Algèbre de Lie semi-simple - Semisimple Lie algebra

Groupes de mensonge
Groupes classiques
Groupes de Lie simples Classique Un n B n C n D n Exceptionnel G 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Autres groupes de Lie Cercle Lorentz Poincaré Groupe conforme Difféomorphisme Boucle Euclidienne
Algèbres de Lie
Algèbre de Lie semi-simple
Théorie de la représentation
Groupes de Lie en physique
Scientifiques Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm tuant Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossaire Tableau des groupes de Lie
v t e

En mathématiques , une algèbre de Lie est semi - simple si elle est une somme directe d' algèbres de Lie simples ( algèbres de Lie non abéliennes sans aucun idéal propre non nul ).

Dans tout l'article, sauf indication contraire, une algèbre de Lie est une algèbre de Lie de dimension finie sur un corps de caractéristique 0. Pour une telle algèbre de Lie , si non nulle, les conditions suivantes sont équivalentes: ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

• ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ est semi-simple;
• la forme Killing , κ (x, y) = tr (ad ( x ) ad ( y )), est non dégénérée ;
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ n'a pas d'idéaux abéliens non nuls;
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ n'a pas d' idéaux solubles non nuls ;
• le radical (idéal maximal résoluble) de est nul. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Importance

La signification de la semi-simplicité vient d'abord de la décomposition de Levi , qui déclare que toute algèbre de Lie de dimension finie est le produit semi-direct d'un idéal résoluble (son radical) et d'une algèbre semi-simple. En particulier, il n'y a pas d'algèbre de Lie non nulle qui soit à la fois résoluble et semi-simple.

Les algèbres de Lie semi-simples ont une classification très élégante, en contraste frappant avec les algèbres de Lie solubles . Les algèbres de Lie semi-simples sur un champ algébriquement clos de caractéristique zéro sont complètement classées par leur système racinaire , qui sont à leur tour classés par des diagrammes de Dynkin . Les algèbres semi-simples sur des champs non algébriquement fermés peuvent être comprises en termes de celles sur la fermeture algébrique, bien que la classification soit un peu plus complexe; voir la forme réelle pour le cas des algèbres de Lie semi-simples réelles, qui ont été classées par Élie Cartan .

De plus, la théorie de la représentation des algèbres de Lie semi-simples est beaucoup plus propre que celle des algèbres de Lie générales. Par exemple, la décomposition de Jordan dans une algèbre de Lie semi-simple coïncide avec la décomposition de Jordan dans sa représentation; ce n'est pas le cas des algèbres de Lie en général.

Si est semi-simple, alors . En particulier, toute algèbre de Lie semi-simple linéaire est une sous-algèbre de , l' algèbre de Lie linéaire spéciale . L'étude de la structure de constitue une partie importante de la théorie des représentations pour les algèbres de Lie semi-simples. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}}}$

Histoire

Les algèbres de Lie semi-simples sur les nombres complexes ont été classées pour la première fois par Wilhelm Killing (1888–1890), bien que sa preuve ait manqué de rigueur. Sa preuve a été rendue rigoureuse par Élie Cartan (1894) dans son doctorat. thèse, qui a également classé les algèbres de Lie réelles semi-simples. Ceci a été affiné par la suite, et la classification actuelle par diagrammes de Dynkin a été donnée par Eugene Dynkin, alors âgé de 22 ans, en 1947. Quelques modifications mineures ont été apportées (notamment par JP Serre), mais la preuve est inchangée dans son essence et peut être trouvé dans toute référence standard, telle que ( Humphreys 1972 ).

Propriétés de base

• Chaque idéal, quotient et produit d'algèbres de Lie semi-simples est à nouveau semi-simple.
• Le centre d'une algèbre de Lie semi-simple est trivial (puisque le centre est un idéal abélien). En d'autres termes, la représentation adjointe est injective. De plus, l'image se révèle être des dérivations sur . Par conséquent, est un isomorphisme. (C'est un cas particulier du lemme de Whitehead .) ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ad}}$${\ displaystyle \ operatorname {Der} ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad}: {\ mathfrak {g}} {\ overset {\ sim} {\ to}} \ operatorname {Der} ({\ mathfrak {g}})}$
• Comme la représentation adjointe est injective, une algèbre de Lie semi-simple est une algèbre de Lie linéaire sous la représentation adjointe. Cela peut conduire à une certaine ambiguïté, car chaque algèbre de Lie est déjà linéaire par rapport à un autre espace vectoriel ( théorème d'Ado ), mais pas nécessairement via la représentation adjointe. Mais dans la pratique, une telle ambiguïté se produit rarement.
• Si est une algèbre de Lie semi-simple, alors (parce qu'elle est semi-simple et abélienne). ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]}$
• Une algèbre de Lie de dimension finie sur un corps k de caractéristique zéro est semi-simple si et seulement si l'extension de base est semi-simple pour chaque extension de champ . Ainsi, par exemple, une algèbre de Lie réelle de dimension finie est semi-simple si et seulement si sa complexification est semi-simple. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ otimes _ {k} F}$${\ displaystyle F \ supset k}$

