Courbe de Lorenz - Lorenz curve

Une courbe de Lorenz typique

En économie , la courbe de Lorenz est une représentation graphique de la répartition des revenus ou de la richesse . Il a été développé par Max O. Lorenz en 1905 pour représenter l' inégalité de la répartition des richesses .

La courbe est un graphique montrant la proportion du revenu global ou de la richesse assumée par les x % inférieurs de la population, bien que cela ne soit pas rigoureusement vrai pour une population finie (voir ci-dessous). Il est souvent utilisé pour représenter la répartition des revenus , où il montre pour le x % inférieur des ménages, quel pourcentage ( y %) du revenu total dont ils disposent. Le pourcentage de ménages est porté sur l' axe des x , le pourcentage du revenu sur l' axe des y . Il peut également être utilisé pour montrer la répartition des actifs . Dans une telle utilisation, de nombreux économistes le considèrent comme une mesure de l'inégalité sociale .

Le concept est utile pour décrire l'inégalité entre la taille des individus en écologie et dans les études sur la biodiversité , où la proportion cumulée d'espèces est tracée par rapport à la proportion cumulée d'individus. Il est également utile dans la modélisation d'entreprise : par exemple, dans le crédit à la consommation , pour mesurer le pourcentage réel y % de défaillances attribuables au x % de personnes ayant les pires scores de risque .

Explication

Dérivation de la courbe de Lorenz et du coefficient de Gini pour le revenu global en 2011

Données de 2005.

Les points sur la courbe de Lorenz représentent des déclarations telles que "les 20 % les plus pauvres de tous les ménages ont 10 % du revenu total".

Une répartition parfaitement égale des revenus serait celle dans laquelle chaque personne aurait le même revenu. Dans ce cas, les N % inférieurs de la société auraient toujours N % des revenus. Ceci peut être représenté par la ligne droite y = x ; appelé la "ligne d'égalité parfaite".

En revanche, une distribution parfaitement inégale serait celle dans laquelle une personne a tous les revenus et toutes les autres n'en ont aucun. Dans ce cas, la courbe serait à y = 0 % pour tout x < 100 %, et y = 100 % lorsque x = 100 %. Cette courbe est appelée la "ligne d'inégalité parfaite".

Le coefficient de Gini est le rapport de l'aire entre la ligne d'égalité parfaite et la courbe de Lorenz observée à l'aire entre la ligne d'égalité parfaite et la ligne d'inégalité parfaite. Plus le coefficient est élevé, plus la distribution est inégale. Dans le diagramme de droite, cela est donné par le rapport A /( A+B ), où A et B sont les aires des régions indiquées sur le diagramme.

Définition et calcul

La courbe de Lorenz est un graphique de probabilité (un graphique P-P ) comparant la distribution d'une variable à une distribution uniforme hypothétique de cette variable. Il peut généralement être représenté par une fonction L ( F ), où F , la portion cumulée de la population, est représentée par l'axe horizontal, et L , la portion cumulée de la richesse ou du revenu total, est représentée par l'axe vertical.

Pour une distribution discrète de Y donnée par les valeurs y ₁ ,..., y _n dans un ordre non décroissant ( y _i ≤ y _{i +1} ) et leurs probabilités, la courbe de Lorenz est la fonction linéaire continue par morceaux reliant les points ( F _i , L _i ), i = 0 à n , où F ₀ = 0, L ₀ = 0, et pour i = 1 à n : ${\displaystyle f(y_{j}):=\Pr(Y=y_{j})}$

${\displaystyle F_{i}:=\Sigma _{j=1}^{i}\;f(y_{j})\,}$

${\displaystyle S_{i}:=\Sigma _{j=1}^{i}\;f(y_{j})\,y_{j}\,}$

${\displaystyle L_{i}:=S_{i}/S_{n}\,}$

Lorsque tous les y _i sont également probables avec des probabilités 1/ n, cela se simplifie en

