Paramètres de Lamé - Lamé parameters

En mécanique des milieux continus , les paramètres Lamé (appelé aussi les coefficients de Lamé , les constantes Lamé ou de modules Lamé ) sont deux quantités en fonction des matériaux désignés par λ et μ qui se posent dans la souche - contrainte relations. En général, λ et μ sont individuellement désignées comme premier paramètre de Lamé et second paramètre de Lamé , respectivement. D'autres noms sont parfois employés pour un ou les deux paramètres, selon le contexte. Par exemple, le paramètre μ est appelé en dynamique des fluides la viscosité dynamique d'un fluide (pas les mêmes unités); tandis que , dans le cadre de l' élasticité , μ est appelé le module de cisaillement , et est parfois désigné par G à la place de μ . En général , la notation G apparaît associé à l'utilisation du module de Young E, et la notation μ est associé à l'utilisation de λ .

Dans les matériaux homogènes et isotropes , ceux-ci définissent la loi de Hooke en 3D,

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}+\lambda \;\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})I,}$

où σ est la contrainte , ε le tenseur de déformation , I la matrice identité et tr la fonction de trace . La loi de Hooke peut être écrite en termes de composantes tensorielles en utilisant la notation d'index comme

${\displaystyle \sigma _{ij}=2\mu E_{ij}+\lambda \delta _{ij}E_{kk},}$

où σ _ij est le tenseur des contraintes, E _ij le tenseur de déformation, et ô _ij le delta de Kronecker .

Les deux paramètres constituent ensemble une paramétrisation des modules d'élasticité pour des milieux isotropes homogènes, populaire dans la littérature mathématique, et sont donc liés aux autres modules d'élasticité ; par exemple, le module de masse peut être exprimé comme K = λ + 2/3μ . Relationsd'autres modules se trouvent dans la ( λ , G rangée) de la table de conversion à la fin de cet article.

Bien que le module de cisaillement, μ , doit être positive, le premier paramètre de Lamé, λ , peut être négatif, en principe; cependant, pour la plupart des matériaux, il est également positif.

Les paramètres portent le nom de Gabriel Lamé . Elles ont la même dimension que la contrainte et sont généralement données dans l'unité de pression [Pa].

Lectures complémentaires

• K. Feng, Z.-C. Shi, Théorie mathématique des structures élastiques , Springer New York, ISBN  0-387-51326-4 , (1981)
• G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin, The Rock Physics Handbook , Cambridge University Press (broché), ISBN  0-521-54344-4 , (2003)
• WS Slaughter, La théorie linéarisée de l'élasticité , Birkhäuser, ISBN  0-8176-4117-3 , (2002)

Les références

Formules de conversion
Les matériaux élastiques linéaires isotropes homogènes ont leurs propriétés élastiques uniquement déterminées par deux modules quelconques parmi ceux-ci; ainsi, étant donné deux quelconques, tout autre des modules d'élasticité peut être calculé selon ces formules.
	${\style d'affichage K=\,}$	${\style d'affichage E=\,}$	${\style d'affichage \lambda =\,}$	${\style d'affichage G=\,}$	${\style d'affichage \nu =\,}$	${\style d'affichage M=\,}$	Remarques
${\style d'affichage (K,\,E)}$			${\style d'affichage {\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3KE}{9K-E}}}$	${\style d'affichage {\tfrac {3K-E}{6K}}}$	${\style d'affichage {\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}}$
${\style d'affichage (K,\,\lambda )}$		${\displaystyle {\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}}$		${\displaystyle {\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}}$	${\displaystyle 3K-2\lambda \,}$
${\style d'affichage (K,\,G)}$		${\style d'affichage {\tfrac {9KG}{3K+G}}}$	${\displaystyle K-{\tfrac {2}{3}}}$		${\style d'affichage {\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}}$	${\displaystyle K+{\tfrac {4G}{3}}}$
${\style d'affichage (K,\,\nu )}$		${\style d'affichage 3K(1-2\nu )\,}$	${\displaystyle {\tfrac {3K\nu}} {1+\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}}$
${\style d'affichage (K,\,M)}$		${\style d'affichage {\tfrac {9K(MK)}{3K+M}}}$	${\style d'affichage {\tfrac {3K-M}{2}}}$	${\style d'affichage {\tfrac {3(MK)}{4}}}$	${\style d'affichage {\tfrac {3K-M}{3K+M}}}$
${\style d'affichage (E,\,\lambda )}$	${\style d'affichage {\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}}$			${\displaystyle {\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E-\lambda +R}{2}}}$	${\displaystyle R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}}$
${\style d'affichage (E,\,G)}$	${\style d'affichage {\tfrac {EG}{3(3G-E)}}}$		${\style d'affichage {\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}}$		${\style d'affichage {\tfrac {E}{2G}}-1}$	${\style d'affichage {\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}}$
${\style d'affichage (E,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E}{2(1+\nu )}}}$		${\displaystyle {\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}}$
${\style d'affichage (E,\,M)}$	${\style d'affichage {\tfrac {3M-E+S}{6}}}$		${\style d'affichage {\tfrac {M-E+S}{4}}}$	${\style d'affichage {\tfrac {3M+ES}{8}}}$	${\displaystyle {\tfrac {E-M+S}{4M}}}$		${\displaystyle S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}}$ Il existe deux solutions valables. Le signe plus mène à .${\style d'affichage \nu \geq 0}$ Le signe moins mène à .${\style d'affichage \nu \leq 0}$
${\style d'affichage (\lambda ,\,G)}$	${\displaystyle \lambda +{\tfrac {2G}{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}}$			${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}}$	${\style d'affichage \lambda +2G\,}$
${\style d'affichage (\lambda ,\,\nu )}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}}$		${\displaystyle {\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}}$	Ne peut pas être utilisé lorsque ${\displaystyle \nu =0\Leftrightarrow \lambda =0}$
${\style d'affichage (\lambda ,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {M+2\lambda }{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}}$		${\displaystyle {\tfrac {M-\lambda }{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}}$
${\style d'affichage (G,\,\nu )}$	${\style d'affichage {\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}}$	${\style d'affichage 2G(1+\nu )\,}$	${\displaystyle {\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}}$			${\displaystyle {\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}}$
${\style d'affichage (G,\,M)}$	${\displaystyle M-{\tfrac {4G}{3}}}$	${\style d'affichage {\tfrac {G(3M-4G)}{MG}}}$	${\style d'affichage M-2G\,}$		${\style d'affichage {\tfrac {M-2G}{2M-2G}}}$
${\style d'affichage (\nu ,\,M)}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {M\nu }{1-\nu }}}$	${\displaystyle {\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}}$