Décomposition de la Jordanie

Chaque endomorphisme x d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps de caractéristique zéro peut être décomposé de façon unique en un semi - simple ( à savoir, diagonalisable sur la clôture algébrique) et nilpotent partie

${\ Displaystyle x = s + n \}$

de telle sorte que s et n font la navette l'un avec l'autre. De plus, chacun de s et n est un polynôme en x . C'est la décomposition de Jordan de x .

Ce qui précède s'applique à la représentation adjointe d'une algèbre de Lie semi-simple . Un élément x de est dit semi-simple (resp. Nilpotent) si est un opérateur semi-simple (resp. Nilpotent). Si , alors la décomposition abstraite de Jordan indique que x peut être écrit uniquement comme: ${\ displaystyle \ operatorname {ad}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} (x)}$${\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle x = s + n}$

où est semi-simple, nilpotent et . De plus, si vous faites la navette avec x , il commute également avec les deux . ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle [s, n] = 0}$${\ displaystyle y \ in {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle s, n}$

La décomposition abstraite de Jordan prend en compte toute représentation de dans le sens où étant donné toute représentation ρ, ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle \ rho (x) = \ rho (s) + \ rho (n) \,}$

est la décomposition de Jordan de ρ ( x ) dans l'algèbre d'endomorphisme de l'espace de représentation. (Ceci est prouvé comme une conséquence du théorème de réductibilité complet de Weyl ; voir le théorème de Weyl sur la réductibilité complète # Application: préservation de la décomposition de Jordan .)

Structure

Soit une algèbre de Lie semi-simple (de dimension finie) sur un corps algébriquement clos de zéro caractéristique. La structure de peut être décrite par une action adjointe d'une certaine sous-algèbre distinguée sur elle, une sous-algèbre de Cartan . Par définition, un sous - algèbre de Cartan (aussi appelée maximale Toral sous - algèbre ) de est une sous - algèbre de maximale telle que, pour chaque , est diagonalisable . En fin de compte, il est abélien et donc tous les opérateurs sont diagonalisables simultanément . Pour chaque fonctionnelle linéaire de , soit ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle h \ in {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} (h)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {h}})}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha} = \ {x \ in {\ mathfrak {g}} | [h, x] = \ alpha (h) x \, {\ text {pour tous} } h \ dans {\ mathfrak {h}} \}}$ .

(Notez que c'est le centralisateur de .) Ensuite ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

(L'élément le plus difficile à montrer est . Les preuves standard utilisent toutes des faits dans la théorie de la représentation de ; par exemple, Serre utilise le fait qu'un -module avec un élément primitif de poids négatif est de dimension infinie, contradictoire .) ${\ displaystyle \ dim {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha} = 1}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2}}$${\ displaystyle \ dim {\ mathfrak {g}} <\ infty}$

Soit avec les relations de commutation ; c'est-à-dire, le correspondent à la base standard de . ${\ displaystyle h _ {\ alpha} \ in {\ mathfrak {h}}, e _ {\ alpha} \ in {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}, f _ {\ alpha} \ in {\ mathfrak {g }} _ {- \ alpha}}$${\ displaystyle [e _ {\ alpha}, f _ {\ alpha}] = h _ {\ alpha}, [h _ {\ alpha}, e _ {\ alpha}] = 2e _ {\ alpha}, [h _ {\ alpha}, f _ {\ alpha}] = - 2f _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle h _ {\ alpha}, e _ {\ alpha}, f _ {\ alpha}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2}}$

