Espace pseudo-compact - Pseudocompact space

En mathématiques , dans le domaine de la topologie , un espace topologique est dit pseudo - compact si son image sous n'importe quelle fonction continue de R est bornée . De nombreux auteurs incluent l'exigence que l'espace soit complètement régulier dans la définition de la pseudo-compactité. Les espaces pseudo-compacts ont été définis par Edwin Hewitt en 1948.

Propriétés liées à la pseudo-compactité

  • Pour qu'un espace de Tychonoff X soit pseudo-compact, il faut que chaque collection localement finie d' ensembles ouverts non vides de X soit finie . Il existe de nombreuses conditions équivalentes pour la pseudo-compactité (il faut parfois supposer un axiome de séparation ) ; un grand nombre d'entre eux sont cités dans Stephenson 2003. Quelques remarques historiques sur des résultats antérieurs peuvent être trouvées dans Engelking 1989, p. 211.
  • Tout espace dénombrable compact est pseudo- compact . Pour les espaces de Hausdorff normaux, l'inverse est vrai.
  • En conséquence du résultat ci-dessus, tout espace séquentiellement compact est pseudo- compact . L'inverse est vrai pour les espaces métriques . Comme la compacité séquentielle est une condition équivalente à la compacité pour les espaces métriques, cela implique que la compacité est également une condition équivalente à la pseudocompactité pour les espaces métriques.
  • Le résultat le plus faible que tout espace compact est pseudo-compact est facilement prouvé : l'image d'un espace compact sous n'importe quelle fonction continue est compacte, et tout ensemble compact dans un espace métrique est borné.
  • Si Y est l'image continue du pseudo-compact X , alors Y est pseudo-compact. Notez que pour les fonctions continues g  :  X  →  Y et h  :  Y  →  R , la composition de g et h , appelée f , est une fonction continue de X aux nombres réels. Par conséquent, f est borné et Y est pseudo-compact.
  • Soit X un ensemble infini étant donné la topologie de points particulière . Alors X n'est ni compact, séquentiellement compact, comptablement compact, paracompact ni métacompact (bien qu'il soit orthocompact ). Cependant, comme X est hyperconnecté, il est pseudo-compact. Cela montre que la pseudo-compactité n'implique aucune de ces autres formes de compacité.
  • Pour qu'un espace de Hausdorff X soit compact, il faut que X soit pseudo - compact et réel - compact (voir Engelking 1968, p. 153).
  • Pour qu'un espace de Tychonoff X soit compact, il faut que X soit pseudocompact et métacompact (voir Watson).

Groupes topologiques pseudo-compacts

Une théorie relativement raffinée est disponible pour les groupes topologiques pseudo - compacts . En particulier, WW Comfort et Kenneth A. Ross ont prouvé qu'un produit de groupes topologiques pseudocompacts est toujours pseudocompact (cela peut échouer pour des espaces topologiques arbitraires).

Remarques

Voir également

Les références

  • Engelking, Ryszard (1968), Outline of General Topology , traduit du polonais, Amsterdam : North-Holland.
  • Engelking, Ryszard (1989), Topologie générale , Berlin : Heldermann Verlag.
  • Kerstan, Johannes (1957), "Zur Charakterisierung der pseudokompakten Räume", Mathematische Nachrichten , 16 (5-6) : 289-293, doi : 10.1002/mana.19570160505.
  • Stephenson, RM Jr (2003), Pseudocompact Spaces , Chapter d-7 in Encyclopedia of General Topology, édité par : Klaas Pieter Hart, Jun-iti Nagata et Jerry E. Vaughan, Pages 177-181, Amsterdam : Elsevier BV.
  • Watson, W. Stephen (1981), "Les espaces métacompacts pseudo-compacts sont compacts", Proc. Amer. Math. Soc. , 81 : 151-152, doi : 10.1090/s0002-9939-1981-0589159-1.
  • Willard, Stephen (1970), Topologie générale , Reading, Mass. : Addison-Wesley.
  • Yan-Min, Wang (1988), "Nouvelles caractérisations des espaces pseudo-compacts", Bull. Austral. Math. Soc. , 38 (2) : 293-298, doi : 10.1017/S0004972700027568.

Liens externes