Problème d'échappement étroit - Narrow escape problem

Le problème des fuites étroites est un problème omniprésent en biologie , biophysique et biologie cellulaire .

La formulation mathématique est la suivante : une particule brownienne ( ion , molécule ou protéine ) est confinée dans un domaine délimité (un compartiment ou une cellule) par une frontière réfléchissante, à l'exception d'une petite fenêtre par laquelle elle peut s'échapper. Le problème d'échappement étroit est celui du calcul du temps d'échappement moyen. Ce temps diverge à mesure que la fenêtre se rétrécit, faisant ainsi du calcul un problème de perturbation singulier .

Lorsque l'évasion est encore plus stricte en raison de restrictions géométriques sévères à l'endroit de l'évasion, le problème de l'évasion étroite devient le problème du détroit .

Le problème de fuite étroite a été proposé dans le contexte de la biologie et de la biophysique par D. Holcman et Z. Schuss, et plus tard avec A.Singer et a conduit à la théorie de la fuite étroite en mathématiques appliquées et en biologie computationnelle .

Formulation

Le mouvement d'une particule est décrit par la limite de Smoluchowski de l' équation de Langevin :

${\displaystyle dX_{t}={\sqrt {2D}}\,dB_{t}+{\frac {1}{\gamma }}F(x)dt}$

où est le coefficient de diffusion de la particule, est le coefficient de frottement par unité de masse, la force par unité de masse, et est un mouvement brownien . ${\style d'affichage D}$${\style d'affichage \gamma }$${\style d'affichage F(x)}$${\style d'affichage B_{t}}$

Temps moyen de premier passage et équation de Fokker-Planck

Une question courante est d'estimer le temps de séjour moyen d'une particule diffusant dans un domaine délimité avant qu'elle ne s'échappe à travers une petite fenêtre absorbante dans sa frontière . Le temps est estimé asymptotiquement à la limite${\displaystyle \Oméga }$${\displaystyle \partial \Omega _{a}}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {|\partial \Omega _{a}|}{|\partial \Omega |}}\ll 1}$

La fonction de densité de probabilité (pdf) est la probabilité de trouver la particule à la position au temps . ${\displaystyle p_{\varepsilon }(x,t)}$${\style d'affichage x}$${\style d'affichage t}$

Le pdf satisfait l' équation de Fokker-Planck :

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}p_{\varepsilon }(x,t)=D\Delta p_{\varepsilon }(x,t)-{\frac {1}{\gamma }}\nabla (p_{\varepsilon }(x,t)F(x))}$

avec condition initiale

${\displaystyle p_{\varepsilon }(x,0)=\rho _{0}(x)\,}$

et conditions aux limites mixtes Dirichlet-Neumann ( ) ${\style d'affichage t>0}$

${\displaystyle p_{\varepsilon }(x,t)=0{\text{ for }}x\in \partial \Omega _{a}}$

${\displaystyle D{\frac {\partial }{\partial n}}p_{\varepsilon }(x,t)-{\frac {p_{\varepsilon }(x,t)}{\gamma }}F( x)\cdot n(x)=0{\text{ for }}x\in \partial \Omega -\partial \Omega _{a}}$

La fonction

${\displaystyle u_{\varepsilon }(y)=\int _{\Omega }\int _{0}^{\infty }p_{\varepsilon }(x,ty)\,dt\,dx}$

représente le temps de séjour moyen de la particule, conditionné par la position initiale . C'est la solution du problème des valeurs limites ${\style d'affichage y}$

${\displaystyle D\Delta u_{\varepsilon }(y)+{\frac {1}{\gamma }}F(y)\cdot \nabla u_{\varepsilon }(y)=-1}$

${\displaystyle u_{\varepsilon }(y)=0{\text{ for }}y\in \partial \Omega _{a}}$

${\displaystyle {\frac {\partial u_{\varepsilon }(y)}{\partial n}}=0{\text{ for }}y\in \partial \Omega _{r}}$

La solution dépend de la dimension du domaine. Pour une particule diffusant sur un disque à deux dimensions

${\displaystyle u_{\varepsilon }(y)={\frac {A}{\pi D}}\ln {\frac {1}{\varepsilon }}+O(1),}$

où est la surface du domaine. La fonction ne dépend pas de la position initiale , sauf pour une petite couche limite près de la frontière absorbante en raison de la forme asymptotique. ${\style d'affichage A}$${\displaystyle u_{\epsilon }(y)}$${\style d'affichage y}$

Le terme du premier ordre est important en dimension 2 : pour un disque circulaire de rayon , le temps d'échappement moyen d'une particule partant du centre est ${\style d'affichage R}$