${\displaystyle F_{i}=i/n\,}$

${\displaystyle S_{i}=1/n\Sigma _{j=1}^{i}\;y_{j}\,}$

${\displaystyle L_{i}=S_{i}/S_{n}\,}$

Pour une distribution continue avec la fonction de densité de probabilité f et la fonction de distribution cumulée F , la courbe de Lorenz L est donnée par :

${\displaystyle L(F(x))={\frac {\int _{-\infty }^{x}t\,f(t)\,dt}{\int _{-\infty }^{\ infty }t\,f(t)\,dt}}={\frac {\int _{-\infty }^{x}t\,f(t)\,dt}{\mu }}}$

où désigne la moyenne. La courbe de Lorenz L(F) peut alors être tracée comme une fonction paramétrique en x : L(x) vs. F(x) . Dans d'autres contextes, la quantité calculée ici est connue sous le nom de distribution biaisée en longueur (ou en taille) ; il a également un rôle important dans la théorie du renouvellement. ${\style d'affichage \mu }$

Alternativement, pour une fonction de distribution cumulée F ( x ) avec x inverse ( F ), la courbe de Lorenz L ( F ) est directement donnée par :

${\displaystyle L(F)={\frac {\int _{0}^{F}x(F_{1})\,dF_{1}}{\int _{0}^{1}x(F_ {1})\,dF_{1}}}}$

L'inverse x ( F ) peut ne pas exister car la fonction de distribution cumulative a des intervalles de valeurs constantes. Cependant, la formule précédente peut toujours s'appliquer en généralisant la définition de x ( F ) :

x ( F ₁ ) = inf { y  : F ( y ) F ₁ }

Pour un exemple de courbe de Lorenz, voir distribution de Pareto .

Propriétés

Un exemple pratique de courbe de Lorenz : les courbes de Lorenz du Danemark, de la Hongrie et de la Namibie

Une courbe de Lorenz commence toujours à (0,0) et se termine à (1,1).

La courbe de Lorenz n'est pas définie si la moyenne de la distribution de probabilité est nulle ou infinie.

La courbe de Lorenz pour une distribution de probabilité est une fonction continue . Cependant, les courbes de Lorenz représentant des fonctions discontinues peuvent être construites comme la limite des courbes de Lorenz des distributions de probabilité, la ligne d'inégalité parfaite étant un exemple.

L'information dans une courbe de Lorenz peut être résumée par le coefficient de Gini et le coefficient d'asymétrie de Lorenz .

La courbe de Lorenz ne peut pas dépasser la ligne d'égalité parfaite.

Une courbe de Lorenz qui ne tombe jamais en dessous d'une deuxième courbe de Lorenz et passe au moins une fois au-dessus, a une dominance de Lorenz sur la seconde.

Si la variable mesurée ne peut pas prendre de valeurs négatives, la courbe de Lorenz :

• ne peut pas descendre en dessous de la ligne d'inégalité parfaite,
• est en augmentation .

Notez cependant qu'une courbe de Lorenz pour la valeur nette commencerait par devenir négative en raison du fait que certaines personnes ont une valeur nette négative en raison de la dette.

La courbe de Lorenz est invariante sous une échelle positive. Si X est une variable aléatoire, pour tout nombre positif c, la variable aléatoire c X a la même courbe de Lorenz que X .

La courbe de Lorenz est inversée deux fois, une fois environ F = 0,5 et une fois environ L = 0,5, par négation. Si X est une variable aléatoire avec la courbe de Lorenz L _X ( F ), alors − X a la courbe de Lorenz :

L _{− X} = 1 − L _X (1 −  F )

La courbe de Lorenz est modifiée par les translations de sorte que l'écart d'égalité F  −  L ( F ) change proportionnellement au rapport des moyennes originales et traduites. Si X est une variable aléatoire avec une courbe de Lorenz L _X ( F ) et une moyenne μ _X , alors pour toute constante c ≠ − μ _X , X + c a une courbe de Lorenz définie par :

${\displaystyle F-L_{X+c}(F)={\frac {\mu _{X}}{\mu _{X}+c}}(F-L_{X}(F))\, }$

Pour une fonction de distribution cumulée F ( x ) de moyenne μ et (généralisée) inverse x ( F ), alors pour tout F avec 0 < F < 1 :