Les fonctionnelles linéaires dans sont appelées les racines de relatif à . Les racines s'étendent (puisque si , alors est l'opérateur zéro; c'est-à-dire est au centre, qui est zéro.) De plus, de la théorie de la représentation de , on déduit la symétrie et les propriétés intégrales suivantes de : pour chacun , ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$${\ displaystyle \ alpha (h) = 0, \ alpha \ in \ Phi}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} (h)}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2}}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ alpha, \ beta \ in \ Phi}$

Notez que possède les propriétés (1) et (2) l'ensemble à virgule fixe est , ce qui signifie que c'est la réflexion par rapport à l'hyperplan correspondant à . Ce qui précède dit alors qu'il s'agit d'un système racine . ${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ displaystyle s _ {\ alpha} (\ alpha) = - \ alpha}$${\ displaystyle \ {\ gamma \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*} | \ gamma (h _ {\ alpha}) = 0 \}}$${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ Phi}$

Il découle de la théorie générale d'un système racinaire qui contient une base de telle sorte que chaque racine est une combinaison linéaire de avec des coefficients entiers de même signe; les racines sont appelées racines simples . Let , etc. Ensuite, les éléments (appelés générateurs Chevalley ) se génèrent comme une algèbre de Lie. De plus, ils satisfont les relations (appelées relations de Serre ): avec , ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ dots, \ alpha _ {l}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ dots, \ alpha _ {l}}$${\ displaystyle \ alpha _ {i}}$${\ displaystyle e_ {i} = e _ {\ alpha _ {i}}}$${\ displaystyle 3l}$${\ displaystyle e_ {i}, f_ {i}, h_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle a_ {ij} = \ alpha _ {j} (h_ {i})}$

${\ displaystyle [h_ {i}, h_ {j}] = 0,}$

${\ displaystyle [e_ {i}, f_ {i}] = h_ {i}, [e_ {i}, f_ {j}] = 0, i \ neq j,}$

${\ displaystyle [h_ {i}, e_ {j}] = a_ {ij} e_ {j}, [h_ {i}, f_ {j}] = - a_ {ij} f_ {j},}$

${\ displaystyle \ operatorname {ad} (e_ {i}) ^ {- a_ {ij} +1} (e_ {j}) = \ operatorname {ad} (f_ {i}) ^ {- a_ {ij} + 1} (f_ {j}) = 0, i \ neq j}$ .

L'inverse de ceci est également vrai: c'est-à-dire que l'algèbre de Lie générée par les générateurs et les relations comme ci-dessus est une algèbre de Lie semi-simple (de dimension finie) qui a la décomposition de l'espace racine comme ci-dessus (à condition qu'il s'agisse d' une matrice de Cartan ). C'est un théorème de Serre . En particulier, deux algèbres de Lie semi-simples sont isomorphes si elles ont le même système racinaire. ${\ displaystyle [a_ {ij}] _ {1 \ leq i, j \ leq l}}$

L'implication de la nature axiomatique d'un système racinaire et du théorème de Serre est que l'on peut énumérer tous les systèmes racinaires possibles; par conséquent, «toutes les algèbres de Lie semi-simples possibles» (de dimension finie sur un champ algébriquement clos de zéro caractéristique).

Le groupe de Weyl est le groupe des transformations linéaires générées par les 's. Le groupe de Weyl est une symétrie importante du problème; par exemple, les poids de toute représentation de dimension finie de sont invariants sous le groupe de Weyl. ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*} \ simeq {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle s _ {\ alpha}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Exemple de décomposition d'espace racine dans sl _n (C)

For et la sous-algèbre de Cartan des matrices diagonales, définies par ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle \ lambda _ {i} \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {i} (d (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})) = a_ {i}}$ ,

où désigne la matrice diagonale avec sur la diagonale. Alors la décomposition est donnée par ${\ displaystyle d (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}$${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {n}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus \ left (\ bigoplus _ {i \ neq j} {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}} \ droite)}$

où

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}} = {\ text {Span}} _ {\ mathbb {C}} (e_ {ij})}$

pour le vecteur dans avec la base standard (matrice), ce qui signifie représente le vecteur de base dans la rangée -ième et -ième colonne. Cette décomposition de a un système racinaire associé: ${\ displaystyle e_ {ij}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle e_ {ij}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ Phi = \ {\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}: i \ neq j \}}$

sl ₂ (C)

Par exemple, dans la décomposition est ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} (\ mathbb {C})}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} = {\ mathfrak {h}} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}} \ oplus { \ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {1}}}$

et le système racine associé est

${\ displaystyle \ Phi = \ {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}, \ lambda _ {2} - \ lambda _ {1} \}}$

sl ₃ (C)