${\displaystyle E(\tau |x(0)=0)={\frac {R^{2}}{D}}\left(\log \left({\frac {1}{\varepsilon }}\ droite)+\log 2+{\frac {1}{4}}+O(\varepsilon )\right).}$

Le temps d'échappement moyenné par rapport à une distribution initiale uniforme de la particule est donné par

${\displaystyle E(\tau )={\frac {R^{2}}{D}}\left(\log \left({\frac {1}{\varepsilon }}\right)+\log 2+ {\frac {1}{8}}+O(\varepsilon )\right).}$

La géométrie de la petite ouverture peut affecter le temps d'échappement : si la fenêtre absorbante est située à un angle d'angle , alors : ${\style d'affichage \alpha }$

${\displaystyle E\tau ={\frac {|\Omega |}{\alpha D}}\left[\log {\frac {1}{\varepsilon }}+O(1)\right].}$

Plus surprenant, près d'une cuspide dans un domaine à deux dimensions, le temps d'échappement croît algébriquement, plutôt que logarithmiquement : dans le domaine délimité entre deux cercles tangents, le temps d'échappement est : ${\displaystyle E\tau }$

${\displaystyle E\tau ={\frac {|\Omega |}{(d-1)D}}\left({\frac {1}{\varepsilon }}+O(1)\right),}$

où d > 1 est le rapport des rayons. Enfin, lorsque le domaine est un anneau, le temps d'échappement à une petite ouverture située sur le cercle intérieur fait intervenir un deuxième paramètre qui est le rapport des rayons intérieurs aux rayons extérieurs, le temps d'échappement, moyenné par rapport à une distribution initiale uniforme, est: ${\displaystyle \beta ={\frac {R_{1}}{R_{2}}}<1,}$

${\displaystyle E\tau ={\frac {(R_{2}^{2}-R_{1}^{2})}{D}}\left[\log {\frac {1}{\varepsilon } }+\log 2+2\beta ^{2}\right]+{\frac {1}{2}}{\frac {R_{2}^{2}}{1-\beta ^{2}} }\log {\frac {1}{\beta }}-{\frac {1}{4}}R_{2}^{2}+O(\varepsilon ,\beta ^{4})R_{2} ^{2}.}$

Cette équation contient deux termes du développement asymptotique de et est l'angle de la frontière absorbante. Le cas proche de 1 reste ouvert, et pour les domaines généraux, le développement asymptotique du temps d'échappement reste un problème ouvert. Il en va de même du problème du calcul du temps d'échappement près d'un point de cuspide dans des domaines tridimensionnels. Pour le mouvement brownien dans un champ de force ${\displaystyle E\tau }$${\style d'affichage 2\epsilon }$${\displaystyle \beta }$

${\style d'affichage F(x)\neq 0\,}$

l'écart dans le spectre n'est pas nécessairement petit entre la première et la deuxième valeur propre, en fonction de la taille relative du petit trou et des barrières de force que la particule doit franchir pour s'échapper. Le flux d'échappement n'est pas nécessairement poissonien .

Résultats analytiques

Un théorème qui relie le problème d'échappement de mouvement brownien à un problème d'équation aux dérivées partielles (déterministe) est le suivant.

Théorème. Soit un domaine borné à bord lisse et un sous-ensemble fermé de . Pour chacun , soit la première fois qu'une particule frappe , en supposant que la particule part de , soit soumise au mouvement brownien dans , et réfléchie de . Alors, le premier temps de passage moyen, , et sa variance, , sont des solutions des problèmes de valeurs limites suivants :${\displaystyle \Oméga }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\style d'affichage \Gamma }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle x\in \Omega }$${\displaystyle \tau _{x}}$${\style d'affichage \Gamma }$${\style d'affichage x}$${\displaystyle \Oméga }$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle T(x):=\mathbb {E} [\tau _{x}]}$${\displaystyle v(x):=\mathbb {E} [(\tau _{x}-T(x))^{2}]}$

${\displaystyle -\Delta T=2{\text{ dans }}\Omega ,{\text{ }}T=0{\text{ sur }}\Gamma ,{\text{ }}\partial _{n} T=0{\text{ on }}\partial \Omega \setminus \Gamma }$

${\displaystyle -\Delta v=2\vert \nabla T\vert ^{2}{\text{ dans }}\Omega ,{\text{ }}v=0{\text{ sur }}\Gamma ,{ \text{ }}\partial _{n}v=0{\text{ sur }}\partial \Omega \setminus \Gamma }$

Voici la dérivée dans la direction , la normale extérieure à De plus, la moyenne de la variance peut être calculée à partir de la formule ${\displaystyle \partial _{n}:=n\cdot \nabla }$${\style d'affichage n}$${\displaystyle \partial \Omega .}$

${\displaystyle {\bar {v}}:={\frac {1}{\vert \Omega \vert }}\int _{\Omega }v(x)dx={\frac {1}{\vert \ Omega \vert }}\int _{\Omega }T^{2}(x)dx=:T^{2}}$

La première partie du théorème est un résultat classique, tandis que la variance moyenne a été prouvée en 2011 par Carey Caginalp et Xinfu Chen.

