Arithmétique d'indice de niveau symétrique - Symmetric level-index arithmetic
La représentation par indice de niveau ( LI ) des nombres et ses algorithmes pour les opérations arithmétiques ont été introduits par Charles Clenshaw et Frank Olver en 1984.
La forme symétrique du système LI et ses opérations arithmétiques ont été présentées par Clenshaw et Peter Turner en 1987.
Michael Anuta, Daniel Lozier, Nicolas Schabanel et Turner ont développé l'algorithme pour l' arithmétique d' indice de niveau symétrique ( SLI ) et une implémentation parallèle de celui-ci. De nombreux travaux ont été consacrés au développement des algorithmes arithmétiques SLI et à leur extension aux opérations arithmétiques complexes et vectorielles .
Définition
L'idée du système d'indice de niveau est de représenter un nombre réel non négatif X comme
où et le processus d'exponentiation est effectué ℓ fois, avec . ℓ et f sont le niveau et l' indice de X respectivement. x = ℓ + f est l'image LI de X . Par example,
donc son image LI est
La forme symétrique est utilisée pour autoriser les exposants négatifs, si la magnitude de X est inférieure à 1. On prend sgn (log( X )) ou sgn(| X | − | X | −1 ) et on le stocke (après avoir substitué +1 pour 0 pour le signe réciproque puisque pour X = 1 = e 0 l'image LI est x = 1.0 et définit uniquement X =1 et on peut se passer d'un troisième état et n'utiliser qu'un bit pour les deux états -1 et +1 ) comme signe réciproque r X . Mathématiquement, cela équivaut à prendre l' inverse (inverse multiplicatif) d'un petit nombre de magnitude, puis à trouver l'image SLI pour l'inverse. L'utilisation d'un bit pour le signe réciproque permet la représentation de nombres extrêmement petits.
Un bit de signe peut également être utilisé pour autoriser des nombres négatifs. On prend sgn (X) et on le stocke (après avoir substitué +1 à 0 pour le signe puisque pour X = 0 l'image LI est x = 0.0 et définit de manière unique X = 0 et on peut se passer d'un troisième état et n'en utiliser qu'un bit pour les deux états -1 et +1) comme signe s X . Mathématiquement, cela équivaut à prendre l'inverse (inverse additif) d'un nombre négatif, puis à trouver l'image SLI pour l'inverse. L'utilisation d'un bit pour le signe permet la représentation de nombres négatifs.
La fonction de mappage est appelée fonction logarithme généralisée . Il est défini comme
et il se mappe sur lui-même de manière monotone et donc inversible sur cet intervalle. L'inverse, la fonction exponentielle généralisée , est définie par
La densité de valeurs X représentée par x n'a pas de discontinuités lorsque l'on passe du niveau ℓ à ℓ + 1 (une propriété très souhaitable) puisque :
La fonction logarithme généralisée est étroitement liée au logarithme itératif utilisé dans l'analyse informatique des algorithmes.
Formellement, nous pouvons définir la représentation SLI pour un réel arbitraire X (pas 0 ou 1) comme
où s X est le signe (inversion additive ou non) de X et r X est le signe réciproque (inversion multiplicative ou non) comme dans les équations suivantes :
alors que pour X = 0 ou 1, on a :
Par example,
et sa représentation SLI est
Voir également
- Tétration
- Virgule flottante (FP)
- Virgule flottante effilée (TFP)
- Système de numération logarithmique (LNS)
- Niveau (quantité logarithmique)
Les références
Lectures complémentaires
- Clenshaw, Charles-Guillaume ; Olver, Frank William John ; Turner, Peter R. (1989). « Arithmétique d'indice de niveau : Une enquête d'introduction ». Numerical Analysis and Parallel Processing (Actes de la conférence / The Lancaster Numerical Analysis Summer School 1987). Notes de cours en mathématiques (LNM). 1397 : 95-168. doi : 10.1007/BFb0085718 .
- Clenshaw, Charles-Guillaume ; Turner, Peter R. (1989-06-23) [1988-10-04]. « Racine au carré utilisant l'arithmétique d'indice de niveau ». Informatique . Springer-Verlag . 43 (2) : 171-185. ISSN 0010-485X .
- Zehendner, Eberhard (été 2008). "Rechnerarithmetik: Logarithmische Zahlensysteme" (PDF) (script de la conférence) (en allemand). Friedrich-Schiller-Universität Jena . p. 21–22. Archivé (PDF) de l'original le 2018-07-09 . Récupéré le 09/07/2018 . [1]
- Hayes, Brian (septembre-octobre 2009). "L'arithmétique supérieure" . Scientifique américain . 97 (5) : 364-368. doi : 10.1511/2009.80.364 . Archivé de l'original le 2018-07-09 . Récupéré le 09/07/2018 . [2] . Également réimprimé dans : Hayes, Brian (2017). "Chapitre 8: Arithmétique Supérieure". Infaillible, et d'autres méditations mathématiques (1 éd.). La presse du MIT . p. 113–126. ISBN 978-0-26203686-3. ISBN 0-26203686-X .
Liens externes
- sli-c-library (hébergée par Google Code), "Implémentation en C++ de l'arithmétique d'index de niveau symétrique" .