Dans la décomposition est ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {3} (\ mathbb {C})}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {3} = {\ mathfrak {h}} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}} \ oplus { \ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {1} - \ lambda _ {3}} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {3}} \ oplus { \ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {2} - \ lambda _ {1}} \ oplus {\ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {3} - \ lambda _ {1}} \ oplus { \ mathfrak {g}} _ {\ lambda _ {3} - \ lambda _ {2}}}$

et le système racine associé est donné par

${\ displaystyle \ Phi = \ {\ pm (\ lambda _ {1} - \ lambda _ {2}), \ pm (\ lambda _ {1} - \ lambda _ {3}), \ pm (\ lambda _ {2} - \ lambda _ {3}) \}}$

Exemples

Comme indiqué dans #Structure , les algèbres de Lie semi- simples sur (ou plus généralement un champ algébriquement clos de caractéristique zéro) sont classées par le système racinaire associé à leurs sous-algèbres Cartan, et les systèmes racinaires, à leur tour, sont classés par leurs diagrammes de Dynkin. Des exemples d'algèbres de Lie semi-simples, les algèbres de Lie classiques , avec une notation provenant de leurs diagrammes de Dynkin , sont: ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$

• ${\ displaystyle A_ {n}:}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n + 1}}$ , l' algèbre de Lie linéaire spéciale .
• ${\ displaystyle B_ {n}:}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n + 1}}$ , l' algèbre de Lie orthogonale spéciale de dimension impaire .
• ${\ displaystyle C_ {n}:}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {2n}}$ , l' algèbre de Lie symplectique .
• ${\ displaystyle D_ {n}:}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2n}}$ , l' algèbre de Lie orthogonale spéciale à dimension paire ( ). ${\ displaystyle n> 1}$

La restriction dans la famille est nécessaire car elle est unidimensionnelle et commutative et donc non semi-simple. ${\ displaystyle n> 1}$${\ displaystyle D_ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {2}}$

Ces algèbres de Lie sont numérotées de sorte que n est le rang . Presque toutes ces algèbres de Lie semi-simples sont en fait simples et les membres de ces familles sont presque tous distincts, à l'exception de quelques collisions de petit rang. Par exemple et . Ces quatre familles, avec cinq exceptions ( E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ et G ₂ ), sont en fait les seules algèbres de Lie simples sur les nombres complexes. ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} _ {4} \ cong {\ mathfrak {so}} _ {3} \ oplus {\ mathfrak {so}} _ {3}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sp}} _ {2} \ cong {\ mathfrak {so}} _ {5}}$

Classification

Chaque algèbre de Lie semi-simple sur un corps algébriquement clos de caractéristique 0 est une somme directe d' algèbres de Lie simples (par définition), et les algèbres de Lie simples de dimension finie se répartissent en quatre familles - A _n , B _n , C _n et D _n - à cinq exceptions près E ₆ , E ₇ , E ₈ , F ₄ et G ₂ . Les algèbres de Lie simples sont classées par les diagrammes de Dynkin connectés , illustrés à droite, tandis que les algèbres de Lie semi-simples correspondent à des diagrammes de Dynkin non nécessairement connectés, où chaque composante du diagramme correspond à une somme de la décomposition de l'algèbre de Lie semi-simple en algèbres de Lie simples .

La classification procède en considérant une sous-algèbre de Cartan (voir ci-dessous) et l' action adjointe de l'algèbre de Lie sur cette sous-algèbre. Le système racine de l'action détermine alors à la fois l'algèbre de Lie originale et doit avoir une forme très contrainte, qui peut être classée par les diagrammes de Dynkin. Voir la section ci-dessous décrivant les sous-algèbres et les systèmes racine de Cartan pour plus de détails.

La classification est largement considérée comme l'un des résultats les plus élégants en mathématiques - une brève liste d'axiomes donne, via une preuve relativement courte, une classification complète mais non triviale avec une structure surprenante. Cela devrait être comparé à la classification des groupes simples finis , qui est beaucoup plus compliquée.

