Espace pseudo-compact - Pseudocompact space
En mathématiques , dans le domaine de la topologie , un espace topologique est dit pseudo - compact si son image sous n'importe quelle fonction continue de R est bornée . De nombreux auteurs incluent l'exigence que l'espace soit complètement régulier dans la définition de la pseudo-compactité. Les espaces pseudo-compacts ont été définis par Edwin Hewitt en 1948.
- Pour qu'un espace de Tychonoff X soit pseudo-compact, il faut que chaque collection localement finie d' ensembles ouverts non vides de X soit finie . Il existe de nombreuses conditions équivalentes pour la pseudo-compactité (il faut parfois supposer un axiome de séparation ) ; un grand nombre d'entre eux sont cités dans Stephenson 2003. Quelques remarques historiques sur des résultats antérieurs peuvent être trouvées dans Engelking 1989, p. 211.
- Tout espace dénombrable compact est pseudo- compact . Pour les espaces de Hausdorff normaux, l'inverse est vrai.
- En conséquence du résultat ci-dessus, tout espace séquentiellement compact est pseudo- compact . L'inverse est vrai pour les espaces métriques . Comme la compacité séquentielle est une condition équivalente à la compacité pour les espaces métriques, cela implique que la compacité est également une condition équivalente à la pseudocompactité pour les espaces métriques.
- Le résultat le plus faible que tout espace compact est pseudo-compact est facilement prouvé : l'image d'un espace compact sous n'importe quelle fonction continue est compacte, et tout ensemble compact dans un espace métrique est borné.
- Si Y est l'image continue du pseudo-compact X , alors Y est pseudo-compact. Notez que pour les fonctions continues g : X → Y et h : Y → R , la composition de g et h , appelée f , est une fonction continue de X aux nombres réels. Par conséquent, f est borné et Y est pseudo-compact.
- Soit X un ensemble infini étant donné la topologie de points particulière . Alors X n'est ni compact, séquentiellement compact, comptablement compact, paracompact ni métacompact (bien qu'il soit orthocompact ). Cependant, comme X est hyperconnecté, il est pseudo-compact. Cela montre que la pseudo-compactité n'implique aucune de ces autres formes de compacité.
- Pour qu'un espace de Hausdorff X soit compact, il faut que X soit pseudo - compact et réel - compact (voir Engelking 1968, p. 153).
- Pour qu'un espace de Tychonoff X soit compact, il faut que X soit pseudocompact et métacompact (voir Watson).
Groupes topologiques pseudo-compacts
Une théorie relativement raffinée est disponible pour les groupes topologiques pseudo - compacts . En particulier, WW Comfort et Kenneth A. Ross ont prouvé qu'un produit de groupes topologiques pseudocompacts est toujours pseudocompact (cela peut échouer pour des espaces topologiques arbitraires).
Remarques
Voir également
- Espace compact
- Espace paracompact
- Espace normal
- Espace réel et compact
- Espace métacompact
- Espace orthocompact
- Espace Tychonoff
Les références
- Engelking, Ryszard (1968), Outline of General Topology , traduit du polonais, Amsterdam : North-Holland.
- Engelking, Ryszard (1989), Topologie générale , Berlin : Heldermann Verlag.
- Kerstan, Johannes (1957), "Zur Charakterisierung der pseudokompakten Räume", Mathematische Nachrichten , 16 (5-6) : 289-293, doi : 10.1002/mana.19570160505.
- Stephenson, RM Jr (2003), Pseudocompact Spaces , Chapter d-7 in Encyclopedia of General Topology, édité par : Klaas Pieter Hart, Jun-iti Nagata et Jerry E. Vaughan, Pages 177-181, Amsterdam : Elsevier BV.
- Watson, W. Stephen (1981), "Les espaces métacompacts pseudo-compacts sont compacts", Proc. Amer. Math. Soc. , 81 : 151-152, doi : 10.1090/s0002-9939-1981-0589159-1.
- Willard, Stephen (1970), Topologie générale , Reading, Mass. : Addison-Wesley.
- Yan-Min, Wang (1988), "Nouvelles caractérisations des espaces pseudo-compacts", Bull. Austral. Math. Soc. , 38 (2) : 293-298, doi : 10.1017/S0004972700027568.
Liens externes
- MI Voitsekhovskii (2001) [1994], "Pseudo-compact space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press.
- "Espace pseudo-compact" . PlanèteMath ..