Stolarsky signifie - Stolarsky mean

En mathématiques , la moyenne de Stolarsky est une généralisation de la moyenne logarithmique . Il a été introduit par Kenneth B.Stolarsky en 1975.

Définition

Pour deux nombres réels positifs x , y, la moyenne de Stolarsky est définie comme suit:

{\ displaystyle {\ begin {aligné} S_ {p} (x, y) & = \ lim _ {(\ xi, \ eta) \ to (x, y)} \ left ({\ frac {\ xi ^ { p} - \ eta ^ {p}} {p (\ xi - \ eta)}} \ right) ^ {1 / (p-1)} \\ [10pt] & = {\ begin {cas} x & {\ text {if}} x = y \\\ left ({\ frac {x ^ {p} -y ^ {p}} {p (xy)}} \ right) ^ {1 / (p-1)} & {\ text {else}} \ end {cases}} \ end {aligné}}}

Dérivation

Il est dérivé du théorème de la valeur moyenne , qui déclare qu'une ligne sécante , coupant le graphique d'une fonction différentiable à et , a la même pente qu'une ligne tangente au graphique à un certain point de l' intervalle . ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle (x, f (x))}$ ${\ Displaystyle (y, f (y))}$ ${\ displaystyle \ xi}$ ${\ displaystyle [x, y]}$

{\ Displaystyle \ existe \ xi \ in [x, y] \ f '(\ xi) = {\ frac {f (x) -f (y)} {xy}}}

La moyenne de Stolarsky est obtenue par

{\ displaystyle \ xi = f '^ {- 1} \ left ({\ frac {f (x) -f (y)} {xy}} \ right)}

lors du choix . ${\ Displaystyle f (x) = x ^ {p}}$

Cas spéciaux

${\ displaystyle \ lim _ {p \ to - \ infty} S_ {p} (x, y)}$ est le minimum .
${\ displaystyle S _ {- 1} (x, y)}$ est la moyenne géométrique .
${\ displaystyle \ lim _ {p \ to 0} S_ {p} (x, y)}$ est la moyenne logarithmique . Il peut être obtenu à partir du théorème de la valeur moyenne en choisissant . ${\ displaystyle f (x) = \ ln x}$
${\ displaystyle S _ {\ frac {1} {2}} (x, y)}$ est la puissance moyenne avec exposant . ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$
${\ displaystyle \ lim _ {p \ to 1} S_ {p} (x, y)}$ est la moyenne identrique . Il peut être obtenu à partir du théorème de la valeur moyenne en choisissant . ${\ Displaystyle f (x) = x \ cdot \ ln x}$
${\ displaystyle S_ {2} (x, y)}$ est la moyenne arithmétique .
${\ displaystyle S_ {3} (x, y) = QM (x, y, GM (x, y))}$ est une connexion à la moyenne quadratique et à la moyenne géométrique .
${\ displaystyle \ lim _ {p \ to \ infty} S_ {p} (x, y)}$ est le maximum .