Graphique tridimensionnel montrant les valeurs de la moyenne logarithmique.
En mathématiques , la moyenne logarithmique est une fonction de deux nombres non négatifs qui est égal à leur différence divisée par le logarithme de leur quotient . Ce calcul est applicable aux problèmes d' ingénierie impliquant un transfert de chaleur et de masse .
Définition La moyenne logarithmique est définie comme:
M
lm
(
X
,
y
)
=
lim
(
ξ
,
η
)
→
(
X
,
y
)
η
-
ξ
ln
(
η
)
-
ln
(
ξ
)
=
{
X
si
X
=
y
,
y
-
X
ln
(
y
)
-
ln
(
X
)
autrement,
{\ displaystyle {\ begin {aligné} M _ {\ text {lm}} (x, y) & = \ lim _ {(\ xi, \ eta) \ to (x, y)} {\ frac {\ eta - \ xi} {\ ln (\ eta) - \ ln (\ xi)}} \\ [6pt] & = {\ begin {cases} x & {\ text {if}} x = y, \\ {\ frac { yx} {\ ln (y) - \ ln (x)}} & {\ text {sinon,}} \ end {cases}} \ end {aligné}}}
pour les nombres positifs .
X
,
y
{\ displaystyle x, y}
Les inégalités La moyenne logarithmique de deux nombres est plus petite que la moyenne arithmétique et la moyenne généralisée avec l'exposant un tiers mais plus grande que la moyenne géométrique , sauf si les nombres sont identiques, auquel cas les trois moyennes sont égales aux nombres.
X
y
≤
M
lm
(
X
,
y
)
≤
(
X
1
/
3
+
y
1
/
3
2
)
3
≤
X
+
y
2
pour tous
X
>
0
et
y
>
0.
{\ displaystyle {\ sqrt {xy}} \ leq M _ {\ text {lm}} (x, y) \ leq \ left ({\ frac {x ^ {1/3} + y ^ {1/3}} {2}} \ right) ^ {3} \ leq {\ frac {x + y} {2}} \ qquad {\ text {pour tous}} x> 0 {\ text {et}} y> 0.}
Dérivation Théorème de la valeur moyenne du calcul différentiel À partir du théorème de la valeur moyenne , il existe une valeur dans l' intervalle entre x et y où la dérivée est égale à la pente de la ligne sécante :
ξ
{\ displaystyle \ xi}
F
′
{\ displaystyle f '}
∃
ξ
∈
(
X
,
y
)
:
F
′
(
ξ
)
=
F
(
X
)
-
F
(
y
)
X
-
y
{\ displaystyle \ existe \ xi \ in (x, y): \ f '(\ xi) = {\ frac {f (x) -f (y)} {xy}}}
La moyenne logarithmique est obtenue en tant que valeur de en substituant à et de même pour son correspondant dérivé :
ξ
{\ displaystyle \ xi}
ln
{\ displaystyle \ ln}
F
{\ displaystyle f}
1
ξ
=
ln
(
X
)
-
ln
(
y
)
X
-
y
{\ displaystyle {\ frac {1} {\ xi}} = {\ frac {\ ln (x) - \ ln (y)} {xy}}}
et la résolution de :
ξ
{\ displaystyle \ xi}
ξ
=
X
-
y
ln
(
X
)
-
ln
(
y
)
{\ displaystyle \ xi = {\ frac {xy} {\ ln (x) - \ ln (y)}}}
L'intégration La moyenne logarithmique peut également être interprétée comme l' aire sous une courbe exponentielle .
L
(
X
,
y
)
=
∫
0
1
X
1
-
t
y
t
ré
t
=
∫
0
1
(
y
X
)
t
X
ré
t
=
X
∫
0
1
(
y
X
)
t
ré
t
=
X
ln
(
y
X
)
(
y
X
)
t
|
t
=
0
1
=
X
ln
(
y
X
)
(
y
X
-
1
)
=
y
-
X
ln
(
y
X
)
=
y
-
X
ln
(
y
)
-
ln
(
X
)
{\ displaystyle {\ begin {aligné} L (x, y) = {} & \ int _ {0} ^ {1} x ^ {1-t} y ^ {t} \ \ mathrm {d} t = { } \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) ^ {t} x \ \ mathrm {d} t = {} x \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) ^ {t} \ mathrm {d} t \\ [3pt] = {} & \ left. {\ Frac {x} {\ ln \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)}} \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) ^ {t} \ right | _ {t = 0} ^ {1 } = {} {\ frac {x} {\ ln \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)}} \ left ({\ frac {y} {x}} - 1 \ right) = {} {\ frac {yx} {\ ln \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)}} \\ [3pt] = {} & {\ frac {yx} {\ ln \ left ( y \ right) - \ ln \ left (x \ right)}} \ end {aligné}}}
L'interprétation des aires permet de dériver facilement certaines propriétés de base de la moyenne logarithmique. Puisque la fonction exponentielle est monotone , l'intégrale sur un intervalle de longueur 1 est bornée par et . L' homogénéité de l'opérateur intégral est transférée à l'opérateur moyen, c'est-à-dire .