L'énumération des quatre familles n'est pas redondante et consiste uniquement en algèbres simples si pour A _n , pour B _n , pour C _n et pour D _n . Si l'on commence à numéroter plus bas, l'énumération est redondante, et on a des isomorphismes exceptionnels entre algèbres de Lie simples, qui se reflètent dans les isomorphismes des diagrammes de Dynkin ; le E _n peut également être étendu vers le bas, mais en dessous de E ₆ sont isomorphes à d'autres algèbres non exceptionnelles. ${\ displaystyle n \ geq 1}$${\ displaystyle n \ geq 2}$${\ displaystyle n \ geq 3}$${\ displaystyle n \ geq 4}$

Sur un champ non algébriquement clos, la classification est plus compliquée - on classe les algèbres de Lie simples sur la fermeture algébrique, puis pour chacune d'elles, on classe les algèbres de Lie simples sur le champ d'origine qui ont cette forme (sur la fermeture). Par exemple, pour classer les algèbres de Lie réelles simples, on classe les algèbres de Lie réelles avec une complexification donnée, qui sont appelées formes réelles de l'algèbre de Lie complexe; cela peut être fait par des diagrammes Satake , qui sont des diagrammes Dynkin avec des données supplémentaires («décorations»).

Théorie de la représentation des algèbres de Lie semi-simples

Soit une algèbre de Lie semi-simple (de dimension finie) sur un corps algébriquement clos de zéro caractéristique. Ensuite, comme dans #Structure , où se trouve le système racine. Choisissez les racines simples dans ; une racine de est alors dite positive et est désignée par s'il s'agit d'une combinaison linéaire des racines simples avec des coefficients entiers non négatifs. Soit , qui est une sous-algèbre maximale résoluble de , la sous-algèbre de Borel . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ textstyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha \ in \ Phi} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ alpha> 0}$${\ textstyle {\ mathfrak {b}} = {\ mathfrak {h}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha> 0} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Soit V un module simple (éventuellement de dimension infinie) . Si V arrive à admettre un vecteur -weight , il est unique à l' échelle et est appelé le vecteur le plus élevé de poids de V . Il est aussi un vecteur -weight et la -weight de , une fonction linéaire , est appelé le poids le plus élevé de V . Les faits de base mais non triviaux sont alors (1) pour chaque fonctionnelle linéaire , il existe un module simple ayant comme poids le plus élevé et (2) deux modules simples ayant le même poids le plus élevé sont équivalents. En bref, il existe une bijection entre et l'ensemble des classes d'équivalence de modules simples admettant un vecteur de poids de Borel. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {b}}}$${\ displaystyle v_ {0}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle v_ {0}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle \ mu \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle V ^ {\ mu}}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Pour les applications, on s'intéresse souvent à un module simple de dimension finie (une représentation irréductible de dimension finie). Ceci est particulièrement le cas lorsqu'il s'agit de l'algèbre de Lie d' un groupe de Lie (ou de sa complexification), puisque, via la correspondance de Lie , une représentation d'algèbre de Lie peut être intégrée à une représentation de groupe de Lie lorsque les obstructions sont surmontées. Le critère suivant répond alors à ce besoin: par chambre de Weyl positive , on entend le cône convexe où est un vecteur unique tel que . Le critère se lit alors: ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle C \ subset {\ mathfrak {h}} ^ {*}}$${\ displaystyle C = \ {\ mu \ in {\ mathfrak {h}} ^ {*} | \ mu (h _ {\ alpha}) \ geq 0, \ alpha \ in \ Phi> 0 \}}$${\ displaystyle h _ {\ alpha} \ in [{\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}, {\ mathfrak {g}} _ {- \ alpha}]}$${\ displaystyle \ alpha (h _ {\ alpha}) = 2}$

• ${\ displaystyle \ dim V ^ {\ mu} <\ infty}$ si et seulement si, pour chaque racine positive , (1) est un entier et (2) est compris dans . ${\ displaystyle \ alpha> 0}$${\ displaystyle \ mu (h _ {\ alpha})}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle C}$

Une fonctionnelle linéaire satisfaisant la condition équivalente ci-dessus est appelée poids intégral dominant. Donc, en résumé, il existe une bijection entre les poids intégraux dominants et les classes d'équivalence des modules simples de dimension finie , résultat connu sous le nom de théorème du poids le plus élevé . Le caractère d'un module simple de dimension finie tour à tour est calculé par la formule de caractère de Weyl . ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Le théorème de Weyl dit que, sur un champ de caractéristique zéro, tout module de dimension finie d'une algèbre de Lie semi-simple est complètement réductible ; c'est-à-dire qu'il s'agit d'une somme directe de modules simples . Par conséquent, les résultats ci-dessus s'appliquent alors aux représentations de dimension finie d'une algèbre de Lie semi-simple. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Algèbre de Lie semi-simple réelle

Pour une algèbre de Lie semi-simple sur un champ qui a un zéro caractéristique mais qui n'est pas algébriquement fermé, il n'y a pas de théorie générale des structures comme celle pour celles sur un champ algébriquement fermé de zéro caractéristique. Mais sur le domaine des nombres réels, il y a encore les résultats de structure.

