Espace métacompact - Metacompact space
En mathématiques , dans le domaine de la topologie générale , un espace topologique est dit métacompact si chaque couverture ouverte a un raffinement ouvert point-fini . C'est-à-dire que, étant donné toute couverture ouverte de l'espace topologique, il existe un raffinement qui est à nouveau une couverture ouverte avec la propriété que chaque point est contenu uniquement dans un nombre fini d'ensembles de la couverture de raffinage.
Un espace est dénombrable métacompact si chaque couvercle ouvert dénombrable a un raffinement ouvert ponctuel fini.
Propriétés
On peut dire ce qui suit à propos de la métacompactité par rapport à d'autres propriétés des espaces topologiques :
- Tout espace paracompact est métacompact. Cela implique que tout espace compact est métacompact et que chaque espace métrique est métacompact. L'inverse ne tient pas : un contre-exemple est la planche Dieudonné .
- Tout espace métacompact est orthocompact .
- Chaque espace normal métacompact est un espace qui rétrécit
- Le produit d'un espace compact et d'un espace métacompact est métacompact. Cela découle du lemme du tube .
- Un exemple simple d'un espace non métacompact (mais un espace métacompact dénombrable) est le plan de Moore .
- Pour qu'un espace de Tychonoff X soit compact, il est nécessaire et suffisant que X soit métacompact et pseudocompact (voir Watson).
Dimension de couverture
Un espace topologique X est dit de dimension couvrant n si chaque couverture ouverte de X a un raffinement ouvert point-fini tel qu'aucun point de X n'est inclus dans plus de n + 1 ensembles dans le raffinement et si n est la valeur minimale pour laquelle c'est vrai. S'il n'existe pas un tel n minimal , l'espace est dit de dimension de recouvrement infinie.
Voir également
- Espace compact
- Espace paracompact
- Espace normal
- Espace réel et compact
- Espace pseudo-compact
- Espace mésocompact
- Espace Tychonoff
- Glossaire de topologie
Les références
- Watson, W. Stephen (1981). "Les espaces métacompacts pseudo-compacts sont compacts" . Proc. Amer. Math. Soc. 81 : 151-152. doi : 10.1090/s0002-9939-1981-0589159-1 ..
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology ( réimpression de Douvres de 1978 ed.). Berlin, New York : Springer-Verlag . ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446 . P.23.
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