Le théorème d'Ostrowski - Ostrowski's theorem

En théorie des nombres , le théorème d'Ostrowski , dû à Alexander Ostrowski (1916), stipule que toute valeur absolue non triviale sur les nombres rationnels est équivalente soit à la valeur absolue réelle habituelle, soit à une valeur absolue p- adique . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Définitions

L'élévation d'une valeur absolue à une puissance inférieure à 1 entraîne toujours une autre valeur absolue. Deux valeurs absolues et sur un corps K sont définies comme équivalentes s'il existe un nombre réel c > 0 tel que ${\style d'affichage |\cdot |}$${\style d'affichage |\cdot |_{*}}$

${\displaystyle \forall x\in K:\quad |x|_{*}=|x|^{c}.}$

La valeur absolue triviale sur n'importe quel champ K est définie comme étant

${\displaystyle |x|_{0}:={\begin{cases}0&x=0,\\1&x\neq 0.\end{cases}}}$

La valeur absolue réelle sur les rationnels est la valeur absolue standard sur les réels, définie comme étant ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle |x|_{\infty }:={\begin{cases}x&x\geq 0,\\-x&x<0.\end{cases}}}$

Ceci est parfois écrit avec un indice 1 au lieu de l' infini .

Pour un nombre premier p , la valeur absolue p -adique sur est définie comme suit : tout rationnel non nul x peut s'écrire uniquement comme , où a et b sont des entiers premiers entre eux non divisibles par p , et n est un entier ; donc on définit ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle x=p^{n}{\tfrac {a}{b}}}$

${\displaystyle |x|_{p}:={\begin{cases}0&x=0,\\p^{-n}&x\neq 0.\end{cases}}}$

Preuve

Considérons une valeur absolue non triviale sur les rationnels . On considère deux cas : ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,|\cdot |_{*})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(1)\quad \exists n\in \mathbb {N} \qquad |n|_{*}&>1,\\(2)\quad \forall n\in \ mathbb {N} \qquad |n|_{*}&\leq 1.\end{aligned}}}$

Il nous suffit de considérer la valorisation des nombres entiers supérieurs à un. Car, si nous trouvons pour qui pour tous les naturels supérieurs à un, alors cette relation est trivialement vraie pour 0 et 1, et pour les rationnels positifs ${\displaystyle c\in \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle |n|_{*}=|n|_{**}^{c}}$

${\displaystyle \left|{\frac {m}{n}}\right|_{*}={\frac {|m|_{*}}{|n|_{*}}}={\frac {|m|_{**}^{c}}{|n|_{**}^{c}}}=\gauche({\frac {|m|_{**}}{|n| _{**}}}\right)^{c}=\left|{\frac {m}{n}}\right|_{**}^{c},}$

et pour les rationnels négatifs

${\displaystyle |-x|_{*}=|x|_{*}=|x|_{**}^{c}=|-x|_{**}^{c}.}$

Cas 1)

Ce cas implique qu'il existe tel que Par les propriétés d'une valeur absolue, et , donc (il ne peut pas être nul). Il s'ensuit donc que b > 1 . ${\displaystyle b\in \mathbb {N} }$${\style d'affichage |b|_{*}>1.}$${\style d'affichage |0|_{*}=0}$${\displaystyle |1|_{*}^{2}=|1|_{*}}$${\style d'affichage |1|_{*}=1}$

Maintenant, laissez avec un > 1 . Exprimer b ⁿ en base a : ${\displaystyle a,n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle b^{n}=\sum _{i<m}c_{i}a^{i},\qquad c_{i}\in \{0,1,\ldots ,a-1\}, \quad m\leq n{\frac {\log b}{\log a}}+1.}$

On voit alors, par les propriétés d'une valeur absolue :

${\displaystyle {\begin{aligned}|b|_{*}^{n}&=|b^{n}|_{*}\\&\leq am\max \left\{|a|_{ *}^{m-1},1\right\}\\&\leq a(n\log _{a}b+1)\max \left\{|a|_{*}^{n\log _{a}b},1\right\}\end{aligned}}}$

Par conséquent,

${\displaystyle |b|_{*}\leq \left(a(n\log _{a}b+1)\right)^{\frac {1}{n}}\max \left\{|a |_{*}^{\log _{a}b},1\right\}.}$

Cependant, comme , nous avons ${\displaystyle n\to \infty }$

${\displaystyle (a(n\log _{a}b+1))^{\frac {1}{n}}\to 1,}$

ce qui implique

${\displaystyle |b|_{*}\leq \max \left\{|a|_{*}^{\log _{a}b},1\right\}.}$

Avec la condition, l'argument ci-dessus montre que quel que soit le choix de a > 1 (sinon , impliquant ). En conséquence, la condition initiale ci-dessus doit être satisfaite par tout b > 1 . ${\style d'affichage |b|_{*}>1,}$${\style d'affichage |a|_{*}>1}$${\displaystyle |a|_{*}^{\log _{a}b}\leq 1}$${\displaystyle |b|_{*}\leq 1}$

Ainsi pour tout choix d'entiers naturels a ,  b > 1 , on obtient

${\displaystyle |b|_{*}\leq |a|_{*}^{\frac {\log b}{\log a}},}$

c'est à dire

${\displaystyle {\frac {\log |b|_{*}}{\log b}}\leq {\frac {\log |a|_{*}}{\log a}}.}$

Par symétrie , cette inégalité est une égalité.