X
{\ displaystyle x}
y
{\ displaystyle y}
L
(
c
X
,
c
y
)
=
c
L
(
X
,
y
)
{\ Displaystyle L (cx, cy) = cL (x, y)}
Deux autres représentations intégrales utiles sont
1
L
(
X
,
y
)
=
∫
0
1
ré
t
t
X
+
(
1
-
t
)
y
{\ displaystyle {1 \ over L (x, y)} = \ int _ {0} ^ {1} {\ operatorname {d} \! t \ over tx + (1-t) y}}
et
1
L
(
X
,
y
)
=
∫
0
∞
ré
t
(
t
+
X
)
(
t
+
y
)
.
{\ displaystyle {1 \ over L (x, y)} = \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ operatorname {d} \! t \ over (t + x) \, (t + y)} .}
Généralisation Théorème de la valeur moyenne du calcul différentiel On peut généraliser la moyenne aux variables en considérant le théorème de la valeur moyenne pour les différences divisées pour la ième dérivée du logarithme.
n
+
1
{\ displaystyle n + 1}
n
{\ displaystyle n}
On obtient
L
MV
(
X
0
,
…
,
X
n
)
=
(
-
1
)
(
n
+
1
)
n
ln
(
[
X
0
,
…
,
X
n
]
)
-
n
{\ displaystyle L _ {\ text {MV}} (x_ {0}, \, \ dots, \, x_ {n}) = {\ sqrt [{- n}] {(- 1) ^ {(n + 1 )} n \ ln \ left (\ left [x_ {0}, \, \ dots, \, x_ {n} \ right] \ right)}}}
où dénote une différence divisée du logarithme.
ln
(
[
X
0
,
…
,
X
n
]
)
{\ displaystyle \ ln \ left (\ left [x_ {0}, \, \ dots, \, x_ {n} \ right] \ right)}
Car cela conduit à
n
=
2
{\ displaystyle n = 2}
L
MV
(
X
,
y
,
z
)
=
(
X
-
y
)
(
y
-
z
)
(
z
-
X
)
2
(
(
y
-
z
)
ln
(
X
)
+
(
z
-
X
)
ln
(
y
)
+
(
X
-
y
)
ln
(
z
)
)
{\ displaystyle L _ {\ text {MV}} (x, y, z) = {\ sqrt {\ frac {(xy) \ left (yz \ right) \ left (zx \ right)} {2 \ left (\ gauche (yz \ droite) \ ln \ gauche (x \ droite) + \ gauche (zx \ droite) \ ln \ gauche (y \ droite) + \ gauche (xy \ droite) \ ln \ gauche (z \ droite) \ droite)}}}}
Intégral L'interprétation intégrale peut également être généralisée à plus de variables, mais elle conduit à un résultat différent. Étant donné le simplexe avec et une mesure appropriée qui attribue au simplex un volume de 1, on obtient
S
{\ textstyle S}
S
=
{
(
α
0
,
…
,
α
n
)
:
(
α
0
+
⋯
+
α
n
=
1
)
∧
(
α
0
≥
0
)
∧
⋯
∧
(
α
n
≥
0
)
}
{\ textstyle S = \ {\ left (\ alpha _ {0}, \, \ dots, \, \ alpha _ {n} \ right): \ left (\ alpha _ {0} + \ dots + \ alpha _ {n} = 1 \ right) \ land \ left (\ alpha _ {0} \ geq 0 \ right) \ land \ dots \ land \ left (\ alpha _ {n} \ geq 0 \ right) \}}
ré
α
{\ textstyle \ mathrm {d} \ alpha}
L
je
(
X
0
,
…
,
X
n
)
=
∫
S
X
0
α
0
⋅
⋯
⋅
X
n
α
n
ré
α
{\ displaystyle L _ {\ text {I}} \ left (x_ {0}, \, \ dots, \, x_ {n} \ right) = \ int _ {S} x_ {0} ^ {\ alpha _ { 0}} \ cdot \, \ cdots \, \ cdot x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}} \ \ mathrm {d} \ alpha}
Cela peut être simplifié en utilisant les différences divisées de la fonction exponentielle pour
L
je
(
X
0
,
…
,
X
n
)
=
n
!