Soit une algèbre de Lie semi-simple réelle de dimension finie et sa complexification (qui est à nouveau semi-simple). La véritable algèbre de Lie est appelée une forme réelle de . Une forme réelle est appelée une forme compacte si la forme de Killing sur elle est définie négativement; c'est nécessairement l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie compact (d'où le nom). ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}} = {\ mathfrak {g}} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}}}$

Boîtier compact

Supposons que ce soit une forme compacte et un sous-espace abélien maximal. On peut montrer (par exemple, du fait est l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie compact) qui se compose de matrices skew-hermitiennes, diagonalisables sur avec des valeurs propres imaginaires. Par conséquent, est une sous-algèbre de Cartan de et il en résulte la décomposition de l'espace racine (cf. #Structure ) ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} \ subset {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {h}})}$${\ displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}} = {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha \ in \ Phi} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}}$

où chacun a une valeur réelle ; ainsi, peut être identifié avec une fonctionnelle linéaire réelle sur l'espace vectoriel réel . ${\ displaystyle \ alpha \ in \ Phi}$${\ displaystyle i {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle i {\ mathfrak {h}}}$

Par exemple, laissez et prenez le sous-espace de toutes les matrices diagonales. Remarque . Soit la fonctionnelle linéaire sur donnée par for . Puis pour chacun , ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {su}} (n)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} \ subset {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}}}$${\ displaystyle e_ {i} (H) = h_ {i}}$${\ displaystyle H = \ operatorname {diag} (h_ {1}, \ dots, h_ {n})}$${\ displaystyle H \ in {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}}}$

${\ displaystyle [H, E_ {ij}] = (e_ {i} (H) -e_ {j} (H)) E_ {ij}}$

où est la matrice qui a 1 au -ième endroit et zéro ailleurs. Par conséquent, chaque racine est de la forme et la décomposition de l'espace racine est la décomposition des matrices: ${\ displaystyle E_ {ij}}$${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ alpha = e_ {i} -e_ {j}, i \ neq j}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} ^ {\ mathbb {C}} = {\ mathfrak {h}} ^ {\ mathbb {C}} \ oplus \ bigoplus _ {i \ neq j} \ mathbb {C} E_ {ij}.}$

Boîtier non compact

Supposons que ce ne soit pas nécessairement une forme compacte (c'est-à-dire que la signature de la forme Killing n'est pas entièrement négative). Supposons, de plus, qu'il ait une involution de Cartan et soit la décomposition en espace propre de , où sont les espaces propres pour 1 et -1, respectivement. Par exemple, si et le négatif transpose, alors . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {k}} \ oplus {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle {\ mathfrak {k}}, {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle {\ mathfrak {k}} = {\ mathfrak {so}} (n)}$

Soit un sous-espace abélien maximal. Maintenant, se compose de matrices symétriques (par rapport à un produit interne approprié) et donc les opérateurs en sont simultanément diagonalisables, avec des valeurs propres réelles. En répétant les arguments du champ de base algébriquement clos, on obtient la décomposition (appelée décomposition d'espace racine restreint ): ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}} \ subset {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {p}})}$${\ displaystyle \ operatorname {ad} ({\ mathfrak {a}})}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {g}} _ {0} \ oplus \ bigoplus _ {\ alpha \ in \ Phi} {\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}}$

où

• les éléments dans sont appelés les racines restreintes , ${\ displaystyle \ Phi}$
• ${\ displaystyle \ theta ({\ mathfrak {g}} _ {\ alpha}) = {\ mathfrak {g}} _ {- \ alpha}}$ pour toute fonctionnelle linéaire ; en particulier ,, ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle - \ Phi \ subset \ Phi}$
• ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0} = {\ mathfrak {a}} \ oplus Z _ {\ mathfrak {k}} ({\ mathfrak {a}})}$ .