Puisque a, b étaient arbitraires, il existe une constante pour laquelle , c'est- à- dire pour tous les naturels n > 1 . Selon les remarques ci-dessus, nous voyons facilement que pour tous les rationnels, démontrant ainsi l'équivalence à la valeur absolue réelle. ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} _{+}}$${\displaystyle \log |n|_{*}=\lambda \log n}$${\displaystyle |n|_{*}=n^{\lambda }=|n|_{\infty }^{\lambda }}$${\displaystyle |x|_{*}=|x|_{\infty }^{\lambda }}$

Cas (2)

Comme cette évaluation n'est pas triviale , il doit exister un entier naturel pour lequel Factoriser en nombres premiers : ${\style d'affichage |n|_{*}<1.}$

${\displaystyle n=\prod _{i<r}p_{i}^{e_{i}}}$

donne qu'il existe tel que Nous prétendons qu'en fait il en est ainsi pour un seul . ${\style d'affichage j}$${\style d'affichage |p_{j}|<1.}$

Supposons par contre que p ,  q sont des nombres premiers distincts de valeur absolue inférieure à 1. Soit tout d' abord tel que . Par l' algorithme d'Euclide , il y a tel que Cela donne ${\displaystyle e\in \mathbb {N} }$${\displaystyle |p|_{*}^{e},|q|_{*}^{e}<{\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle k,l\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle kp^{e}+lq^{e}=1.}$

${\displaystyle 1=|1|_{*}\leq |k|_{*}|p|_{*}^{e}+|l|_{*}|q|_{*}^{e }<{\frac {|k|_{*}+|l|_{*}}{2}}\leq 1,}$

une contradiction.

Nous devons donc avoir pour certains j , et pour i ≠ j . Location ${\displaystyle |p_{j}|_{*}=\alpha <1}$${\style d'affichage |p_{i}|_{*}=1}$

${\displaystyle c=-{\frac {\log \alpha }{\log p}},}$

nous voyons que pour les naturels positifs généraux

${\displaystyle |n|_{*}=\left|\prod _{i<r}p_{i}^{e_{i}}\right|_{*}=\prod _{i<r}\ left|p_{i}\right|_{*}^{e_{i}}=\left|p_{j}\right|_{*}^{e_{j}}=(p^{-e_{ j}})^{c}=|n|_{p}^{c}.}$

Selon les remarques ci-dessus, nous voyons que pour tous les rationnels, ce qui implique que la valeur absolue est équivalente à la valeur p -adique.${\displaystyle |x|_{*}=|x|_{p}^{c}}$${\displaystyle \blacksquare }$

On peut également montrer une conclusion plus forte, à savoir qu'il s'agit d'une valeur absolue non triviale si et seulement si pour certains ou pour certains . ${\displaystyle |\cdot |_{*}:\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle |\cdot |_{*}=|\cdot |_{\infty }^{c}}$${\displaystyle c\in (0,1]}$${\displaystyle |\cdot |_{*}=|\cdot |_{p}^{c}}$${\displaystyle c\in (0,\infty ),\ p\in \mathbf {P} }$

Un autre théorème d'Ostrowski

Un autre théorème stipule que tout champ, complet par rapport à une valeur absolue d'Archimède , est (algébriquement et topologiquement) isomorphe aux nombres réels ou aux nombres complexes . Ceci est parfois aussi appelé théorème d'Ostrowski.

Voir également

• Évaluation (algèbre)

Les références

• Cassels, JWS (1986). Champs locaux . Textes des étudiants de la London Mathematical Society. 3 . Presse de l'Université de Cambridge . ISBN 0-521-31525-5. Zbl  0595.12006 .
• Janusz, Gerald J. (1996). Champs de nombres algébriques (2e éd.). Société mathématique américaine. ISBN 0-8218-0429-4.
• Jacobson, Nathan (1989). Algèbre de base II (2e éd.). WH Freeman. ISBN 0-7167-1933-9.
• Ostrowski, Alexandre (1916). "Über einige Lösungen der Funktionalgleichung (x)·φ(y)=φ(xy)" . Acta Mathematica (2e éd.). 41 (1) : 271-284. doi : 10.1007/BF02422947 . ISSN  0001-5962 .