exp
[
ln
(
X
0
)
,
…
,
ln
(
X
n
)
]
{\ displaystyle L _ {\ text {I}} \ left (x_ {0}, \, \ dots, \, x_ {n} \ right) = n! \ exp \ left [\ ln \ left (x_ {0} \ right), \, \ dots, \, \ ln \ left (x_ {n} \ right) \ right]}
Exemple
n
=
2
{\ textstyle n = 2}
L
je
(
X
,
y
,
z
)
=
-
2
X
(
ln
(
y
)
-
ln
(
z
)
)
+
y
(
ln
(
z
)
-
ln
(
X
)
)
+
z
(
ln
(
X
)
-
ln
(
y
)
)
(
ln
(
X
)
-
ln
(
y
)
)
(
ln
(
y
)
-
ln
(
z
)
)
(
ln
(
z
)
-
ln
(
X
)
)
{\ displaystyle L _ {\ text {I}} (x, y, z) = - 2 {\ frac {x \ left (\ ln \ left (y \ right) - \ ln \ left (z \ right) \ right ) + y \ gauche (\ ln \ gauche (z \ droite) - \ ln \ gauche (x \ droite) \ droite) + z \ gauche (\ ln \ gauche (x \ droite) - \ ln \ gauche (y \ droite) \ droite)} {\ gauche (\ ln \ gauche (x \ droite) - \ ln \ gauche (y \ droite) \ droite) \ gauche (\ ln \ gauche (y \ droite) - \ ln \ gauche ( z \ right) \ right) \ left (\ ln \ left (z \ right) - \ ln \ left (x \ right) \ right)}}}
Connexion à d'autres moyens
Moyenne arithmétique :
L
(
X
2
,
y
2
)
L
(
X
,
y
)
=
X
+
y
2
{\ displaystyle {\ frac {L \ left (x ^ {2}, y ^ {2} \ right)} {L (x, y)}} = {\ frac {x + y} {2}}}
Moyenne géométrique :
L
(
X
,
y
)
L
(
1
X
,
1
y
)
=
X
y
{\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {L \ left (x, y \ right)} {L \ left ({\ frac {1} {x}}, {\ frac {1} {y}} \ right) }}} = {\ sqrt {xy}}}
Moyenne harmonique :
L
(
1
X
,
1
y
)
L
(
1
X
2
,
1
y
2
)
=
2
1
X
+
1
y
{\ displaystyle {\ frac {L \ left ({\ frac {1} {x}}, {\ frac {1} {y}} \ right)} {L \ left ({\ frac {1} {x ^ {2}}}, {\ frac {1} {y ^ {2}}} \ right)}} = {\ frac {2} {{\ frac {1} {x}} + {\ frac {1} {y}}}}}
Voir également Les références Citations Bibliographie
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
![{\ displaystyle {\ begin {aligné} M _ {\ text {lm}} (x, y) & = \ lim _ {(\ xi, \ eta) \ to (x, y)} {\ frac {\ eta - \ xi} {\ ln (\ eta) - \ ln (\ xi)}} \\ [6pt] & = {\ begin {cases} x & {\ text {if}} x = y, \\ {\ frac { yx} {\ ln (y) - \ ln (x)}} & {\ text {sinon,}} \ end {cases}} \ end {aligné}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0b45ba94901cfc8fc47565d4b9212ab83ff1e02)
![{\ displaystyle {\ begin {aligné} L (x, y) = {} & \ int _ {0} ^ {1} x ^ {1-t} y ^ {t} \ \ mathrm {d} t = { } \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) ^ {t} x \ \ mathrm {d} t = {} x \ int _ {0} ^ {1} \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) ^ {t} \ mathrm {d} t \\ [3pt] = {} & \ left. {\ Frac {x} {\ ln \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)}} \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) ^ {t} \ right | _ {t = 0} ^ {1 } = {} {\ frac {x} {\ ln \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)}} \ left ({\ frac {y} {x}} - 1 \ right) = {} {\ frac {yx} {\ ln \ left ({\ frac {y} {x}} \ right)}} \\ [3pt] = {} & {\ frac {yx} {\ ln \ left ( y \ right) - \ ln \ left (x \ right)}} \ end {aligné}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/834a3d1b2267cb6d782f1542ced8616b209e17c0)
![{\ displaystyle L _ {\ text {MV}} (x_ {0}, \, \ dots, \, x_ {n}) = {\ sqrt [{- n}] {(- 1) ^ {(n + 1 )} n \ ln \ left (\ left [x_ {0}, \, \ dots, \, x_ {n} \ right] \ right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f768d4332d13acc1ed2bef32032c7fd92c84bc)
![{\ displaystyle \ ln \ left (\ left [x_ {0}, \, \ dots, \, x_ {n} \ right] \ right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7456e6367275d5f13829e0150ea009b5b093bb38)
![{\ displaystyle L _ {\ text {I}} \ left (x_ {0}, \, \ dots, \, x_ {n} \ right) = n! \ exp \ left [\ ln \ left (x_ {0} \ right), \, \ dots, \, \ ln \ left (x_ {n} \ right) \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0beb3a5bfda4ba6e6185d83ddf13c718d7a590c)
