image pour poulies
image directe f ∗
image inverse f ∗
image directe avec support compact f !
image inverse exceptionnelle Rf !
${\ displaystyle f ^ {*} \ leftrightarrows f _ {*}}$
${\ displaystyle (R) f _ {!} \ leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Théorèmes de changement de base
v t e

Définition

Supposons que nous sommes donné une gerbe sur et que nous voulons le transport à l' aide d' une carte continue . ${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f \ colon X \ à Y}$

Nous appellerons le résultat l' image inverse ou le faisceau de retrait . Si nous essayons d'imiter l' image directe en définissant ${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$

${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}} (U) = {\ mathcal {G}} (f (U))}$

pour chaque ensemble ouvert de , nous rencontrons immédiatement un problème: n'est pas nécessairement ouvert. Le mieux que nous puissions faire est de l'approcher par des ensembles ouverts, et même dans ce cas, nous obtiendrons un pré - feuillet et non un faisceau. Par conséquent, nous définissons comme étant la gerbe associée au pré-feuillage : ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f (U)}$${\ displaystyle f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$

${\ displaystyle U \ mapsto \ varinjlim _ {V \ supseteq f (U)} {\ mathcal {G}} (V).}$

(Voici un sous-ensemble ouvert de et la colimite s'exécute sur tous les sous - ensembles ouverts de contenant .) ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f (U)}$

Par exemple, si est simplement l'inclusion d'un point de , alors n'est que la tige de à ce stade. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f ^ {- 1} ({\ mathcal {F}})}$${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Les cartes de restriction, ainsi que la fonctionnalité de l'image inverse découle de la propriété universelle des limites directes .

Lorsqu'il s'agit de morphismes d' espaces localement annelés , par exemple des schémas en géométrie algébrique , on travaille souvent avec des faisceaux de -modules , où se trouve la gerbe de structure . Alors le foncteur est inapproprié, car en général il ne donne même pas de gerbes de -modules. Pour y remédier, on définit dans cette situation pour un faisceau de -modules son image inverse par ${\ displaystyle f \ colon X \ à Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {Y}}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}}}$

${\ displaystyle f ^ {*} {\ mathcal {G}}: = f ^ {- 1} {\ mathcal {G}} \ otimes _ {f ^ {- 1} {\ mathcal {O}} _ {Y }} {\ mathcal {O}} _ {X}}$.

Propriétés

• Bien qu'il soit plus compliqué à définir que , les tiges sont plus faciles à calculer: étant donné un point , on a .${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle f _ {\ ast}}$${\ displaystyle x \ dans X}$${\ displaystyle (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}) _ {x} \ cong {\ mathcal {G}} _ {f (x)}}$
• ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$est un foncteur exact , comme le montre le calcul ci-dessus des tiges.
• ${\ displaystyle f ^ {*}}$est (en général) juste exact. Si est exact, f est appelé plat .${\ displaystyle f ^ {*}}$
• ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$est l' adjoint gauche du foncteur image directe . Cela implique qu'il existe des morphismes naturels unitaires et de comte et . Ces morphismes donnent une correspondance d'adjonction naturelle:${\ displaystyle f _ {\ ast}}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \ rightarrow f _ {*} f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} f _ {*} {\ mathcal {F}} \ rightarrow {\ mathcal {F}}}$

${\ displaystyle \ mathrm {Hom} _ {\ mathbf {Sh} (X)} (f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}, {\ mathcal {F}}) = \ mathrm {Hom} _ { \ mathbf {Sh} (Y)} ({\ mathcal {G}}, f _ {*} {\ mathcal {F}})}$.

Cependant, les morphismes et ne sont presque jamais des isomorphismes. Par exemple, si désigne l'inclusion d'un sous-ensemble fermé, la tige de en un point est canoniquement isomorphe à si est dans et autrement. Une adjonction similaire est valable pour le cas des réas de modules, remplacés par . ${\ displaystyle {\ mathcal {G}} \ rightarrow f _ {*} f ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} f _ {*} {\ mathcal {F}} \ rightarrow {\ mathcal {F}}}$${\ displaystyle i \ colon Z \ à Y}$${\ displaystyle i _ {*} i ^ {- 1} {\ mathcal {G}}}$${\ displaystyle y \ in Y}$${\ displaystyle {\ mathcal {G}} _ {y}}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle i ^ {- 1}}$${\ displaystyle i ^ {*}}$

Les références

• Iversen, Birger (1986), Cohomology of sheaves , Universitext, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, MR  0842190. Voir section II.4.