• Si la courbe de Lorenz est dérivable :

${\displaystyle {\frac {dL(F)}{dF}}={\frac {x(F)}{\mu }}}$

• Si la courbe de Lorenz est deux fois dérivable, alors la fonction de densité de probabilité f ( x ) existe en ce point et :

${\displaystyle {\frac {d^{2}L(F)}{dF^{2}}}={\frac {1}{\mu \,f(x(F))}}\,}$

• Si L ( F ) est continûment dérivable, alors la tangente de L ( F ) est parallèle à la droite d'égalité parfaite au point F ( μ ). C'est également le point auquel l'écart d'égalité F  −  L ( F ), la distance verticale entre la courbe de Lorenz et la ligne d'égalité parfaite, est le plus grand. La taille de l'écart est égale à la moitié de l' écart absolu moyen relatif :

${\displaystyle F(\mu )-L(F(\mu ))={\frac {\text{moyenne écart absolu}}{2\,\mu }}}$

Voir également

• Distribution (économie)
• Distribution des richesses
• Économie du bien-être
• Indicateurs de l'inégalité des revenus
• coefficient de Gini
• Indice Hoover (alias indice Robin des Bois)
• Analyse ROC
• Bien-être social (science politique)
• Inégalité économique
• La loi de Zipf
• Répartition de Pareto
• Écart moyen

Les références

Lectures complémentaires

• Lorenz, MO (1905). « Méthodes de mesure de la concentration des richesses ». Publications de l'American Statistical Association . Publications de l'American Statistical Association, Vol. 9, n° 70. 9 (70) : 209-219. Bibcode : 1905PAmSA ... 9..209L . doi : 10.2307/2276207 . JSTOR  2276207 .
• Gastwirth, Joseph L. (1972). « L'estimation de la courbe de Lorenz et de l'indice de Gini ». La Revue d'économie et de statistique . La Revue d'économie et de statistique, vol. 54, n° 3. 54 (3) : 306-316. doi : 10.2307/1937992 . JSTOR  1937992 .
• Chakravarty, SR (1990). Numéros d'index sociaux éthiques . New York : Springer-Verlag. ISBN 0-387-52274-3.
• Anand, Sudhir (1983). Inégalité et pauvreté en Malaisie . New York : Oxford University Press. ISBN 0-19-520153-1.

Liens externes

• WIID : World Income Inequality Database, une source d'information sur les inégalités, collectée par WIDER (World Institute for Development Economics Research, partie de l'Université des Nations Unies)
• glcurve : module Stata pour tracer la courbe de Lorenz (tapez "findit glcurve" ou "ssc install glcurve" dans l'invite Stata à installer)
• Module complémentaire gratuit à STATA pour calculer les mesures d'inégalité et de pauvreté
• Le logiciel en ligne gratuit (Calculatrice) calcule le coefficient de Gini, trace la courbe de Lorenz et calcule de nombreuses autres mesures de concentration pour n'importe quel ensemble de données
• Calculatrice gratuite : scripts en ligne et téléchargeables ( Python et Lua ) pour les inégalités d'Atkinson, Gini et Hoover
• Les utilisateurs du logiciel d'analyse de données R peuvent installer le package "ineq" qui permet le calcul d'une variété d'indices d'inégalité, notamment Gini, Atkinson, Theil.
• Un package d'inégalité MATLAB , comprenant du code pour calculer les indices de Gini, Atkinson, Theil et pour tracer la courbe de Lorenz. De nombreux exemples sont disponibles.
• Un document complet sur la courbe de Lorenz comprenant diverses applications, y compris une feuille de calcul Excel représentant les courbes de Lorenz et le calcul des coefficients de Gini ainsi que des coefficients de variation.
• LORENZ 3.0 est un cahier Mathematica qui dessine des exemples de courbes de Lorenz et calcule les coefficients de Gini et les coefficients d'asymétrie de Lorenz à partir des données d'une feuille Excel.