Le temps d'échappement a fait l'objet d'un certain nombre d'études utilisant la petite porte comme paramètre asymptotiquement petit. Le résultat suivant sous forme fermée donne une solution exacte qui confirme ces formules asymptotiques et les étend aux portes qui ne sont pas nécessairement petites.

Théorème (Carey Caginalp et Xinfu Chen formule fermée). En 2-D, avec des points identifiés par des nombres complexes , soit

${\displaystyle \Omega :=\left\{re^{i\theta }\vert 0\leq r<1,{\text{ }}-\varepsilon \leq \theta \leq 2\pi -\varepsilon \right \},{\text{ }}\Gamma :=\left\{e^{i\theta }\vert \vert \theta \vert \leq \varepsilon \right\}}$

Alors le premier temps de passage moyen , pour , est donné par${\style d'affichage T(z)}$${\displaystyle z\in {\bar {\Omega }}}$

${\displaystyle T(z)={\frac {1-\vert z\vert ^{2}}{2}}+2\log {\left|{\frac {1-z+{\sqrt {(1- ze^{-i\varepsilon })(1-ze^{i\varepsilon })}}}{2\sin {\frac {\varepsilon }{2}}}}\right|}}$

Un autre ensemble de résultats concerne la densité de probabilité du lieu de sortie.

Théorème (Carey Caginalp et Xinfu Chen Probability Density). La densité de probabilité de l'emplacement d'une particule au moment de sa sortie est donnée par

${\displaystyle {\bar {j}}(e^{i\theta }):=-{\frac {1}{2\pi }}{\frac {\partial }{\partial r}}T(e ^{i\theta })={\begin{cases}0,&{\text{if }}\varepsilon <\theta <2\pi -\varepsilon \\{\frac {1}{2\pi }} {\frac {\cos {\frac {\theta }{2}}}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\varepsilon }{2}}-\sin ^{2}{\frac { \theta }{2}}}}},&{\text{if }}\vert \theta \vert <\varepsilon \end{cases}}}$

Autrement dit, pour tout ( ensemble de Borel ) , la probabilité qu'une particule, commençant soit à l'origine soit uniformément distribuée dans , présentant un mouvement brownien dans , se reflétant lorsqu'elle frappe , et s'échappant une fois qu'elle frappe , finisse par s'échapper de est ${\displaystyle \gamma \subset \partial \Omega }$${\displaystyle \Oméga }$${\displaystyle \Oméga }$${\displaystyle \partial \Omega \setminus \Gamma }$${\style d'affichage \Gamma }$${\style d'affichage \gamma }$

${\displaystyle P(\gamma )=\int _{\gamma }{\bar {j}}(y)dS_{y}}$

où est l'élément de surface de à . ${\displaystyle dS_{y}}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle y\in \partial \Omega }$

Simulations d'échappement de mouvement brownien

Dans la simulation, il y a une erreur aléatoire due au processus d'échantillonnage statistique. Cette erreur peut être limitée en faisant appel au théorème central limite et en utilisant un grand nombre d'échantillons. Il existe également une erreur de discrétisation due à l'approximation de taille finie de la taille du pas dans l'approximation du mouvement brownien. On peut alors obtenir des résultats empiriques car la taille de pas et la taille de grille varient. En utilisant le résultat exact cité ci-dessus pour le cas particulier du cercle, il est possible de faire une comparaison minutieuse de la solution exacte avec la solution numérique. Cela éclaire la distinction entre les étapes finies et la diffusion continue. Une distribution des emplacements de sortie a également été obtenue grâce à des simulations pour ce problème.

Applications biologiques

Réactions chimiques stochastiques dans les microdomaines

La vitesse directe des réactions chimiques est l'inverse du temps d'échappement étroit, qui généralise la formule classique de Smoluchowski pour les particules browniennes situées dans un milieu infini. Une description de Markov peut être utilisée pour estimer la liaison et la déliaison à un petit nombre de sites.

Les références

Liens externes

• Mathématiques appliquées et biologie computationnelle à l'Ecole Normale Supérieure, Paris
• Publications et conférences de Carey Caginalp http://www.pitt.edu/~careycag/
• Article des Comptes Rendus http://www.pitt.edu/~careycag/paper1.pdf
• Papier ARMA http://www.pitt.edu/~careycag/paper2.pdf