De plus, c'est un système racinaire mais pas forcément réduit (c'est-à-dire qu'il peut arriver que les deux racines soient). ${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle \ alpha, 2 \ alpha}$

L'affaire de ${\ displaystyle \ mathrm {sl} (n, \ mathbb {C})}$

Si , alors peut être considérée comme la sous-algèbre diagonale de , constituée de matrices diagonales dont la somme des entrées diagonales est nulle. Depuis a dimension , on voit que ça a rang . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathrm {sl} (n, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle n-1}$${\ displaystyle \ mathrm {sl} (n; \ mathbb {C})}$${\ displaystyle n-1}$

Les vecteurs racines dans ce cas peuvent être considérés comme les matrices avec , où est la matrice avec un 1 à l' endroit et des zéros ailleurs. Si est une matrice diagonale avec des entrées diagonales , alors nous avons ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle E_ {i, j}}$${\ displaystyle i \ neq j}$${\ displaystyle E_ {i, j}}$${\ displaystyle (i, j)}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {n}}$

${\ displaystyle [H, E_ {i, j}] = (\ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}) E_ {i, j}}$ .

Ainsi, les racines de sont les fonctionnelles linéaires données par ${\ displaystyle \ mathrm {sl} (n, \ mathbb {C})}$${\ displaystyle \ alpha _ {i, j}}$

${\ displaystyle \ alpha _ {i, j} (H) = \ lambda _ {i} - \ lambda _ {j}}$ .

Après s'être identifiées à son dual, les racines deviennent les vecteurs dans l'espace des -tuples dont la somme est nulle. Il s'agit du système racinaire connu comme dans l'étiquetage conventionnel. ${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle \ alpha _ {i, j}: = e_ {i} -e_ {j}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle A_ {n-1}}$

La réflexion associée à la racine agit en transposant les entrées et diagonales. Le groupe de Weyl n'est alors que le groupe de permutation sur les éléments, agissant en permutant les entrées diagonales des matrices en . ${\ displaystyle \ alpha _ {i, j}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}}}$

Généralisations

Les algèbres de Lie semi-simples admettent certaines généralisations. Premièrement, de nombreuses déclarations qui sont vraies pour les algèbres de Lie semi-simples sont vraies plus généralement pour les algèbres de Lie réductives . De manière abstraite, une algèbre de Lie réductrice est une algèbre de Lie réductrice dont la représentation adjointe est complètement réductible , tandis que concrètement, une algèbre de Lie réductrice est une somme directe d'une algèbre de Lie semi-simple et d'une algèbre de Lie abélienne ; par exemple, est semi-simple et réductrice. De nombreuses propriétés des algèbres de Lie semi-simples ne dépendent que de la réductibilité. ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$

De nombreuses propriétés des algèbres de Lie complexes semi-simples / réductives sont vraies non seulement pour les algèbres de Lie semi-simples / réductives sur des champs algébriquement fermés, mais plus généralement pour les algèbres de Lie semi-simples / réductives divisées sur d'autres champs: les algèbres de Lie semi-simples / réductives sur des champs algébriquement fermés sont toujours divisées , mais dans d'autres domaines, ce n'est pas toujours le cas. Les algèbres de Lie scindées ont essentiellement la même théorie de représentation que les algèbres de Lie semi-simples sur des champs algébriquement fermés, par exemple, la sous-algèbre de Cartan scindée jouant le même rôle que la sous-algèbre de Cartan joue sur des champs algébriquement fermés. C'est l'approche suivie dans ( Bourbaki 2005 ), par exemple, qui classe les représentations d'algèbres de Lie semi-simples / réductrices séparées.

Groupes semi-simples et réducteurs

Un groupe de Lie connecté est dit semi-simple si son algèbre de Lie est une algèbre de Lie semi-simple, c'est-à-dire une somme directe d'algèbres de Lie simples. On l'appelle réductrice si son algèbre de Lie est une somme directe d'algèbres de Lie simples et triviales (unidimensionnelles). Les groupes réducteurs se produisent naturellement sous forme de symétries d'un certain nombre d'objets mathématiques en algèbre, en géométrie et en physique. Par exemple, le groupe de symétries d'un espace vectoriel réel à n dimensions (de manière équivalente, le groupe des matrices inversibles) est réducteur. ${\ displaystyle GL_ {n} (\ mathbb {R})}$

Voir également

• Algèbre de Lie
• Système racinaire
• Représentation de l'algèbre de Lie
• Groupe compact
• Groupe de mensonge simple
• Borel sous-algèbre
• Théorème de Jacobson-Morozov

Les références